知方法 明算理 悟本質(zhì)

吳俤仙 郭秋妹

（福建省武夷山實(shí)驗(yàn)小學(xué) 福建省德化縣尚思小學(xué)）

“擺一擺，想一想”是人教版數(shù)學(xué)一年級(jí)下冊(cè)“綜合與實(shí)踐”中的一個(gè)知識(shí)。這個(gè)知識(shí)復(fù)雜、抽象，又有較強(qiáng)的邏輯性，對(duì)于以具體、形象思維為主的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，要學(xué)好、學(xué)深、學(xué)透，顯得力不從心。教師應(yīng)立足教材的內(nèi)在聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間，經(jīng)歷操作、觀察、推理、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)，使每個(gè)學(xué)生各得其所地發(fā)展。

一、動(dòng)手操作，調(diào)整策略知方法

學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課“擺一擺”前已有兩方面的經(jīng)驗(yàn)。一方面，會(huì)用圓片表示具體的數(shù)量：知道了“8”可以用8 個(gè)圓片表示；“12”可以在計(jì)數(shù)器十位上擺1 個(gè)圓片，個(gè)位上擺2 個(gè)圓片表示。另一方面，建立了數(shù)位與位值的概念：知道11 左邊的“1”在十位上，表示1 個(gè)十；右邊的“1”在個(gè)位上，表示1 個(gè)一；兩個(gè)“1”所在的位置不同，所表示的意義也不同。教師要基于學(xué)生已有的認(rèn)知起點(diǎn)和思維特點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作、自主探究擺的方法，并調(diào)整、優(yōu)化擺的策略，從而實(shí)現(xiàn)由無(wú)序擺到有序擺的思維提升。

教師在黑板上貼出數(shù)位順序表（如圖一），問(wèn)：“用1 個(gè)圓片在這個(gè)數(shù)位順序表上擺數(shù)，怎么擺？各表示什么意思？”學(xué)生暢所欲言?！鞍堰@個(gè)圓片擺在個(gè)位上，表示1 個(gè)一，這個(gè)數(shù)是1?！保ㄈ鐖D二）“把這個(gè)圓片擺在十位上，表示1 個(gè)十，這個(gè)數(shù)是10?！保ㄈ鐖D三）

圖一

圖二

圖三

“用2 個(gè)圓片在這個(gè)數(shù)位順序表上擺數(shù)，怎么擺？”學(xué)生有了1 個(gè)圓片的初步經(jīng)驗(yàn)，很快地?cái)[出了2、20、11 三個(gè)數(shù)：“把這2 個(gè)圓片擺在個(gè)位上，這個(gè)數(shù)是2?！薄鞍堰@2 個(gè)圓片擺在十位上，這個(gè)數(shù)是20?！薄鞍堰@2 個(gè)圓片1 個(gè)擺在十位上，1 個(gè)擺在個(gè)位上，這個(gè)數(shù)是11?！保ㄈ缦聢D所示）

學(xué)生通過(guò)兩次動(dòng)手操作，對(duì)怎么擺積累了一定的經(jīng)驗(yàn)。教師要求學(xué)生以小組為單位，先列出一個(gè)數(shù)位順序表，然后在表上畫(huà)出用3 個(gè)圓片所擺的數(shù)。學(xué)生交流“畫(huà)”出來(lái)的數(shù)時(shí)，為或重復(fù)，或遺漏，或沒(méi)有一定的順序而爭(zhēng)執(zhí)不休。教師趁熱打鐵，“同學(xué)們?cè)诩埳稀?huà)’出了21、30、3、12 四個(gè)數(shù)。聽(tīng)起來(lái)有點(diǎn)亂，要是在數(shù)位順序表上擺一擺，怎么擺？”

一個(gè)學(xué)生跑上講臺(tái)，把3 個(gè)圓片擺在數(shù)位順序表的個(gè)位上，說(shuō)：“把這3 個(gè)圓片擺在個(gè)位上，這個(gè)數(shù)是3；然后移1個(gè)到十位，這個(gè)數(shù)變成了12；再移1 個(gè)到十位，變成了21；把最后剩下的1 個(gè)也移到十位，所得的數(shù)是30。也就是說(shuō)，用3 個(gè)圓片擺數(shù)，可以擺3、12、21、30 四個(gè)數(shù)?！保ㄈ缦聢D所示）

另一個(gè)學(xué)生深受啟發(fā)，匯報(bào)了與上臺(tái)學(xué)生相反的擺法。思路不同，方法有異，得到了30、21、12、3 四個(gè)數(shù)。（如下圖所示）

學(xué)生操作后，教師用課件演示兩個(gè)同學(xué)的擺法，追問(wèn)：“你們覺(jué)得要怎樣擺才能做到不重復(fù)、不遺漏？”在交流中，學(xué)生逐步明確：把要擺的所有圓片放在個(gè)位（十位）上，然后向左（向右）逐一移動(dòng)一個(gè)圓片，直至把圓片都移到十位（個(gè)位）上，這樣才能做到有序，既不重復(fù)又不遺漏。

以上教學(xué)，學(xué)生用1 個(gè)、2 個(gè)圓片進(jìn)行擺數(shù)，喚醒擺數(shù)的已有經(jīng)驗(yàn)，溫習(xí)了數(shù)量、數(shù)位和位值的意義。用3 個(gè)圓片畫(huà)可以擺的兩位數(shù)時(shí)，因“亂”打破認(rèn)知的平衡點(diǎn)，造成思維上的沖突，迫使學(xué)生用圓片擺數(shù)時(shí)，要按一定的順序來(lái)擺，初步感受了擺數(shù)的方法和不遺漏的“絕招”。整個(gè)過(guò)程自主、開(kāi)放，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)物—符號(hào)—初步抽象的學(xué)習(xí)過(guò)程，有效地實(shí)現(xiàn)了無(wú)序思維向有序思維的自覺(jué)轉(zhuǎn)換與突破。更重要的是，學(xué)生在操作中思考，在思考中調(diào)整，在調(diào)整中優(yōu)化，不知不覺(jué)觸摸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)，改造與提升了“已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)”。

二、縱向溝通，數(shù)形結(jié)合明算理

以上環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)擺數(shù)的方法有了初步的理解和掌握。但是，我們?cè)诮虒W(xué)中也發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生在思考4 個(gè)、5 個(gè)、6 個(gè)圓片可以擺哪些數(shù)時(shí)，仍懵懵懂懂。有的擺圓片，有的畫(huà)圖示，有的比手勢(shì)，一片茫然，底氣不足。究其原因，學(xué)生用圓片擺數(shù)，有圓片依托，思維嫁接在具體事物上，思路清晰，條理清楚；一旦離開(kāi)圓片，失去了支撐的具體事物，思維由簡(jiǎn)單變成了復(fù)雜，由具體變成了抽象。對(duì)于“圓片”可以組成哪些數(shù)，可以組成幾個(gè)數(shù)，就心中無(wú)數(shù)了。

其實(shí)，圓片擺數(shù)，其背后隱藏著一年級(jí)上冊(cè)學(xué)過(guò)的“數(shù)的組成與分解”的知識(shí)和技能。教學(xué)時(shí)，很重要的一條就是要溝通“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生借“形”學(xué)“數(shù)”，“數(shù)”“形”結(jié)合，找到擺數(shù)的“根基”——算理。

上面用3個(gè)圓片擺數(shù)，按有序思維考量，就是從“個(gè)位”或“十位”擺起的兩條思維“路徑”。這兩條“路徑”“退”到數(shù)的認(rèn)識(shí)中，就是“數(shù)的組成與分解”。（如下圖所示）

從3 的組成與分解可以很直觀地看出：3 的組成的第一個(gè)加數(shù)，相當(dāng)于圓片擺在數(shù)位順序表中十位上的數(shù)；第二個(gè)加數(shù)，相當(dāng)于數(shù)位順序表中個(gè)位上的數(shù)。3 的分解左邊的數(shù)，相當(dāng)于圓片擺在數(shù)位順序表中十位上的數(shù)；右邊的數(shù)，相當(dāng)于數(shù)位順序表中個(gè)位上的數(shù)。所以用圓片擺數(shù)，可以在學(xué)生積累了一定擺數(shù)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生把所擺的數(shù)進(jìn)行組成、分解，再根據(jù)組成、分解的圖示進(jìn)行寫(xiě)數(shù)，甚至可以借助已十分熟練的“數(shù)的組成與分解”直接寫(xiě)數(shù)，從而打通“數(shù)”與“形”結(jié)合的通道，明確擺數(shù)中的算理，減緩擺數(shù)的坡度，提高擺數(shù)的正確率。

擺數(shù)的思維起點(diǎn)是數(shù)的認(rèn)識(shí)，組成與分解是其內(nèi)在的邏輯關(guān)系。組成與分解的兩個(gè)數(shù)，相當(dāng)于兩堆圓片，一堆放在個(gè)位上，表示幾個(gè)一；另一堆放在十位上，表示幾個(gè)十。其間的道理是相通的，方法是一樣的，只不過(guò)從數(shù)的組成與分解這個(gè)角度來(lái)擺數(shù)，更為熟練，更為簡(jiǎn)單，更好操作與理解。

三、拓展延伸，整體觀察悟本質(zhì)

通過(guò)三次擺數(shù)的實(shí)際操作，加上3 的組成、分解對(duì)“用3 個(gè)圓片擺數(shù)”的印證，深化了學(xué)生對(duì)算理的理解。學(xué)生在此基礎(chǔ)上，對(duì)4 個(gè)、5 個(gè)、6 個(gè)、7 個(gè)、8 個(gè)圓片等可以擺的數(shù)已十分清晰、明了。所以教師可以直接問(wèn)學(xué)生，“4 個(gè)、5 個(gè)、6 個(gè)、7 個(gè)、8 個(gè)……18 個(gè)圓片擺數(shù)，怎么擺？”根據(jù)學(xué)生所擺的數(shù)及個(gè)數(shù)，逐一板書(shū)。（如下表所示）

?

很多教師在教學(xué)本節(jié)課時(shí)認(rèn)為，一年級(jí)學(xué)生只要初步知道擺數(shù)的方法即可。所以只讓學(xué)生用1—9 個(gè)圓片擺數(shù)，然后觀察所擺的數(shù)，發(fā)現(xiàn)其中的特點(diǎn)：“所擺的數(shù)的第一列，正好是圓片的個(gè)數(shù)”“所擺的數(shù)的個(gè)數(shù)比圓片的個(gè)數(shù)多1”“所擺的數(shù)每一位上的數(shù)的和正好是所擺圓片的個(gè)數(shù)”“圓片的個(gè)數(shù)越多，所擺的數(shù)的個(gè)數(shù)越多”……

這些本質(zhì)與非本質(zhì)屬性的“發(fā)現(xiàn)”，對(duì)于一年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，可以視為一種創(chuàng)造思維的歷練。針對(duì)1—9 個(gè)圓片所擺的數(shù)，其發(fā)現(xiàn)無(wú)可厚非；然而從第10 個(gè)圓片所擺的數(shù)開(kāi)始，其發(fā)現(xiàn)正確嗎？如果不加以引導(dǎo)與糾正，可以說(shuō)是教師教學(xué)上的過(guò)失。

觀察如上用10—18 個(gè)圓片所擺的數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)，與用1—9 個(gè)圓片所擺的數(shù)所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律又是不同的?！坝?—9 個(gè)圓片擺數(shù)，所擺的數(shù)的個(gè)數(shù)比圓片的個(gè)數(shù)多1。從用10 個(gè)圓片擺數(shù)開(kāi)始，則規(guī)律不同，所擺的數(shù)的個(gè)數(shù)比圓片的個(gè)數(shù)逐次少1?！薄皬挠?0 個(gè)圓片擺數(shù)開(kāi)始，圓片的個(gè)數(shù)越多，所擺的數(shù)的個(gè)數(shù)越少。”這究竟是為什么？

用10 個(gè)圓片擺數(shù)，不管是十位還是個(gè)位，在一個(gè)數(shù)位上最多只能擺9 個(gè)圓片。從數(shù)的組成分析，0+10＝10這個(gè)等式在順序表上不能成立，只有1+9 ＝10、2+8 ＝10、3+7 ＝10 ……這些等式才能成立；從數(shù)的分解來(lái)看，10 分解成0 和10 在順序表上也不能成立，只有分解成1 和9、2 和8、3 和7 等才能成立。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)位上的數(shù)字至多只能是9，所以10 個(gè)圓片擺數(shù)，所擺的數(shù)的個(gè)數(shù)自然比圓片的個(gè)數(shù)少1。由此也說(shuō)明了一個(gè)潛在的算理，用組成與分解考慮擺數(shù)時(shí)，其中最大的一個(gè)數(shù)只能是9。圓片個(gè)數(shù)超過(guò)9 時(shí)，“所擺的數(shù)的個(gè)數(shù)比圓片的個(gè)數(shù)多1”“圓片的個(gè)數(shù)越多，所擺的數(shù)的個(gè)數(shù)越多”這兩個(gè)發(fā)現(xiàn)也就站不住腳了。

用19 個(gè)、20 個(gè)、21 個(gè)圓片……擺兩位數(shù)，因其中至少有一個(gè)數(shù)要大于9，所以沒(méi)辦法用這些圓片擺兩位數(shù)，道理也在其中。

用1—18 個(gè)圓片所擺的數(shù)，如下圖所示。

規(guī)律要在全面、系統(tǒng)的知識(shí)體系中尋找，千萬(wàn)不要在小范圍內(nèi)妄加總結(jié)。像上面所述，如果讓學(xué)生觀察用1—18 個(gè)圓片所擺的數(shù)的規(guī)律，就不會(huì)獲得那些隱性的錯(cuò)誤、偽裝的本質(zhì)屬性。因此，教師要與學(xué)生一起，從1 個(gè)、2 個(gè)、3 個(gè)圓片擺起，拓展、延伸到擺18 個(gè)圓片，再引導(dǎo)學(xué)生從整體觀察，就不會(huì)被假象所迷惑，從而認(rèn)清知識(shí)的規(guī)律，獲得全面、系統(tǒng)、正確的數(shù)學(xué)本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)、能力、思想同步發(fā)展。

“擺一擺，想一想”，學(xué)生“擺”出來(lái)的不是幾個(gè)圓片，而是智慧；“想”出來(lái)的不是簡(jiǎn)單規(guī)律，而是數(shù)學(xué)本質(zhì)。整個(gè)過(guò)程，學(xué)生領(lǐng)略了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合，親歷了動(dòng)手操作、列表統(tǒng)計(jì)、整體觀察等數(shù)學(xué)活動(dòng)，在步步深入的學(xué)習(xí)中，知方法、明算理、悟本質(zhì)，理解了知識(shí)的“本”，感受了數(shù)學(xué)的“魂”，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了數(shù)學(xué)能力核心素養(yǎng)。