“三點共線向量定理”及其拓展應(yīng)用

?江蘇省常熟市中學(xué) 盛錦星

數(shù)學(xué)中的一些基本規(guī)律、結(jié)論具有極高的應(yīng)用價值，可推廣到實際解題中，因此挖掘習(xí)題、?？碱}中的結(jié)論、規(guī)律有著現(xiàn)實的意義.下面探究一個與三點共線相關(guān)的向量結(jié)論，并結(jié)合實例進行拓展應(yīng)用.

1 問題引出

圖1

2 問題溯源

2.1 教材追溯

上述問題中涉及到了“三點共線的向量定理”，實際上該定理在高中教材中就有體現(xiàn)，在教材中有下述一道題例.

圖2

2.2 問題歸納

3 結(jié)論強化

上述結(jié)論可歸為“三點共線向量定理”.在解題中可利用該定理來推導(dǎo)向量之間的關(guān)系，如果向量關(guān)系的系數(shù)不為1，則可以向“1”轉(zhuǎn)化.

圖3

4 拓展應(yīng)用

“三點共線向量定理”在實際解題中有著廣泛的應(yīng)用，可用于向量推導(dǎo)、系數(shù)求解、求最值或范圍分析，同時向量的幾何屬性可用于立體幾何問題破解.使用時除了可以直接由定理推導(dǎo)系數(shù)關(guān)系外，還可以結(jié)合系數(shù)關(guān)系構(gòu)造新的向量，形成幾何特性.下面結(jié)合實例加以探究拓展.

4.1 應(yīng)用一：構(gòu)造向量求范圍

圖4

4.2 應(yīng)用二：構(gòu)造向量生成模型

圖5

評析：例2要求∠BAC的余弦值，顯然需要構(gòu)造直角三角形，題目中給出了2x+10y=5，雖然圖形中不存在三點共線的情形，但對向量關(guān)系式變形即可獲得“共線”，通過構(gòu)造向量推出垂直關(guān)系.因此三點共線的向量定理可用于特殊位置關(guān)系的構(gòu)建，基本思路是“系數(shù)變形→構(gòu)造向量→推導(dǎo)共線→生成模型”.

4.3 應(yīng)用三：空間推導(dǎo)求系數(shù)

例3如圖6所示，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M為線段AB的中點.

圖6

(1)證明：C1M∥平面A1ADD；

圖7

評析：“三點共線向量定理”具有幾何屬性，故同樣可用于空間幾何問題中.上述解二面角問題時，進行了基底向量轉(zhuǎn)化，利用“三點共線向量定理”來推導(dǎo)系數(shù)的值，直接求出了向量關(guān)系及向量的模.從應(yīng)用過程來看，是對該定理的正向使用，與平面向量系數(shù)問題的使用策略是一致的.

5 教學(xué)建議

“三點共線向量定理”來源于教材習(xí)題，是三點共線情形下的拓展總結(jié)，深刻發(fā)掘教材的概念、定理，總結(jié)定理的思想方法十分重要.下面深入反思，提出幾點建議.

(1)關(guān)注定理，挖掘內(nèi)涵

“三點共線向量定理”本質(zhì)上是基于幾何特性，利用向量運算生成的特殊結(jié)論.定理體現(xiàn)了共線點之間的位置關(guān)系，以及共線向量的代數(shù)關(guān)系.定理探究要關(guān)注定理特征、構(gòu)建方法、論證過程，以及適用的條件，為后續(xù)的定理應(yīng)用打好基礎(chǔ).同時，定理中往往隱含了豐富的數(shù)學(xué)思想，如等量代換、模型構(gòu)造、化歸轉(zhuǎn)化等，看似“平常”的向量，實則是知識與數(shù)學(xué)思想的融合，教學(xué)中要充分發(fā)揮向量定理的數(shù)學(xué)思想價值，促進學(xué)生數(shù)學(xué)思想的提升.

(2)提煉策略，應(yīng)用解題

“三點共線向量定理”有著廣泛的應(yīng)用性，可以優(yōu)化解法，簡化過程.學(xué)生往往只能掌握定理的常規(guī)應(yīng)用思路，即利用三點共線來推導(dǎo)向量關(guān)系中的系數(shù)，但該思路僅是定理的淺層應(yīng)用.實際上可充分結(jié)合定理來構(gòu)造新向量，圖形特征重塑，即對于向量系數(shù)和不為“1”的情形，通過向量的拼湊變形，形成滿足定理的特殊情形，從而生成三點共線以及特殊的幾何特性.該種思路可最大化發(fā)揮向量的價值，同時也體現(xiàn)出向量“數(shù)”與“形”的雙重屬性.

(3)知識聯(lián)想，拓展探究

三點共線是幾何中的特殊情形，以向量的形式表示共線充分體現(xiàn)了知識的關(guān)聯(lián)性.教學(xué)中，在完成定理探究的前提下，可引導(dǎo)學(xué)生思考哪些幾何知識還可以用向量來表述，從基本的“向量積為零的幾何意義”，深入到“三角形四心的向量形式”，幫助學(xué)生完成知識的拓展與升華.而舉例探究中建議立足問題本質(zhì)，變換問題形式，讓學(xué)生在探究中經(jīng)歷思維的碰撞，在變式中激活學(xué)生的思維，發(fā)揮探究教學(xué)的價值.