立體幾何中垂直關(guān)系典例解析

?甘肅省平?jīng)鍪徐o寧縣界石鋪中學(xué) 周建軍

1 引言

立體幾何證明中，課本上的概念、性質(zhì)定理、判定定理是處理文字、圖形和數(shù)學(xué)符號(hào)之間關(guān)系的最好工具，線與面、面與面的垂直可轉(zhuǎn)化為線與線的垂直.線與線的垂直關(guān)系模型常見的有：①等腰(等邊)三角形中“三線合一”性質(zhì)的應(yīng)用模型；②菱形(正方形)對角線互相垂直性質(zhì)的應(yīng)用模型；③線面垂直的定義模型；④滿足勾股定理的三角形模型；⑤直徑所對的圓周角是90°；⑥墻角模型(三條直線兩兩垂直)；⑦拐彎模型；⑧兩平行直線中的一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于這條直線.只要熟練運(yùn)用好上面的幾種垂直模型，立體幾何中的垂直關(guān)系便可迎刃而解.

2 例題解析

2.1 空間折疊題型和墻角模型的應(yīng)用

例1如圖1，已知△ABC中，AD是邊BC上的高，以AD為折痕折疊△ABC，使∠BDC為直角.求證：(1)平面ABD⊥平面BDC；(2)平面ADC⊥平面ABD.

圖1

分析：該題是由平面圖形折疊成立體圖形，不管△ABD折疊到哪個(gè)位置，AD始終與BD，CD保持垂直關(guān)系，這也是這道題的題眼.

證明：(1)∵AD⊥BD,AD⊥DC,BD∩CD=D，

∴AD⊥平面BDC.

∵AD?平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BDC.

(2)∵∠BDC=90°,

∴CD⊥BD.

又∵CD⊥AD，AD∩BD=D，

∴AD⊥CD.

又∠BDC=90°，且AD∩BD=D，

∴CD⊥平面ABD.

∵CD?平面ADC，

∴平面ADC⊥平面ABD.

點(diǎn)評：證明線面垂直的關(guān)鍵是在所證平面內(nèi)找到兩條相交直線分別與已知直線垂直，墻角模型恰好可以提供這種關(guān)系，以解決該題.面面垂直是通過轉(zhuǎn)化思想，在線面垂直的基礎(chǔ)上，找到一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直.

2.2 幾何體結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用

例2如圖2，在圓錐PO中，C是AB弧上一點(diǎn)(異于A，B)，D為AC的中點(diǎn).

圖2

求證：平面POD⊥平面PAC.

分析：①該題涉及到幾何體的基本結(jié)構(gòu)，PO為圓錐的高線，所以PO垂直于底面圓所在平面；②利用線面垂直的定義，PO垂直于底面圓，則PO垂直于底面圓內(nèi)的所有直線；③圓的直徑所對的圓周角等于90°；④添加輔助線.

證明：如圖3，連接BC.

圖3

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°.

∵點(diǎn)O，D是AB，AC的中點(diǎn),

∴OD//BC.

∴AC⊥OD.

又在圓錐PO中，PO垂直于⊙O所在的平面，

∴PO⊥AC.

∵OD∩PO=O,

∴AC⊥平面POD.

∵AC?平面PAC,

∴平面POD⊥平面PAC.

點(diǎn)評：立體幾何垂直證明的推理過程，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力，更培養(yǎng)了學(xué)生的幾何觀察能力[1].通過對圖形的觀察，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言進(jìn)行合情推理，印證了垂直的性質(zhì)定理和判定定理在實(shí)際問題中的合理應(yīng)用，加強(qiáng)了學(xué)生在推理活動(dòng)中的觀察、操作、分析、論證能力.

2.3 三角形中邊長滿足勾股定理的垂直模型的應(yīng)用

例3如圖4，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.求證：平面BDE⊥平面ABC.

圖4

分析：由題意易證DE⊥AC，根據(jù)圖形利用三角形的邊長，結(jié)合勾股定理可證DE⊥EF，根據(jù)兩個(gè)平面垂直的判定定理證明.

證明：∵PA⊥AC，且DE//PA，

∴DE⊥AC.

又EF//BC，

∴DE⊥BC.

又AC∩BC=C，

∴DE⊥平面ABC.

又DE?平面BDE，

∴平面BDE⊥平面ABC.

點(diǎn)評：當(dāng)證明線線垂直的條件不足時(shí)，就要認(rèn)真閱讀題目中給出的邊長條件，善于觀察，結(jié)合勾股定理構(gòu)造直角三角形，從而完成邏輯推理證明，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決問題的熱情.

2.4 多重垂直證明

例4如圖5，空間四邊形PABC中，∠ACB=90°,PA⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別是PC和PB上的點(diǎn)，且滿足AE⊥PC,AF⊥PB,求證：PB⊥平面AEF.

圖5

分析：這道題中涉及到“拐彎垂直模型”和多重垂直的證明.“拐彎垂直模型”，如圖5中的“PA⊥AC→AC⊥BC”,這種模型在很多題目中出現(xiàn)，需要學(xué)生熟練掌握.

多重垂直證明，是不斷地通過垂直關(guān)系，找到新的垂直條件.可從結(jié)論出發(fā)，逆向?qū)ふ页闪l件，即“PB⊥平面AEF→AE⊥PB→AE⊥平面PBC→AE⊥BC→BC⊥平面PAC→BC⊥PA→PA⊥平面ABC”，最終向已知靠近，需要反復(fù)應(yīng)用直線與平面垂直的定義和判定定理.

證明：∵PA⊥平面ABC，且BC?平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC.

又PA∩AC=A，

∴BC⊥平面PAC.

∵AE?平面PAC，

∴BC⊥AE.

又AE⊥PC,PC∩BC=C，

∴AE⊥平面PBC.

∵PB?平面PBC，

∴AE⊥PB.

∵AF⊥PB,AE∩AF=A，

∴PB⊥平面AEF.

點(diǎn)評：當(dāng)題目中涉及多重垂直時(shí)，考查學(xué)生觀察圖形、系統(tǒng)整合、快速轉(zhuǎn)化的能力[2].我們可以從結(jié)論出發(fā)，逆向推理尋找所需條件，從一個(gè)垂直到另一個(gè)垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化中，要時(shí)刻保持清醒，明確在轉(zhuǎn)化的過程中哪些條件變了，哪些條件沒有改變，這些條件之間有什么聯(lián)系，必須保持嚴(yán)密性，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，向已知靠攏，最后應(yīng)用綜合法，規(guī)范表述因果關(guān)系.

3 結(jié)束語

立體幾何中垂直關(guān)系的學(xué)習(xí)，是通過對簡單幾何體模型的觀察到模型畫圖，再到識(shí)圖.從點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的表述，到依據(jù)定義、定理運(yùn)用邏輯推理方法正確表達(dá)幾何圖形語言和數(shù)學(xué)符號(hào)語言，這是一個(gè)系統(tǒng)的工程，需要學(xué)生多看、多想、多練，多總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，以強(qiáng)化空間思維能力和邏輯推理能力.