基于知識(shí)建模圖的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的應(yīng)用分析
——以2021年高考題為例

?廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 王素素 張映輝 羅 瑤

1 數(shù)學(xué)建模與知識(shí)建模圖

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是促進(jìn)學(xué)生有效進(jìn)行數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的重要因素之一，具有深刻的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用性，是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.在數(shù)學(xué)教學(xué)方面，王俊杰[1]和吳幼林[2]均指出數(shù)學(xué)建模是搭建數(shù)學(xué)與生活的關(guān)鍵性橋梁，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)可以提升學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力，進(jìn)而對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與發(fā)展有深刻的影響和意義.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面，何江[3]認(rèn)為數(shù)學(xué)建模題目可以激發(fā)學(xué)生的想象力，有效地培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維，在數(shù)學(xué)建模的過程中提高學(xué)生的綜合能力；唐費(fèi)穎[4]指出數(shù)學(xué)建模實(shí)踐活動(dòng)可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，并推動(dòng)學(xué)生在建模體驗(yàn)中感悟與反思，不斷累積解決生活中數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn).在數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)方面，蘭小銀[5]提出對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的評(píng)價(jià)須要改進(jìn)教學(xué)活動(dòng)中評(píng)價(jià)工具和評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，在試題的難度和背景等方面要進(jìn)一步加強(qiáng)高考數(shù)學(xué)建模試題的有效性，鞏固高考對(duì)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的測(cè)驗(yàn)功能.因此，從2021年數(shù)學(xué)高考題中深入探究其數(shù)學(xué)建模相關(guān)題目將會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)、學(xué)習(xí)與評(píng)價(jià)具有很大的指導(dǎo)意義.但以往的文章大都是直接從題目入手，簡(jiǎn)單抽離出題目所蘊(yùn)含的重要概念，進(jìn)行題目的常規(guī)分析與解答，缺乏對(duì)題目隱含的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)進(jìn)行深度解析.

知識(shí)建模圖是依據(jù)特有的標(biāo)準(zhǔn)，用不同的圖形符號(hào)表示各個(gè)類型的知識(shí)點(diǎn)，并使用特定規(guī)范的語言描述各個(gè)類型知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系，從而將知識(shí)體系的結(jié)構(gòu)直觀明了地表現(xiàn)出來[6].本研究利用知識(shí)建模圖，構(gòu)建高考數(shù)學(xué)建模試題隱含的知識(shí)脈絡(luò)與框架，引導(dǎo)教師在課堂教學(xué)中利用知識(shí)建模圖將數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)與歸類，在課堂中形成研究性學(xué)習(xí)氛圍，推動(dòng)學(xué)生從知識(shí)建模圖中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).

2 建構(gòu)知識(shí)建模圖的2021年高考題分析

從課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)建模的定義出發(fā)，解析2021年的數(shù)學(xué)高考卷總共8套10份試卷(全國甲卷文理、全國乙卷文理、新高考Ⅰ卷)，數(shù)學(xué)建模類的題目總共只有22道題(包含選修題)，占比7.67%，大多是在概率統(tǒng)計(jì)題目中有所涉及.所占比例比較小的數(shù)學(xué)建模類高考題，表現(xiàn)出明顯的題目難度較小、區(qū)分度不高的特征.越是難的題目越不容易披上“現(xiàn)實(shí)應(yīng)用”的外衣.如何促進(jìn)數(shù)學(xué)建模類高考題的改革與發(fā)展是一個(gè)持續(xù)性的教學(xué)發(fā)展問題.

本研究將從函數(shù)、幾何、概率三個(gè)方面構(gòu)建例題的知識(shí)建模圖，并依據(jù)知識(shí)建模圖的輸出結(jié)果進(jìn)行例題的思路分析.知識(shí)建模圖用六種圖形分別表示不同的知識(shí)類型：第一種是用表示知識(shí)的概念與定義；第二種是用表示知識(shí)的原理及格式；第三種是用表示知識(shí)連接的過程和方法；第四種是用表示學(xué)習(xí)過程中的認(rèn)知策略；第五種是用表示題目外顯的事實(shí)范例；第六種是用表示題目隱含的價(jià)值觀.不同的知識(shí)點(diǎn)之間定義了十種關(guān)系：(1)包含；(2)構(gòu)成、組成；(3)是一種；(4)具有屬性；(5)具有特征；(6)定義；(7)并列；(8)是前提；(9)是工具；(10)支持[7].將高考應(yīng)用題按照知識(shí)點(diǎn)再分類，依據(jù)類別分別對(duì)所選例題進(jìn)行知識(shí)建模圖的構(gòu)建，有利于培養(yǎng)學(xué)生“依題構(gòu)圖，用圖解題”的解題習(xí)慣，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的形成與發(fā)展.

2.1 緊抓函數(shù)主線，解答數(shù)學(xué)建模問題

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)概念，貫穿高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過程之中.以函數(shù)為主線的數(shù)學(xué)建模試題，具有清晰的數(shù)學(xué)關(guān)系和嚴(yán)密的解題步驟.數(shù)學(xué)建模試題中隱含的函數(shù)概念，需要學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單的梳理和歸類，從而針對(duì)性地對(duì)函數(shù)類的數(shù)學(xué)建模題進(jìn)行建模與解答.

例1[2021年高考數(shù)學(xué)上海卷(夏季)第19題]已知某企業(yè)今年(2021年)第一季度的營業(yè)額為1.1億元，以后每個(gè)季度(一年有四個(gè)季度)營業(yè)額都比前一季度多0.05億元，該企業(yè)第一季度利潤為0.16億元，以后每一季度的利潤都比前一季度增長(zhǎng)4%.

(1)求2021第一季度起20季度的營業(yè)額總和；

(2)問哪一年哪個(gè)季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的18%？

圖1 “企業(yè)季度營業(yè)額和利潤”知識(shí)建模圖

2.2 以立體幾何為模型，轉(zhuǎn)換條件進(jìn)行解題

立體幾何題目對(duì)學(xué)生的空間想象能力具有較高的要求，但數(shù)學(xué)建模試題通常會(huì)對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)要的文字描述，使題目難度降低.學(xué)生只需對(duì)立體幾何類題目進(jìn)行條件轉(zhuǎn)換，以繁化簡(jiǎn)，輸出所學(xué)知識(shí)點(diǎn)即可解答該類題目.

例2(2021年高考數(shù)學(xué)北京卷第8題)定義：氣象學(xué)中24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度(mm)來判斷降雨程度.其中小雨(<10 mm)，中雨(10 mm～25 mm)，大雨(25 mm～50 mm)，暴雨(50 mm～100 mm)，小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖2，則這天降雨屬于哪個(gè)等級(jí)( ).

圖2

A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨

圖3 “降雨積水厚度”知識(shí)建模圖

2.3 巧用時(shí)事政治，理解概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)

以時(shí)事政治為背景的數(shù)學(xué)建模試題通常是概率統(tǒng)計(jì)類題目，其中排列組合是此類題的難點(diǎn).學(xué)生需對(duì)題目進(jìn)行剖析，準(zhǔn)確定位題目所屬的概率問題，對(duì)排列的不同情況進(jìn)行分類討論，凸顯學(xué)生解題的細(xì)心與耐心.

例3[2021年高考數(shù)學(xué)上海卷(夏季)第10題]甲、乙兩人在花博會(huì)的A,B,C,D不同展館中各選2個(gè)去參觀，則兩人選擇中恰有一個(gè)館相同的概率為.

圖4 “花博會(huì)參觀選館”知識(shí)建模圖

3 教學(xué)建議

2021年的數(shù)學(xué)高考題仍舊以應(yīng)試題目為主，數(shù)學(xué)建模類考題占比很低，且題目難度為中等，試題可抽象出簡(jiǎn)單的函數(shù)或公式問題，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有一定的指導(dǎo)意義.問題是數(shù)學(xué)的心臟，但是數(shù)學(xué)問題來源于生活實(shí)踐.離開生活實(shí)踐、缺少數(shù)學(xué)建模的試題難以培養(yǎng)學(xué)生多元化的探究思維能力和創(chuàng)新實(shí)踐能力.當(dāng)今教育改革大力倡導(dǎo)素質(zhì)教育，著重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，數(shù)學(xué)高考題需從數(shù)量、講解、應(yīng)用性的角度培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，加強(qiáng)學(xué)生在生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力.基于此，筆者提出以下三點(diǎn)建議.

3.1 適當(dāng)增大數(shù)學(xué)建模類高考試題的數(shù)量

高考試題的內(nèi)容和類型很大程度上影響著教師在課堂中教授的知識(shí)內(nèi)容.2021年全國各個(gè)地區(qū)的高考題從實(shí)時(shí)政治、生活情境中間接考查學(xué)生的理性思維，符合新課標(biāo)的要求.但是數(shù)學(xué)建模類高考試題的數(shù)量偏少，使得學(xué)生把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重心轉(zhuǎn)向盲目刷題、死記硬背上.數(shù)學(xué)建模試題考查學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的基本能力，需要學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯思維.因此，只有提高高考數(shù)學(xué)建模試題的數(shù)量，才能使學(xué)生轉(zhuǎn)變“應(yīng)試”思維，加強(qiáng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.2 注重?cái)?shù)學(xué)建模類例題的講解

“雙減”政策的提出與實(shí)施，為數(shù)學(xué)課堂注入了新的活力與動(dòng)力.義務(wù)教育“減負(fù)”之余，提高了學(xué)生的成才質(zhì)量，同時(shí)對(duì)其核心素養(yǎng)的要求也會(huì)不斷提高.教師要注重對(duì)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)習(xí)慣的培養(yǎng)，從例題中解讀數(shù)學(xué)問題的一般化，并推廣至同一個(gè)類型的題目，以此培養(yǎng)學(xué)生探究問題、研究實(shí)例、創(chuàng)新方法的能力[8].因此在基礎(chǔ)教育階段，教師在講解建模類例題時(shí)，可以充分運(yùn)用知識(shí)建模圖，在建構(gòu)的過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

3.3 促進(jìn)生活中的數(shù)學(xué)與課堂中的數(shù)學(xué)有機(jī)結(jié)合

目前大多數(shù)人對(duì)數(shù)學(xué)建模題產(chǎn)生了誤解，即認(rèn)為數(shù)學(xué)建模題目解答的過程與數(shù)學(xué)應(yīng)用題的求解過程是一模一樣的[9]，其實(shí)不然.數(shù)學(xué)建模題側(cè)重于用嚴(yán)密的數(shù)學(xué)工具去解決生活中的現(xiàn)實(shí)問題，并非簡(jiǎn)單的求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，唯有將生活中的數(shù)學(xué)與課堂中的數(shù)學(xué)良好地結(jié)合在一起，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與探究中才會(huì)感受到數(shù)學(xué)的美與趣.這便要求教師在教學(xué)過程中要注重“五化”策略——背景化、探究化、經(jīng)驗(yàn)化、遷移化、直覺化的實(shí)施[10].通過“五化”策略構(gòu)建知識(shí)建模圖，展現(xiàn)系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)與框架，提高學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的能力，促進(jìn)學(xué)生形成有深度的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).