聚焦度量 發(fā)展量感

黃金娥

量感主要指對事物的可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知，是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)。教學(xué)中，教師如何引導(dǎo)學(xué)生遷移、運用已有的度量經(jīng)驗來把握面積與周長的區(qū)別和聯(lián)系，使學(xué)生對“面積”的理解從直觀感知走向度量認(rèn)知，進(jìn)而形成良好的量感呢？

一、分析面積的度量意義

面積是度量幾何中最基本的概念之一。面積的測量就是確定度量對象、選用度量單位和賦予度量值的過程。從字面上，“面積”中的“積”指度量方式，有累積、乘積的意思。其中“累積”有兩層含義：一是積小面成大面后，數(shù)出一個數(shù)值表示其大??；二是積線成面。所以說，“面的大小”并不是指“哪個面大、哪個面小”或指向“相差”，而是指“每個面的實際量值”。測量就是數(shù)一數(shù)、量一量有多少個這樣的計量單位。

《小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的大道理》一書指出，早在嬰兒階段，人就已經(jīng)能夠辨別兩塊餅的大小。教學(xué)時，教師不能僅從“面的大小”層面來分析面積的定義，還要從度量的視角引導(dǎo)學(xué)生真正理解面積的意義。基于此，教師可以結(jié)合給教室鋪地磚的生活情境，先引導(dǎo)學(xué)生理解鋪磚的過程其實是把一塊磚看作一個計量單位，正好鋪滿教室地面的磚的塊數(shù)就是我們度量出的教室面積的大小，再引導(dǎo)學(xué)生從實物過渡到圖形，進(jìn)一步體會面積的意義。

二、體會面積度量標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一

面積單位即度量面積的標(biāo)準(zhǔn)。面積單位不僅僅只有邊長1厘米、1分米、1米的正方形，它們只是一些標(biāo)準(zhǔn)的面積單位。在比較面積的大小時，統(tǒng)一度量單位十分重要。

筆者對比人教版、北師大版、蘇教版和浙教版數(shù)學(xué)教材“面積”相關(guān)內(nèi)容后發(fā)現(xiàn)：北師大版和浙教版直接給出借助拼擺小正方形得出面積的方法；蘇教版用同一張紙去量不同圖形的面積，體現(xiàn)了度量面積要用同一個標(biāo)準(zhǔn)；人教版呈現(xiàn)了“選用哪種圖形作單位來測量面積”的探索活動。在人教版數(shù)學(xué)教材的探索活動中，學(xué)生選用三角形、圓形作單位來度量長方形的面積也能得出正確結(jié)果，他們能體會到選用正方形作為面積單位的合理性嗎？例如，圖1的正方形中擺了36個圓片，圖2的長方形中擺了32個圓片，學(xué)生根據(jù)圓片數(shù)量可以得出正方形的面積比長方形面積大的結(jié)論；但如果采用圖3的擺法，正方形中擺了39個圓片，長方形中擺了40個圓片，就會造成長方形面積反而比正方形面積大的錯覺。

如果教師在課堂上引入上述對比操作和辨析的過程，學(xué)生一定會發(fā)現(xiàn)其中的奧秘，對面積的概念和選擇合適的面積度量標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生更加深刻的體會。

在比較兩個圖形（長5厘米、寬3厘米的長方形和邊長4厘米的正方形）面積大小的環(huán)節(jié)，除了準(zhǔn)備20個邊長1厘米的小正方形，筆者還準(zhǔn)備了10個邊長2厘米的小正方形，讓學(xué)生度量圖形面積時有不同的選擇。實踐中，學(xué)生呈現(xiàn)了以下幾種擺法：①長方形和正方形都用邊長1厘米的小正方形度量；②用邊長1厘米的小正方形度量長方形的面積，用邊長2厘米的小正方形度量正方形的面積；③如下圖，用邊長2厘米的小正方形度量面積，不夠量的部分?jǐn)[滿邊長1厘米的小正方形。

擺法1選擇統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)來量，方便比較；擺法2雖然把各自要度量的面擺滿了，但是標(biāo)準(zhǔn)不一樣，不能直接比較；擺法3本質(zhì)上仍然是用邊長1厘米的小正方形作為標(biāo)準(zhǔn)來測量。筆者引導(dǎo)學(xué)生用兩種大小不一樣的正方形作為度量面積的工具，使學(xué)生體會到比較面積時統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)很有必要。

三、感悟面積度量的本質(zhì)

為深化學(xué)生對面積度量本質(zhì)的理解，筆者沒有采取常規(guī)的通過測量、填表、觀察等活動推導(dǎo)出長方形和正方形面積公式的教學(xué)流程，而是引導(dǎo)學(xué)生借助“畫一畫、剪一剪、擺一擺”等活動，探討長方形面積與它的長和寬之間的聯(lián)系。

課堂上，筆者設(shè)計了以下兩個問題，引導(dǎo)學(xué)生通過動手操作來感知：①一張長10厘米、寬8厘米的長方形彩紙，最多可以剪出多少個面積是4平方厘米的小正方形？②一張長10厘米、寬8厘米的長方形彩紙，最多可以剪出多少個邊長4厘米的小正方形？這兩個問題看似是同一類問題，其實不然。實踐中，學(xué)生往往把這兩個問題都理解成“大面積里包含多少個小面積”，直接列算式計算得出“10×8÷4=20（個）”“（10×8）÷（4×4）=5（個）”。部分學(xué)生不能理解為什么這樣解答問題①是對的，這樣解答問題②卻是錯的。問題②的解法錯在哪里呢？筆者引導(dǎo)學(xué)生通過畫一畫、剪一剪直觀地看到：問題①是以4平方厘米為面積單位（邊長2厘米的正方形），問題②是以16平方厘米為面積單位（邊長4厘米的正方形）；長方形的長和寬正好是2厘米的整數(shù)倍，但并不是4厘米的整數(shù)倍，在大長方形中剪下4個邊長4厘米的小正方形后，剩余的長8厘米、寬2厘米的小長方形的面積雖然也是16平方厘米，但不是題目中需要的正方形。有了這樣的直觀操作，學(xué)生對圖形面積大小的實質(zhì)有了更深入的理解。

以上學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生明確了長方形的長和寬包含多少個面積單位與面積單位的大小有關(guān)：當(dāng)長和寬以厘米為長度單位時，適合選用邊長1厘米的小正方形去量；長和寬分別是幾厘米，就包含幾個邊長1厘米的小正方形。在此基礎(chǔ)上，筆者引導(dǎo)學(xué)生討論長方形的面積等于“長×寬”的原因，搞清楚為什么兩個長度相乘就能得到面積。學(xué)生通過擺的直觀操作發(fā)現(xiàn)：“長×寬”即“一行擺的個數(shù)×擺的行數(shù)”，乘積是度量單位的個數(shù)；實際上，長方形的面積應(yīng)該在長乘寬的基礎(chǔ)上乘“1”（“1”指度量單位的面積，也就是1個小正方形的面積是1平方厘米），而乘“1”可以省略。

四、厘清度量過程中的運動不變性

測量的過程隱含了運動不變性。如下圖，測量不規(guī)則圖形的周長時，把邊做相應(yīng)的移動，其長度并未改變，可以將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)變成正方形來求周長。

面積也存在運動不變性。如下圖，移動不規(guī)則圖形右下角的一個面，正好可以將該圖形補(bǔ)成一個正方形，很容易得出其面積。如果計算面積時移動了邊，面積顯然會變大。

教學(xué)時，筆者出示上述兩個問題，引導(dǎo)學(xué)生分析周長和面積的運動不變性，為后續(xù)學(xué)生推導(dǎo)平行四邊形面積公式、三角形面積公式等奠定基礎(chǔ)。

度量源自數(shù)量大小比較的需要。通俗地講，長度度量的本質(zhì)是以短量長，面積度量的本質(zhì)是以小片量大片，體積度量的本質(zhì)是以小坨量大坨，角度度量的本質(zhì)是以小角量大角，度量的本質(zhì)即“以小量大”。從“為什么要度量”“統(tǒng)一度量單位的必要性”“度量工具的選擇”和“度量的本質(zhì)”等方面展開教學(xué)，有助于發(fā)展學(xué)生的量感，讓學(xué)生養(yǎng)成用定量的方法解決問題的思維習(xí)慣。

（作者單位：宜都市實驗小學(xué)）

責(zé)任編輯 劉佳