立足課堂問題鏈，提升數(shù)學核心素養(yǎng)

葉雯雯

摘 要：數(shù)學核心素養(yǎng)如何落地生根成為數(shù)學課程改革的重要命題，數(shù)學問題鏈教學無疑是其重要抓手之一.本文以“四心背景下的解三角形問題”這節(jié)復習課教學為例，談如何通過問題鏈設置幫助學生解決問題，理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

關鍵詞：問題鏈；核心素養(yǎng)；復習課教學

1?問題的提出

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》實施建議指出，在教學活動中，應結(jié)合教學任務及其蘊含的數(shù)學學科核心素養(yǎng)設計合適的情境和問題，引導學生用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當?shù)臄?shù)學語言描述問題，用數(shù)學的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數(shù)學內(nèi)容的本質(zhì)，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展^［1］.因此教師應該根據(jù)教學目標，精心設計一系列問題，將教學內(nèi)容以問題鏈的形式呈現(xiàn)，引導和推動學生進行思考和研究，從而使學生獲得知識和能力.通過課堂問題鏈設置，讓學生在問題的解決中學會學習，學會思考，真正成為學習的主人；通過課堂問題鏈設置，教師在教學中落實對學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，從而提高教學質(zhì)量.近年來，筆者就如何通過問題鏈設計來提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)進行了大量的思考和豐富的實踐，本文以“四心背景下的解三角形問題”的教學為例來展示筆者的一些實踐和思考.

2?“四心背景下的解三角形問題”的教學實踐

廈門市2023屆高三畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測卷的第17題第2問是關于四心背景下的解三角形問題，滿分6分，全市均分1.48分，我校均分0.94分，說明不僅我們學校，全市學生對于這塊知識的掌握都是非常薄弱的.因此筆者從這道題出發(fā)，上了一節(jié)四心背景下的解三角形問題的復習課.整節(jié)課教師以問題為導向，通過給出思考路徑讓學生尋找要求的量與已知量的關系，讓學生拾階而上，形成思維導圖，教學生學會“想”；以訂正為抓手，抓住三個到位——點撥到位，練習到位，鞏固到位，通過環(huán)環(huán)相扣的變式引發(fā)學生思考，教學生學會“做”；以素養(yǎng)為目標，通過知識儲備——解三角形相關公式、定理和三角形的四心性質(zhì)，進行知識間的轉(zhuǎn)化，提升了學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)，教學生學會“用”；以小組合作學習的方式，增加課堂中的生生互動，逐步促進學生的深度學習和集體知識建構(gòu)，教學生學會“說”.

2.1?復習舊知，剖析思路

例題：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知2a-c=2bcosC.

（1） 求B的大小.

（2） A的角平分線與C的角平分線相交于點D，AD=3，CD=5，求AC和BD.

問題1：同學們在做第二問的時候遇到了什么困難？

追問1：請同學們思考要求的AC需要放在哪個三角形，借助什么定理來解決.

追問2：現(xiàn)在還缺少一個∠ADC的值，如何求呢？∠ADC與已知的∠B有何關系？

學生活動：學生根據(jù)題目所給信息畫出圖形，并在教師的層層追問下根據(jù)圖形找到本題的難點及突破口.

設計意圖：從學生做過的考試題目入手，引入本節(jié)課的學習.學生解題的難點在于在多個三角形背景下，不知如何解三角形，感覺眼花繚亂無從下手.因此教師引導學生將題目的已知條件圖形化，將抽象變形象，更直觀地看出三角形中邊角之間的關系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，提升了學生的直觀想象素養(yǎng).接著引導學生思考：要求的量可以放在哪個三角形中解決，從而鎖定目標；再思考要利用我們學過的定理、公式、性質(zhì)來求解還缺少什么量，如何求這個量，通過層層追問啟發(fā)學生思考，從而突破本節(jié)課的難點.這里體現(xiàn)了一種轉(zhuǎn)化與化歸的思想，提升了學生的邏輯推理素養(yǎng).這個教學環(huán)節(jié)是結(jié)構(gòu)化教學中的“教結(jié)構(gòu)”的過程，即教會學生要解決此類問題必須先作圖，再根據(jù)老師提供的問題鏈結(jié)合圖形特征進行思考，這里體現(xiàn)了文字語言、圖形語言與符號語言轉(zhuǎn)化的能力，為后續(xù)的“用結(jié)構(gòu)”做鋪墊.

問題2：請同學們類比求解AC的思考方式思考：要求的BD需要放在哪個三角形？借助什么定理來解決？

追問1：現(xiàn)在還缺少一個∠BAD的值，如何求呢？∠BAD與∠DAC有何關系？

追問2：如何在△DAC中求∠DAC？

學生活動：請同學們類比前面的思考路徑繼續(xù)研究.請同學們先獨立思考后，再小組討論，最后請同學們匯報研究成果.

設計意圖：求BD的方法有很多，這節(jié)課主要介紹兩種解決方法，一種是借助角平分線和正弦定理；一種是利用角平分線的交點就是三角形的內(nèi)心，它還具有到各邊的距離相等這一性質(zhì)，并結(jié)合正弦定理、面積公式來解決.問題2及其追問的設置在于引導學生利用方法一解決問題，這里采用了結(jié)構(gòu)化教學中的“用結(jié)構(gòu)”，讓學生學會學以致用.利用問題鏈——要求的量可以放在哪個三角形解決？借助什么定理、公式解決？缺少的量如何通過轉(zhuǎn)化與化歸思想解決？也給學生提供小組合作學習的支架，讓學生通過小組討論來增加生生互動，進一步鞏固所學的知識，讓學生通過討論后匯報來增加師生互動，給予學生更為充分的參與課堂的機會，讓學生真正成為學習的主人.

問題3：同學們還有其他方法求BD嗎？

追問1：角平分線的交點就是三角形的內(nèi)心，內(nèi)心還有什么其他性質(zhì)？

追問2：能否借助內(nèi)心到各邊的距離相等來求解？如何求解？

追問3：要求的BD需要放在哪個三角形？借助什么定理來解決？

追問4：現(xiàn)在還缺少點D到AB的距離，如何轉(zhuǎn)化呢？

追問5：在△DAC中如何求點D到AC的距離？

學生活動：學生在老師的層層追問下，努力思考解決問題的方法.接著先自己嘗試解決，再小組討論，相互分享研究成果，最后討論后匯報.

設計意圖：問題3主要是利用方法二解決問題.本節(jié)課的學習是環(huán)環(huán)相扣的，這里的學習環(huán)節(jié)不僅是再次“用結(jié)構(gòu)”的過程，也為后續(xù)變式訓練中垂心的學習起鋪墊作用.觀察圖形特點來求解三角形，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，提升了學生的直觀想象素養(yǎng)；利用等面積法求點D到AC的距離，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想，提升了學生的數(shù)學運算素養(yǎng)；利用問題鏈引導學生思考，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，提升了學生的邏輯推理素養(yǎng)；利用一題多解開闊學生的思路，發(fā)散學生的思維，也有助于提升核心素養(yǎng).

2.2?類比遷移，固化思維

變式訓練：△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=6，b+12cosB=2c.

（1） 求A的大??；

（2） M為△ABC內(nèi)一點，AM的延長線交BC于點D，? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，求△ABC的面積.

請在下列三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使△ABC存在，并解決問題.

追問3：∠AMB與∠C有何關系？

學生活動：讓學生先獨立思考，再小組合作學習討論各自的思路，最后討論后匯報.

設計意圖：這又是再次“用結(jié)構(gòu)”的過程，繼續(xù)通過層層的追問引發(fā)學生思考，提高學生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)學生的邏輯推理素養(yǎng)，繼續(xù)鞏固學生數(shù)形結(jié)合的能力，培養(yǎng)學生直觀想象的素養(yǎng).

2.3?學以致用，發(fā)散思維

接著我們將關注問題二中外心問題.

問題5：外心是什么？具有什么性質(zhì)？AM在這道題里的幾何意義是什么？

追問2：因此，這樣的三角形存在嗎？

追問3：如果將條件AM=4去掉，如何求△BMC的面積？

問題6：若M為△ABC的重心，AD=4，問△ABC的面積是多少？

追問1：重心是什么？

追問2：如何借助中線這一條件來求三角形的面積？你有幾種做法？

追問3：我們列出了兩個未知數(shù)，兩個方程，怎樣快速求出ab的值？

追問4：△BDM的面積是多少？

最后我們關注問題二中內(nèi)心問題的解決上.

問題7：通過前面的學習我們知道，三角形的內(nèi)心就是角平分線的交點，因此通過所給題目的圖形特點你想借助什么定理或者公式來解決？

追問1：當我們看到中線的時候一般會想到利用向量的中線定理，當我們看到角平分線的時候我們還可以用等面積法，借助等積法同學們能否思考下這道題的第三小問如何解決？

追問2：類比前面的學習，當我們列出了兩個未知數(shù)兩個方程的時候，怎樣快速求出ab的值？

學生活動：先讓學生獨立思考，再小組合作學習討論各自的思路，最后討論后匯報.

設計意圖：學以致用，發(fā)散思維這一環(huán)節(jié)主要研究外心、重心、內(nèi)心等問題，這里繼續(xù)鞏固了學生數(shù)形結(jié)合的能力，培養(yǎng)學生直觀想象的素養(yǎng).對于垂心和內(nèi)心的這兩個問題，對于特殊圖形我們有時候還可以采用中線定理、等積法來解決，通過問題鏈的引領和方法的介紹完善學生的知識體系，培養(yǎng)了學生函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想方法，培養(yǎng)了學生數(shù)學運算、直觀想象和邏輯推理核心素養(yǎng).

2.4?小結(jié)反思，提高認識

問題8：通過這節(jié)課的學習，你有何收獲？還存在哪些疑惑？

學生活動：請學生單獨發(fā)表各自的想法.

設計意圖：通過談收獲，進一步鞏固今天所學的知識和方法，通過談疑惑，讓老師對學生掌握的情況做到心中有數(shù)，同時可以將學生的疑惑布置成當天的作業(yè)，通過問老師、問同學、查資料等多種方式解決，激發(fā)學生的求知欲.

3?教學思考

本節(jié)課屬于復習課，教師在基于“問題鏈”的教學中，以問題為紐帶，以知識形成、發(fā)展和培養(yǎng)學生思維能力為主線，以師生、生生互動為基本形式，從而激發(fā)學生的思維活動，發(fā)展自身的數(shù)學核心素養(yǎng)，這也為今后探究復習課提供模式化的思路與方法.

3.1?以問題鏈教學為路徑，引領課堂教學

問題是數(shù)學的心臟，章建躍博士說，以問題引導學習應當成為數(shù)學教學的一條基本原則，教學中以數(shù)學知識的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學知識的心理過程為基本線索，設計前后一致、邏輯連貫的問題鏈，讓學生進入思維的軌道，在問題鏈的引導下，積極主動分析、思考、探究、解決問題，最終深刻地掌握數(shù)學知識^［3］.本節(jié)課中，對于在多個三角形背景下的解三角形問題，學生解題的困難在于三角形太多，無從下手，因此教師給出思考路徑：要求的量放在哪里三角形研究？利用什么定理、公式解決？還缺什么量？如何求？層層追問，引導學生根據(jù)這一思考路徑在茫茫三角形中鎖定目標，找到已知條件與結(jié)論之間的關系，以及解本道題的關鍵點，從而突破學生不懂在多個三角形背景下怎么解三角形問題這一難點.因此，教師在教學中遇到學生的難點，可以通過設計層層遞進的問題鏈幫助學生突破思維的難點，對于解題類的教學可以讓學生思考：題目里有什么？能得到什么？這題要讓我們求什么？需要什么？建立知識與知識的聯(lián)系，在問題的解決中不僅能提升學生的知識建構(gòu)能力，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—解決問題的能力，還能助力學生提升思維能力.

3.2?以結(jié)構(gòu)化教學為手段，注重知識遷移能力的提升

葉圣陶先生說過：“教不是為了教.”新課標也要求教師既要重視教，更要重視學，促進學生學會學習.因此，課堂教學中，教師最主要的任務是教會學生學會學習，注重學生知識遷移能力的培養(yǎng)和提升^［4］.筆者認為結(jié)構(gòu)化教學是落實這一任務的有效手段.教師可以通過結(jié)構(gòu)化教學讓學生形成結(jié)構(gòu)化的思維，學生在應用結(jié)構(gòu)化思維解題和學習中對知識產(chǎn)生深層次的理解，培養(yǎng)應用遷移的能力，提高了解題質(zhì)量和學習能力.在“四心背景下的解三角形問題”教學中，教師設置問題1讓學生明確研究此類問題的思考路徑，接著學以致用遷移到問題2，3，4的解決上.結(jié)構(gòu)化的教學模式，不僅可以減輕學生數(shù)學課程學習的壓力，還能提高學生知識遷移的能力、數(shù)學學習信心及數(shù)學課堂學習效率.

3.3?以思維導圖為抓手，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)

在傳統(tǒng)的數(shù)學教學中，教師一般側(cè)重于各個知識點的講解，學生很難理清知識點間的聯(lián)系，導致學生學習效率低下.因此在教學中，教師可以恰當運用思維導圖，讓學生借助圖中簡潔明確的關鍵詞抓住本節(jié)課的重點，提高學習效率；運用思維導圖對課程資源進行整合，幫助學生建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)，促進學生的邏輯思維能力和創(chuàng)造力.本節(jié)課教師通過問題鏈設計和追問串聯(lián)課堂，在分析問題和解決問題的過程中將本節(jié)課的研究和發(fā)現(xiàn)從四個角度——知識儲備、思考路徑、數(shù)學思想方法、核心素養(yǎng)以思維導圖的形式呈現(xiàn).這節(jié)課的學習學生學了什么一目了然，并將所學知識、方法與素養(yǎng)之間的關系建立起了聯(lián)系，為后續(xù)的學習起鋪墊作用.

3.4?以小組合作學習為方法，增加課堂中的生生互動

小組合作是教師上課常采用的教學模式之一，但經(jīng)常有這樣一個困惑，為什么拋出問題讓學生討論，而學生不討論或無從討論？筆者覺得主要是由于有些較難的問題教師沒給學生提供問題支架，學生無從下手，因此難度較大的問題教師可以將大問題細化為一個個相互關聯(lián)的、層層遞進的小問題，這時就可以放手讓學生自主探究、小組合作，幫助學生突破難點.同時數(shù)學知識、方法很多都是類似的，因此在解決類似問題的時候可以引導學生利用類比即“用結(jié)構(gòu)”的方法來解決，這時可以再次讓學生自主探究、小組合作，在此環(huán)節(jié)對于學習能力強的學生教師可以不給學生建立問題支架，讓學生模仿前面所解決的問題自己建立支架.學生在學會解決一個問題的基礎上，學會解決一類問題，懂得學以致用.因此，問題鏈設計和結(jié)構(gòu)化教學都為小組合作提供了基礎.教師在課堂上通過問題串給學生提供研究路徑，讓學生采用小組合作的形式，逐步促進學生的深度學習和集體知識建構(gòu)，讓學生體會“跳一跳，摘得到”的快樂.

3.5?以核心素養(yǎng)為目標，進一步提升課堂生成的高度

研究表明，近十幾年來，我國進行的教育課程改革經(jīng)歷了三個階段的重要轉(zhuǎn)變，從最初的“改變效率”，實現(xiàn)課堂教學效率由低到高的轉(zhuǎn)變，到隨后的“改變關系”，實現(xiàn)了教學關系從講授到學習、從教師到學生的轉(zhuǎn)變，再到今天的“改變意義”，實現(xiàn)從關注知識到關注能力的轉(zhuǎn)變^［5］.核心素養(yǎng)已成為本輪課程改革的重點，作為教師的我們需要積極深入教育改革，將核心素養(yǎng)與數(shù)學學科知識有機地聯(lián)系起來，通過不斷改革和創(chuàng)新教學方式，讓數(shù)學核心素養(yǎng)在課堂中有效“落地”，并在學生的學習過程中生根發(fā)芽.本節(jié)課教師在教學過程中通過學生作圖，培養(yǎng)學生數(shù)形結(jié)合的思想，提升了學生直觀想象的素養(yǎng)；通過問題鏈和追問的方式，幫助學生加深對問題的理解，有利于提高課堂的深層性，讓課堂更具活力，提升了學生的邏輯推理素養(yǎng).學生有了思路后，讓學生獨立運算，提升了學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 唐恒鈞，張維忠.數(shù)學問題鏈教學：緣起、進展與展望［J］.中學數(shù)學教學參考，2021（16）：71-73.

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［4］ 余樹寶，朱超奇.注重以生為本 加強知識遷移—對2022年高考數(shù)學全國乙卷函數(shù)題的探究［J］.中學數(shù)學教學參考，2023（7）：73-76.

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