如何講好數(shù)理統(tǒng)計(jì)中幾個(gè)基本概念

李明泉

（三峽數(shù)學(xué)研究中心三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北 宜昌 443002）

在講數(shù)理統(tǒng)計(jì)之前，首先要向?qū)W生闡明數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本特點(diǎn)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是應(yīng)用性極強(qiáng)的一門應(yīng)用類基礎(chǔ)課程，她是一門關(guān)于數(shù)據(jù)收集、整理和分析的科學(xué)，它研究的對(duì)象主要是來源于各個(gè)部門的數(shù)據(jù)，其目的是通過大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)揭示事物的本質(zhì)。其次要告訴學(xué)生數(shù)理統(tǒng)計(jì)是作為概率論的一個(gè)重要應(yīng)用提出來的，在概率論中所討論的問題都是這樣一些問題：已知一個(gè)隨機(jī)變量的概率分布，要去研究相應(yīng)的隨機(jī)現(xiàn)象，例如，要計(jì)算隨機(jī)變量落入某個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率，要計(jì)算隨機(jī)變量的期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)和矩等等，也就是說在概率論中，一個(gè)隨機(jī)變量所服從的概率分布往往是已知的，在這個(gè)前提條件下要去研究這個(gè)隨機(jī)變量所表征的隨機(jī)現(xiàn)象。然而在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中情況卻有很大的不同，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，一個(gè)隨機(jī)變量所服從的概率分布往往是未知的或雖然知道它的分布形式，但其中的參數(shù)未知，例如，隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(，2)，但是和2未知，因此這個(gè)分布還是不完全知道，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)就是要根據(jù)抽樣的結(jié)果即樣本去推斷分布的形式或估計(jì)分布當(dāng)中的未知參數(shù)，由此可見數(shù)理統(tǒng)計(jì)與概率論所討論的問題有很大的不同。建立在概率論基礎(chǔ)上的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)其分支也很多，但大體上可分為兩類，一類是試驗(yàn)設(shè)計(jì)，試驗(yàn)設(shè)計(jì)屬于抽樣的問題，它是指如何安排隨機(jī)試驗(yàn)，才能使獲得的數(shù)據(jù)資料更合理、更有效和更具有代表性，試驗(yàn)設(shè)計(jì)一般的教材都不講這個(gè)問題，有專門的教材講這個(gè)問題，再一類就是統(tǒng)計(jì)推斷，它是指如何利用所獲得的數(shù)據(jù)資料即隨機(jī)樣本，對(duì)我們所關(guān)心的問題（如參數(shù)、分布……）作出種種合理的估計(jì)和推斷，數(shù)理統(tǒng)計(jì)主要講統(tǒng)計(jì)推斷。

1 首先要講清楚總體及其引申含義

總體是首先要講的第一個(gè)基本概念，通俗的可以這樣來說，人們通常把要研究對(duì)象的全體稱為總體，而把組成總體的每一個(gè)基本單位成為個(gè)體，例如，全國人所組成的總體，而其中每一個(gè)中國人就是一個(gè)個(gè)體，再如，一麻袋稻種所構(gòu)成的總體，其中每一粒稻種就是一個(gè)個(gè)體?？傮w和個(gè)體從通俗的角度來看是很容易理解的，但是在實(shí)際應(yīng)用中，人們對(duì)總體的研究往往是很具體的而不是抽象的，例如，研究全國人這個(gè)總體，你研究全國人這個(gè)總體研究它的什么東西？是研究全國人的身高還是體重？這里面得有一個(gè)具體的數(shù)量指標(biāo)！其實(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，人們對(duì)總體的研究往往都是研究總體的某一個(gè)或某幾個(gè)數(shù)量指標(biāo)，例如，我們要研究一家工廠生產(chǎn)的液晶顯示器的使用壽命，這個(gè)時(shí)候就把這個(gè)廠生產(chǎn)的全部液晶顯示器的使用壽命看作是一個(gè)總體，而把其中每一個(gè)液晶顯示器的使用壽命看作是一個(gè)個(gè)體，也就是說，這個(gè)時(shí)候總體就是一大堆數(shù)據(jù)，而其中每一個(gè)數(shù)據(jù)就是一個(gè)個(gè)體。其實(shí)在實(shí)際應(yīng)用中，總體就是指一大堆數(shù)據(jù)，而其中每一個(gè)數(shù)據(jù)就是一個(gè)個(gè)體，由于這一大堆數(shù)據(jù)具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性或者說服從一定的概率分布，比如，其中有80%的液晶顯示器的使用壽命超過了2萬個(gè)小時(shí)，這就是統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，對(duì)此加以引申得到數(shù)理統(tǒng)計(jì)中總體的含義。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，所謂總體就是指一個(gè)隨機(jī)變量或一個(gè)概率分布，對(duì)上述例子來說這個(gè)隨機(jī)變量就是指液晶顯示器的使用壽命，這里需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)的是總體的這個(gè)含義只是引申出來的，并不是總體的本意，從本質(zhì)上來講，總體就是指一大堆數(shù)據(jù)，其中每一個(gè)數(shù)據(jù)就是一個(gè)個(gè)體，而且還要告訴學(xué)生總體與集合是有區(qū)別的，集合里面不允許有相同的元素，而總體里面卻允許有相同的元素，為了是使學(xué)生完全、真正理解總體的引申意義，筆還舉了這樣一個(gè)例子，例如，檢驗(yàn)自生產(chǎn)線出來的零件是正品還是次品，以0表示產(chǎn)品是正品，以1表示產(chǎn)品是次品。設(shè)出現(xiàn)次品的概率為p，則總體就是由一些1和一些0所組成的，X表示從中任取一個(gè)數(shù)，則P{X=1}=p，P{X=0}=1-p，這個(gè)分布就是（0-1）分布，從由很多0和1所構(gòu)成的這樣一個(gè)總體中，我們得到了一個(gè)隨機(jī)變量X，還得到了一個(gè)概率分布（0-1）分布，所以總體又叫一個(gè)隨機(jī)變量，總體又叫一個(gè)概率分布。

2 其次講透樣本和樣本值

3 最后講好統(tǒng)計(jì)量及其作用

因?yàn)闃颖緛碓从诳傮w，所以樣本當(dāng)中肯定包含有總體的有關(guān)信息，數(shù)理統(tǒng)計(jì)的主要任務(wù)就是根據(jù)樣本提供的信息去推斷總體的有關(guān)性質(zhì)，因此，樣本是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的主要依據(jù)，但是通常并不是直接根據(jù)樣本去推斷總體的性質(zhì)，直接推斷不好推斷，為什么呢？因?yàn)闃颖揪褪且唤M數(shù)，它是雜亂無章，例如，我們要研究某高校男生的身高，于是就從男生當(dāng)中隨機(jī)地抽取了n個(gè)男生出來，他們的身高記為X1，X2，…，Xn，這就是一個(gè)樣本，根據(jù)這個(gè)樣本能夠看出什么問題出來？關(guān)于男生的身高能夠做出什么樣的評(píng)價(jià)呢？這是看不出太大的問題出來的！要能看出問題出來，需要對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行加工，進(jìn)行處理，進(jìn)行分析，比如，可計(jì)算這些數(shù)據(jù)的平均值，根據(jù)這個(gè)平均值就能夠看出一些問題出來！事實(shí)上，我們能夠根據(jù)這個(gè)平均值來大體上估計(jì)該高校所有男生的平均身高，所以在數(shù)理統(tǒng)計(jì)當(dāng)中，并不是直接根據(jù)樣本去推斷總體的某些性質(zhì)，而是需要把樣本所包含的總體有關(guān)信息集中起來加工成樣本的某種函數(shù)，然后利用這種函數(shù)去推斷總體的有關(guān)性質(zhì)的，像這種由樣本所構(gòu)成的函數(shù)就稱之為統(tǒng)計(jì)量。設(shè)X1，X2，…，Xn，是來自于總體X的一個(gè)樣本，g(X1，X2，…，Xn)是關(guān)于樣本X1，X2，…，Xn的一個(gè)函數(shù)，一般要求還是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，并且不含任何未知參數(shù)，稱g(X1，X2，…，Xn)為統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)樣本，X1，X2，…，Xn，得到一組觀察值x1，x2，…，xn，就稱為統(tǒng)計(jì)量g(X1，X2，…，Xn)的觀察值。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，統(tǒng)計(jì)量是進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷的主要手段。這里需要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)的是統(tǒng)計(jì)量g(X1，X2，…，Xn)是完全已知的一個(gè)函數(shù)，不能包含任何未知的東西，例如，是統(tǒng)計(jì)量，而（其中未知）則不是統(tǒng)計(jì)量。下面這幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量是很常用的，需要學(xué)生記得?。簶颖揪担瑯颖痉讲?，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，樣本k階（原點(diǎn)）矩，，當(dāng)k=1時(shí)，，由此可見樣本k階矩將樣本均值這個(gè)概念加以推廣了，樣本k階中心矩（k=2，3，…）。

4 融入思政元素

在講好上述三個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本概念的同時(shí)，筆者在課堂上還融入了一些思政元素，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是通過樣本去推斷總體的有關(guān)信息和規(guī)律，這其實(shí)是用了“管中窺豹，可見一斑”的思想，通過事物的一部分而推測全體，起到事半功倍的作用，這同時(shí)也反映了從點(diǎn)到面，從局部到整體的辯證關(guān)系，據(jù)此，將學(xué)生的三觀與社會(huì)主義核心價(jià)值觀完美地結(jié)合起來。數(shù)理統(tǒng)計(jì)需要做統(tǒng)計(jì)調(diào)查以便搜集統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，我融入毛主席的“沒有調(diào)查就沒有發(fā)言權(quán)”的名言，教導(dǎo)學(xué)生要實(shí)事求是，不能隨意地篡改數(shù)據(jù)，要誠實(shí)守信，在以后的工作中要遵守職業(yè)道德，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鍪伦鋈说娘L(fēng)格。還通過《資本論》解讀了數(shù)據(jù)對(duì)于論證觀點(diǎn)的重要性，在教學(xué)中，還介紹了中國學(xué)者在統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的成就和影響，比如，數(shù)學(xué)家許寶騄，他在我國開創(chuàng)了概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)與科研工作，是多元統(tǒng)計(jì)分析的最早的開拓者之一，也是我國概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域最主要奠基人之一。通過這些名人的事跡激發(fā)學(xué)生的愛國熱情和學(xué)習(xí)積極性，增強(qiáng)民族自信心，為實(shí)現(xiàn)中華民族的偉大復(fù)興而努力學(xué)習(xí)，既可以圓中國夢，也可以實(shí)現(xiàn)個(gè)人的夢想。

講清、講透總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量這三個(gè)基本概念是學(xué)生學(xué)好數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，在教學(xué)中，筆者采取上述講法取得了很好的教學(xué)效果。