基于核心素養(yǎng)表現(xiàn)的中考數(shù)學(xué)壓軸題的評析和教學(xué)啟示

孫雪玉

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》明確學(xué)業(yè)考試命題原則：堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向.核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的考試命題，要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì)，關(guān)注通性通法，綜合考查“四基”“四能”與核心素養(yǎng).中考試題具有選拔、評價、引領(lǐng)、促進(jìn)教學(xué)等功能，對于一線教師來說最重要的無疑是引領(lǐng)教學(xué)方向.本文以一道中考數(shù)學(xué)壓軸題為例，展開對試題解法和教學(xué)策略的探究，以此體會核心素養(yǎng)的考查方式.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng);函數(shù);教學(xué)啟示

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022版）》指出“三會”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在初中階段主要表現(xiàn)為：抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識.縱覽近幾年各省市中考數(shù)學(xué)試卷，命題者們將核心素養(yǎng)培養(yǎng)深入中考命題中，目的是優(yōu)化教師課堂教學(xué)，促使核心素養(yǎng)落地. 2021年福建省中考數(shù)學(xué)壓軸題第25題（以下簡稱25題）的命制充分融入核心素養(yǎng)元素，筆者以此題為例進(jìn)行試題評析，愿其中所訴觀點和做法能給初中同仁一些啟示.

1?原題呈現(xiàn)

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸只有一個公共點.

（1） 若拋物線過點P（0，1），求a+b的最小值；

（2） 已知點P₁（-2，1），P₂（2，-1），P₃（2，1）中恰有兩點在拋物線上.

① 求拋物線的解析式；

② 設(shè)直線l：y＝kx+1與拋物線交于M，N兩點，點A在直線y=-1上，且∠MAN=90°，過點A且與x軸垂直的直線分別交拋物線和l于點B，C.求證：△MAB與△MBC的面積相等.

2?試題賞析

本題是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用問題，既傳承了福建省連續(xù)六年中考壓軸題對函數(shù)思想方法的考查，又著重考查了初中數(shù)學(xué)的核心知識和關(guān)鍵能力，注重數(shù)學(xué)本質(zhì)，體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)，詮釋核心素養(yǎng).

從核心知識上看，25題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段的中點及三角形面積等知識；從能力角度上看，試題著力考查了學(xué)生的畫圖識圖能力、運算推理能力、探究分析能力；從素養(yǎng)立意上看，試題布局點與線等基本元素，通過尋找對稱點、定點、定線，發(fā)現(xiàn)特殊圖形及數(shù)量關(guān)系，考查了幾何直觀和建模素養(yǎng)；利用相似三角形的性質(zhì)、勾股定理、“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”定理建立方程并進(jìn)行準(zhǔn)確計算，考查了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和運算素養(yǎng)；關(guān)注各小題之間的關(guān)聯(lián)和層次，對探究結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化論證，考查了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)推理素養(yǎng).

3?解法研究

3.1?第（1）題用函數(shù)的觀念求最小值有以下兩個視角

視角1：根據(jù)已知條件得到a，b的數(shù)量關(guān)系，將a+b換元為a或b的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值.

視角2：由已知拋物線過點P（0，1），可得y=ax²+bx+1，令x=1，則y=a+b+1，進(jìn)而a+b=y-1，將a+b視為y的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)求其最小值.

因為拋物線與x軸只有一個公共點，所以拋物線頂點在x軸上，則同時在拋物線上的兩點只能為圖2，即P₁，P₃，以下同解法1.

3.3?第（2）題②存在三種解法??第（2）② 問通過動點、動直線與拋物線的結(jié)合，將代數(shù)與幾何的眾多知識相關(guān)聯(lián)，同時考查“運動變化”，充分體現(xiàn)了解析幾何的思想，注重初高中知識銜接，有力地發(fā)揮了壓軸題壓軸問的區(qū)分和選拔功能.

本題的解題關(guān)鍵有以下三點：（1） 在無圖情況下準(zhǔn)確畫出圖形，強調(diào)函數(shù)背景下數(shù)形結(jié)合的重要性，考查學(xué)生畫圖識圖技能和直觀想象素養(yǎng)；（2） 根據(jù)題中所給條件“∠MAN=90°”，靈活運用相似三角形、直角三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程，求證線段相等.在“變”中探求規(guī)律，以此發(fā)現(xiàn)“不變”，較好地滲透了數(shù)形結(jié)合、方程與函數(shù)、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，同時本題多解歸一，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的多樣性和靈活性；（3） 本題三種證明方法都要求學(xué)生具有很強的含參代數(shù)式的推理和計算能力，能在動態(tài)圖形背景下提煉相關(guān)幾何模型，有序有向思考，借助參數(shù)表征幾何元素，計算嚴(yán)謹(jǐn)精準(zhǔn)，同時要具有高度的思維深刻性、靈活性和創(chuàng)新性，深入考查了學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

（2） 第2①問典型錯誤如下：

用代入法得到三種情況的方程組后，沒有使用主干條件b²-4ac=0，無法得到方程組的解；

將第1問得到的c=1錯誤地使用在本題中；

正確求出對稱軸為y軸后，不知道對稱軸與b的關(guān)系，求出b為非零數(shù)值；

將P₁，P₂，P₃同時代入二次函數(shù)表達(dá)式得到無解方程組.

（3） 第2②問典型錯誤如下：

無法用k正確地表示出x₁，x₂；

對韋達(dá)定理的記憶錯誤；

猜測出x₀=2k，但缺少推理或推理過程出錯.

4.3?教學(xué)建議

（1） 對于點在函數(shù)圖象上的問題：代入法的訓(xùn)練要強化x、y 的對應(yīng)關(guān)系，例如本題點P（0，1），讓學(xué)生寫出x=0時，y=1，避免代入錯誤.

（2） 學(xué)生對于Δ=b²-4ac、頂點坐標(biāo)公式、韋達(dá)定理的記憶不準(zhǔn)確，建議復(fù)習(xí)時可以在簡單題中反復(fù)出現(xiàn)，同時加強理解各字母的意義以及與函數(shù)圖象的關(guān)系.

（3） 對于方程組和含參數(shù)方程解法存在的問題：不顧運算目標(biāo)、不考慮算理盲目地進(jìn)行推理演算.教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生有序有向思考，讓學(xué)生明晰運算方向，學(xué)會運算思維；運算思維技能化，優(yōu)生要懂得計算方法的優(yōu)選.

（4） 對于題目條件中“與x軸只有一個公共點”“點P₁（-2，1），P₂（2，-1），P₃（2，1）中恰有兩點在拋物線上”無法轉(zhuǎn)化成圖象進(jìn)行直觀地理解和判斷，建議教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生函數(shù)問題務(wù)必先畫示意圖再解答，并從圖象上感知點與線、線與線的位置關(guān)系，以及函數(shù)的增減性和對稱性.

為此，教師要潛心研究中考試題所考查的知識、能力、思想方法和核心素養(yǎng)， 探索培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)有效的教學(xué)模式，并在日常教學(xué)中給予落實和發(fā)展，這是教師進(jìn)行有效教學(xué)的需要.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］ .北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］ 鐘紅，孫洪波，高麗威.基于改革與創(chuàng)新的中考數(shù)學(xué)壓軸題命制［J］.中小學(xué)教師培訓(xùn)，2021（2）：24-29.

基金項目：福建省廈門市第十五期中學(xué)學(xué)科帶頭人培養(yǎng)對象科研課題《初中數(shù)學(xué)幾何直觀教學(xué)實踐研究》研究成果（編號XMXD2022011526）.