深度體悟，把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)

黃肖慧

摘 要：在通過深度學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)學(xué)生高階思維發(fā)展的教育背景下，本文以人教版教材“圓的認(rèn)識”為例，依托APOS理論的支撐，在學(xué)情調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，開展“具身體悟，驗(yàn)證體悟，符號體悟，遷移體悟”四步走的教學(xué)實(shí)踐，引導(dǎo)學(xué)生在深度體悟中把握“圓”的概念本質(zhì)，并進(jìn)入到方法與策略、經(jīng)驗(yàn)與聯(lián)結(jié)的思維拓展層面，培養(yǎng)高階思維.

關(guān)鍵詞：體悟；思維；概念本質(zhì)；圓

近期，筆者有幸加入廣東省“南方教研大講堂”活動的備課團(tuán)隊(duì)，參與“圓的認(rèn)識”一課的備課過程.“圓的認(rèn)識”是“圖形與幾何”概念教學(xué)的經(jīng)典課例，是從認(rèn)識直線圖形向認(rèn)識曲線圖形轉(zhuǎn)變的一次飛躍.本課依托杜賓斯基等人的APOS理論，遵循“感知概念—理解概念—描述概念—應(yīng)用概念”的教學(xué)結(jié)構(gòu)，從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，以深度體悟引領(lǐng)學(xué)生把握“圓”的概念本質(zhì)，培養(yǎng)高階思維，打造深度學(xué)習(xí)課堂.

1?學(xué)情分析與課前思考

為把握學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，備課團(tuán)隊(duì)根據(jù)本課的教學(xué)目標(biāo)，以問卷形式對相關(guān)知識進(jìn)行了前測.

通過前測，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生知道半徑、直徑，但能夠在圓中準(zhǔn)確表示出來的只有10%左右；有超過一半的學(xué)生曾經(jīng)用圓規(guī)畫過圓，但能準(zhǔn)確畫指定大小的圓只有極少數(shù).超過70%的學(xué)生提出：想研究圓的周長、面積，圓環(huán)面積，而“圓的特征”“圓的畫法”這些問題被關(guān)注度不高.在進(jìn)一步的訪談中發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生未能從數(shù)學(xué)思考層面來描述圓的本質(zhì)屬性.

“圓的特征”“圓的畫法”這些問題，本質(zhì)上都指向“圓是什么”.通過研究“圓的特征”“圓的畫法”可理解“圓是什么”，而理解了“圓是什么”，才能深刻領(lǐng)會“圓的特征”“圓的畫法”.因此本課主要分四步走，引領(lǐng)學(xué)生深度體悟，發(fā)展高階思維.

2?教學(xué)實(shí)踐

2.1?具身體悟：從操作到想象

圓與其它學(xué)習(xí)過的平面圖形相比，是與眾不同的.首先，圓是一個中心對稱的曲線圖形，圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都相等；其次，半徑、直徑作為圓的重要組成部分，是隱藏于圓的內(nèi)部線段.這些都與其它直線平面圖形有著本質(zhì)的區(qū)別.^［1］通過分析圓的概念內(nèi)涵及其在平面圖形概念體系中的位置，本課創(chuàng)建“尋寶情境”，來幫助學(xué)生獲得“平面內(nèi)與圓心距離相等的動點(diǎn)軌跡”的感性認(rèn)知，在情境中洞察概念屬性.

【片段一】情境中感知圓

師：同學(xué)們，根據(jù)“寶物在距離小旗2米的草地表面”，你能說出寶物可能藏在哪嗎？

小組合作：用一個紅點(diǎn)代表小旗，在透明紙上把寶物的可能所在位置用點(diǎn)表示出來.教師展示作品，把各組作品堆疊在一起.

師：當(dāng)這無數(shù)個點(diǎn)匯集在一起，想象一下，連起來會是一個什么圖形？你能用手在空中描出這個圖形嗎？

學(xué)生的認(rèn)知依附于身體，而身體又存在于特定的環(huán)境中，創(chuàng)設(shè)情境是學(xué)生快速進(jìn)入認(rèn)知過程的有效途徑，它直接影響學(xué)習(xí)者的投入程度^［2］.動手描點(diǎn)，指尖動作參與概念建構(gòu)，直觀形象地表達(dá)動點(diǎn)的抽象軌跡；想象補(bǔ)充，促使動點(diǎn)成圓在頭腦中生成；徒手繪圓，及時把頭腦中的圓具象化.

2.2?驗(yàn)證體悟：從操作到推理

杜賓斯基的APOS理論認(rèn)為，第二階段是概念的過程階段，是對“活動”進(jìn)行思考，通過一定的抽象得出概念的特有性質(zhì).與引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“活動”相比，啟發(fā)學(xué)生對“活動”的本身進(jìn)行思考更為重要.關(guān)注獲得知識的策略，聚焦數(shù)學(xué)方法論，才能更深層次地發(fā)展學(xué)生思維，實(shí)現(xiàn)深度理解.

【片段二】驗(yàn)證圓的特征

師：老師提供一些不同大小的圓形紙片，請折一折、畫一畫、量一量、想一想，探究圓到底有什么特征？

學(xué)生合作探究，集中反饋.

師：大小不同的圓，是不是都具備了這些特征？

你是怎么發(fā)現(xiàn)這些特征的？

……

師：如果不操作，你能聯(lián)系情境解釋以上特征的合理性嗎？

生：寶物距離小旗2米，在以小旗為圓心的2米距離畫點(diǎn)，這樣的點(diǎn)有無數(shù)個，這無數(shù)個點(diǎn)與小旗所在位置（圓心）連接，就形成了無數(shù)條半徑，它們都是2米長……

在探究圓的特征這一活動中，學(xué)生表現(xiàn)出不同的思維層次，相當(dāng)一部分只關(guān)注“我發(fā)現(xiàn)了什么”這一問題.教師適時追問：“大小不同的圓，是不是都具備了這些特征？”這暗示學(xué)生通過找不同大小的圓，舉更多的例子來驗(yàn)證.但是，停留在“舉更多的例子”也是不夠的，因?yàn)槔釉俣嘁仓皇峭凰季S層面上的單調(diào)重復(fù).此時，教師再追問：“你是怎么發(fā)現(xiàn)這些特征的？”“如果不操作，你能聯(lián)系情境解釋以上特征的合理性嗎？”這是更高層次的引導(dǎo)，從關(guān)注“是什么”轉(zhuǎn)向關(guān)注“為什么”.思維從動手驗(yàn)證的感性水平上升到推理證明的理性水平.誠然，前者指向知識的陳述，后者指向策略的反思，對學(xué)生而言后者是更具成長價值的學(xué)習(xí).^［3］

2.3?符號體悟：從操作到抽象

杜賓斯基的APOS理論提出：第三階段是對象階段，是對“活動”與“過程”的升華，將抽象出的概念賦予其形式化的定義及符號，成為一個具體的“對象”.

雖然小學(xué)教材沒有正式提出圓的概念，但是把圓的概念符號化還是必不可少的.進(jìn)入第三階段，要把情境中的圓、學(xué)具圓片抽象成“對象”，落到紙面上，讓學(xué)生體悟符號的生成.^［4］

【片段三】對比中畫圓

先讓學(xué)生用圓規(guī)在紙上畫半徑為2厘米的圓.

師：草地上半徑2米的大圓，還能用圓規(guī)畫嗎？

師：紙上畫圓與草地上畫圓，方法有什么不同？

為什么沒有圓規(guī)也畫出了圓呢？

生：確定了圓心和圓心到圓上的距離，就能畫出圓.

“兩種畫圓方法有什么不同？”，這是同中求異，再次引證圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大??；“為什么沒有圓規(guī)也畫出了圓？”，這是異中求同，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)不同工具發(fā)揮的相同作用，感受“一中同長”.思考直達(dá)概念的核心，逐步實(shí)現(xiàn)圓的符號化.

2.4?遷移體悟：從理解到運(yùn)用

杜賓斯基等人認(rèn)為，概念學(xué)習(xí)的第四階段是運(yùn)用，是概念進(jìn)一步的理解、揭示和實(shí)例化，最終要形成綜合的心理圖式.本課的練習(xí)環(huán)節(jié)嘗試從概念理解過渡到概念應(yīng)用，催生聯(lián)結(jié)的思維方式和認(rèn)知方式.

【片段四】練習(xí)中內(nèi)化圓

練習(xí)一：

地震局預(yù)測A地于14：23左右將發(fā)生6—7級地震，波及范圍為20千米.

（地震小常識：地震波在地面的波及范圍是一個以震中為圓心的圓）

（1） 在圖中畫出以A地為震中的危險區(qū)域；

（2） 判斷B、C兩地是否在危險區(qū)域內(nèi).

練習(xí)二：

師：公園里有一個摩天輪，如果兩個人想坐在摩天輪距離最遠(yuǎn)的兩個座位上，要怎么坐才可以呢？

練習(xí)三：拓展研究

尋寶活動中，如果信息改為：“寶物藏在距離小旗2米的地方”，猜想一下，寶物所在位置的軌跡，會是一個什么形狀？

練習(xí)一創(chuàng)設(shè)地震應(yīng)用情境，進(jìn)一步揭示圓的本質(zhì)特征，使圓的應(yīng)用實(shí)例化.練習(xí)二創(chuàng)設(shè)摩天輪的應(yīng)用背景，建立圓與其它平面圖形之間的知識聯(lián)結(jié)，啟發(fā)學(xué)生對平面圖形中線段之間的邏輯關(guān)系進(jìn)行梳理，建立平面圖形之間的橫向聯(lián)系.練習(xí)三是對概念內(nèi)涵、外延進(jìn)行擴(kuò)大，獲得圓與球體概念的邏輯聯(lián)結(jié)，從縱向上初步建立曲線圖形概念體系內(nèi)部之間的聯(lián)系.

綜上，概念學(xué)習(xí)是不斷構(gòu)建活動、對象、圖式的過程.經(jīng)歷感知、內(nèi)化和概括、復(fù)述和反思活動，在深度體悟中把握“圓”的概念本質(zhì)，并進(jìn)入到方法與策略、經(jīng)驗(yàn)與聯(lián)結(jié)的思維拓展層面，方能培養(yǎng)高階思維.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 趙元中.用“行”撬動深度的“知”——“圓的認(rèn)識”教學(xué)實(shí)踐與思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2021（10）：70-72.

［2］ 侯凱瑩.小學(xué)數(shù)學(xué)具身教學(xué)設(shè)計(jì)研究——以“圖形與幾何”為例［D］.山西大學(xué)，2020.

［3］ 姚進(jìn).小學(xué)數(shù)學(xué)中“圓的認(rèn)識”的教學(xué)設(shè)計(jì)研究——基于APOS理論［D］.揚(yáng)州大學(xué)，2016.

［4］ 陳江輝.關(guān)于“圓的認(rèn)識”教學(xué)的再思考［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2018（2）：43-47.