實際巧建模，數(shù)列妙應(yīng)用

陳紅梅

摘 要：以數(shù)列與函數(shù)的思想來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，結(jié)合相應(yīng)的基礎(chǔ)知識來分析與應(yīng)用，加以合理預(yù)測或科學(xué)決策，是數(shù)學(xué)的綜合性與應(yīng)用性方面的一個重要體現(xiàn).本文結(jié)合一道實際應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，開拓數(shù)學(xué)思維，合理數(shù)學(xué)建模，結(jié)合解模與應(yīng)用加以合理預(yù)測與判斷，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：應(yīng)用；數(shù)列；函數(shù)；決策

在日常生活、社會和經(jīng)濟活動等問題場景中，經(jīng)常需要對具體的問題進行合理的數(shù)學(xué)建模，進而加以科學(xué)的預(yù)測或決策，為實際問題給出合理的預(yù)測結(jié)論或方向指導(dǎo)，提供科學(xué)的最佳的決策方案.在一些決策型問題中，經(jīng)常利用數(shù)列與函數(shù)的思想，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識來進行合理預(yù)測或科學(xué)決策.

1?問題呈現(xiàn)

2?問題剖析

此題結(jié)合現(xiàn)實生活實際，以實際決策問題來創(chuàng)新設(shè)置，巧妙融入等差數(shù)列與等比數(shù)列、數(shù)列及其基本性質(zhì)、不等式知識、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基本知識.借助數(shù)學(xué)建模，通過數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與求解，合理分析與求解，提供決策依據(jù)與判斷.

這里對于數(shù)列通項的構(gòu)建，主要借助累加法與定義法來處理.而累加法的思維方式也各異，抓住相關(guān)數(shù)列的項的結(jié)構(gòu)特征，合理借助等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式或代數(shù)公式的變形來應(yīng)用.而求解相關(guān)數(shù)列通項的最值問題，可以從不等式思維與導(dǎo)數(shù)思維等來切入，利用不等式的基本性質(zhì)或函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來解決，從而加以合理求解，作出合理預(yù)測與決策判斷.

3?問題破解

3.1?不等式思維

方法1：（作商比較法）

解后反思：根據(jù)題設(shè)中場景合理構(gòu)建關(guān)系式，通過累加法來確定對應(yīng)的數(shù)列通項，并結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，等比數(shù)列的定義等來確定對應(yīng)的通項，抓住問題應(yīng)用背景，結(jié)合通項公式的構(gòu)建，以及作商比較法，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)來確定最值問題，實現(xiàn)合理的決策與判斷.

3.2?函數(shù)與導(dǎo)數(shù)思維

方法2：（導(dǎo)數(shù)應(yīng)用法）

解后反思：根據(jù)題設(shè)中場景合理構(gòu)建關(guān)系式，通過公式法進行裂項處理，再通過累加法來化簡，更加簡捷明了，而在通項公式的構(gòu)建并進行作商比較后，借助函數(shù)的構(gòu)建，回歸函數(shù)的本質(zhì)，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用來確定最值問題，這更加符合平時解決最值問題的常見思維方式.

方法3：（函數(shù)零點法）

解后反思：在構(gòu)建決策條件中的數(shù)列的通項公式后，借助作商比較法，進一步綜合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用單調(diào)函數(shù)的基本性質(zhì)，以及函數(shù)零點存在性定理，利用圖形的單調(diào)性變化情況來確定通項的最大值，進而也可以很好得以決策與判斷.

4?變式拓展

5?教學(xué)啟示

數(shù)列作為中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容之一，是進行數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等基本訓(xùn)練、綜合訓(xùn)練的重要題材之一，同時它又與高等數(shù)學(xué)有著較為密切的聯(lián)系，是進一步學(xué)習(xí)的必備基礎(chǔ)知識之一.數(shù)列模型及其基礎(chǔ)知識在實際應(yīng)用中也有很大的決策依據(jù).