三階幻方推導過程中的幾個數學思想

秦奇 侯欣 于桓

摘 要：幻方是一個古老且具有魅力的數學問題，在當今數學乃至其它學科中具有廣泛應用.本文旨在介紹一種適合小學生理解的三階幻方的推導方法，并以此來體現幾個數學思想在求解三階幻方全部解的過程中的應用，強調數學學習以及數學教學過程中數學思想的重要性，以此倡導在數學教與學的過程中，多加體會數學思想在問題解決過程中的指導作用.

關鍵詞：幻方；洛書；數學思想方法

1?問題介紹

幻方是古往今來數學研究中的一個重要問題.相傳，大禹治水時途經洛水，有神龜出現，背負“洛書”，所示即三階幻方的一個解.十三世紀，南宋數學家楊輝開展了對幻方的系統(tǒng)研究，后來歐洲一些國家也開始了這方面的工作.三階幻方即如下問題：

在圖1的方框中不重復地填入1～9九個數字，使得每行、每列以及兩條對角線上的數字之和相等.

三階幻方對小學生來講可以用試數的方法來求解，但這種方法花費時間長、效率低、學到的東西少.也有教師教小學生用羅伯法來解幻方，但只是背了口訣而已，并沒有體現數學原理和數學思想方法，而且只能給出一個解，這種方法收獲甚微.接下來將介紹一種適合小學高年級學生的三階幻方求解方法，并詳細分析求解過程中涉及的幾個數學思想，以倡導學生學數學和教師教數學過程中應多體會數學思想的重要性，進而培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)，達到素質教育的目的.

2?三階幻方全部解的求解過程

2.1?求解每行、每列以及每條對角線上的數字之和

首先，把第一行三個數字之和看成一個整體，用字母a來表示，那么第二行、第三行分別的三個數字之和也是a.注意到第一行、第二行、第三行所有數字之和等于1～9九個數字的和（這里運用到了加法交換律），即等于45，也恰好是三個a的和，那么可列出方程3a=45，從而求得a=15.又由每行、每列以及每條對角線上的數字之和相等，故每行、每列以及每條對角線上的數字之和均為15（相等的傳遞性）.

2.2?求解中間方框的數值

現在已經知道每行、每列以及每條對角線上的數字之和均為15，這些和中與中間方框數值有關的和有四個：中間行、中間列、兩條對角線，呈“米”字型.這四個包含中間方框數值的和的總和為15×4=60，其中，邊上的八個方框中的數值加了一次，中間方框中的數值加了四次.而邊上的八個方框中的數值加中間方框中的數值恰好是1～9九個數字各加了一次，等于45，再另外加三次中間方框的數值，就是“米”字型的四個和的總和.用字母b表示中間方框的數值，根據分析可列出方程60=45+3b，這樣得出b=5.所以，中間方框的數值只能是5.

2.3?求解四個角上的數值

注意到四個角上的地位是“等價”的，可以任取其一進行取值情況的討論，不妨先討論左上角的方框，可取1～9中除了5之外的八個數值.咱們已經知道每行、每列以及兩條對角線上的數字之和均為15，中間方框的數值為5，故同一條對角線上的兩個角上的數值同奇同偶，中間行和中間列兩頭的數值也要同奇同偶.所以，可分奇偶簡化討論.若左上角的方框取奇數，則右下角也必定為奇數.此時若另外一條對角線兩個角上的數值為偶數，由每條直線上的三數之和為奇數，可推出幻方中數值的奇偶性滿足圖2（a） 的情況，九個數中六個偶數三個奇數，與1～9中四個偶數五個奇數矛盾；若另外一條對角線兩個角上的數值為奇數，可推出幻方中數值的奇偶性滿足圖2（b） 的情況，也與1～9中四個偶數五個奇數矛盾.故左上角取奇數時，無論哪種情況都不可能實現幻方.所以左上角必為偶數.由左上角是任取的四個地位“等價”的位置，故其它三個角上的數值也只能取偶數.

此時，幻方中數值奇偶性分布如圖3，滿足1～9中四個偶數五個奇數的事實.

于是，2、4、6、8四個數在四個角上，且由每條直線上的三數之和為15可得2和8在一條對角線，4和6在另一條對角線.那么，到底2、4、6、8哪個數填在左上角？實際上都可以，因為四個角的地位“等價”.不妨填2在左上角，則8在右下角，此時，未填的兩個角的地位又是“等價”的.不妨填4在右上角，6在左下角.

2.4?填補四個邊中間方框的數值

前面的步驟已經完成了中間和四個角上的方框的取值，使得每行、每列上的三個數中已經填好了兩個數，再由每行、每列的和為15減掉已知兩個數的和便可得到四個邊上中間方框的數值，如圖4.

2.5?全部解

前面第三步中最后在左上角的方框中填了2，但由于四個角的地位“等價”，這里填4、6、8也是可以的.故事實上左上角有四種填法.填完左上角后，同一直線上右下角的數值也就定了.這時，右上角和左下角的地位也是“等價”的，故右上角可填剩下的兩個偶數中的任意一個，有兩種填法.也就是說，左上角有四種填法，每種填法填好后，右下角的值就定了；右上角有兩種填法，填好之后左下角的值就定了；再由第四步，三階幻方所有值就定了.故共有4×2=8種填法.

3?三階幻方求解過程中蘊含的數學思想方法

3.1?整體思想

求解過程第一步中，需要把每行的三個數字之和看成一個整體，記為a，并把1～9九個數字之和看成另外一個整體，等于45，從而得出每行的三個數字之和為15.這是利用了整體思想，不必第一步就要求出每個方框中的數字，利用整體思想，先求每行、每列、每條對角線的數字之和更有效.此方法可應用于很多小學數學問題，這里介紹一個代數例子.

明朝程大位所著《直指算法統(tǒng)宗》中有一個“百僧分饃”問題：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾??？”

利用整體思想可很快算出答案.假設一個大和尚與三個小和尚看成一個整體分一桌，共

4人吃4個饅頭，這樣一桌人吃4個饅頭，那么100個饅頭分25桌，每桌3個大和尚1個小和尚，最終算出答案大和尚人數為3×25=75，小和尚人數為1×25=25.

3.2?猜想驗證思想

很多小學生可以猜得到中間方框的數值填5，因為9個數從小到大排列中間的數是5，但不確定填其它數是否可以.事實上，數學家在發(fā)現新的重要定理或結論的過程中總是先提出猜想，再想辦法驗證的.三階幻方求解過程的第二步證明了中間方框的數值只能填5這一“猜想”.猜想驗證是非常重要的一種數學思想方法，費馬大定理、哥德巴赫猜想、四色猜想等數學史上著名的猜想引領著數學學者們前仆后繼地研究，從而催動了數論、組合論等重要數學分支的發(fā)展及應用.有人曾猜想無論幾次方程都有根式解，在后人驗證的過程中證明出五次以上方程沒有根式解.盡管最初的猜想是存在問題的，但收獲更大，還開創(chuàng)了群論這一重要數學分支.在數學學科的學習中，學生應當多加思考，多去驗證自己琢磨出的一些小“猜想”，教師也應引導學生發(fā)現規(guī)律并驗證猜想.

3.3?方程思想

方程在數學課程與教學中占據重要地位，掌握方程思想能使學生更容易接收新的數學知識.在求解三階幻方第一步中把每一行三個數字之和用字母a來表示，可列出方程3a=45，即1～9九個數字的總和.從而求得每行的三個數字之和為15，并且每列、每條對角線的三個數字之和也均為15.第二步中，把中間數值設為b，“米”字型的四個和的總和為60=45+3b，即可求出中間數.許多小學數學歷史名題都有靈活多樣、精彩紛呈的算術解法，鍛煉了學生的思維能力，比如“盈虧問題”“雞兔同籠問題”“牛吃草問題”……但它們無一例外也都有比較成熟的代數解法.培養(yǎng)學生用方程解決問題的意識，循序漸進地滲透方程思想，會讓學生受益匪淺.

3.4?分類討論思想

分類討論是在求解問題或證明結論過程中，按照一定的標準，對所有情況分成幾類，分別求解或證明的思想方法.分類時要注意所分類別要滿足互斥、無漏、最簡的原則.三階幻方求解過程第三步中左上角的方框取值通過分奇偶兩種情況討論，從而避免了一個一個去嘗試，加快了求解過程.左上角取奇數時，右下角也為奇數，進一步對另一條對角線上兩個方框取值分奇偶討論，從而最終得出矛盾，證明了左上角方框的取值必為偶數.分類討論能夠把問題化整為零，從而各個擊破，得到最后的結果.常見的應用分類討論思想來解決的問題如等比數列求和（分公比為1時和不為1討論），再如過已知一點作與已知直線垂直的一條直線（分點在直線上，點在直線外討論），又如求三階幻方中有多少個正方形（分正方形含1個方框，4個方框，9個方框計數）等等.

3.5?假設思想

3.6?對稱思想

三階幻方求解過程中多次運用對稱思想，第三步四個角的方框具有“等價”地位，只需討論左上角的方框.因為其它方框可以由左上角方框通過旋轉或對稱得到.左上角取定之后，右下角也就取定了.這時再次利用地位“等價”，左下右上只需討論其中一個的取值，另外一個可通過對稱得到.這樣，就注定了第五步求得的1個幻方，可通過旋轉或對稱得到另外7個幻方.事實上，這里的對稱思想體現出了“二面體群”這一數學概念.幻方是一個正方形，正方形的二面體群是指正方形通過旋轉、對稱之后，與原正方形重合這樣的變換的集合.其中包含旋轉0度，90度，180度，270度四個旋轉和以水平中心線、豎直中心線及兩條對角線決定的四個對稱.所以，正方形的二面體群中有8個元素，正好在此對應了8種幻方的填寫方法.對稱思想使得三階幻方求解過程簡化討論，只得出一個幻方便可以推出其它幻方.值得一提的是，正是運用對稱思想，五次以上一元方程沒有求根公式這一結論才得以證明，也正是通過這一結論的證明，數學學者們才開始發(fā)展了群論這一專門研究對稱性的數學分支.

4?結語

數學學科發(fā)展過程中數學思想起到至關重要的作用.在問題解決過程中需要用數學思想把問題化繁為簡，這些思想的訓練與培養(yǎng)需要落實到數學知識的學習過程中.最初數學概念的提出、猜想的驗證、定理的證明等都離不開數學學者們對數學思想方法的理解與運用.教師在教學過程中應當總結并體會其中的數學思想方法，再以此為指導設計課程，讓學生在學的過程中充分體會數學思想的價值所在，進而使學生在未來的學習及解決問題過程中深度思考，利用數學思想方法將問題化繁為簡，這也是數學核心素養(yǎng)的體現.類似于幻方這樣的具有探究性的數學問題有很多，比如雞兔同籠、孫子定理等.教師應當多加思考總結，深度挖掘這些數學問題解決中每一步用到的數學思想，并滲透到教學中，使得學生數學思維得到鍛煉，數學核心素養(yǎng)得到提高，這是教學過程中更應注重的地方.

參考文獻：

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基金項目：北京聯合大學教改項目：學生為中心小班制互動式教學模式改革研究——以教育研習為例（項目編號：JJ2023Q002）;

中國高等教育學會2023年度高等教育科學研究規(guī)劃課題重點項目：基于教育數學思想的師范生《線性代數》教學研究與實踐（課題編號：23SX0302）.