正本清源 打通關聯(lián) 系統(tǒng)構建
——百分數(shù)的統(tǒng)計意義教學思辨

□付榮玲 李慶海

一、緣起：“左右為難”的百分數(shù)

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“2022 年版課標”）將百分數(shù)從“數(shù)與代數(shù)”領域移到了“統(tǒng)計與概率”領域，把百分數(shù)作為統(tǒng)計量進行教學。這一傳統(tǒng)內容的新詮釋引起了大家的關注，并引出兩個極端的現(xiàn)象。

現(xiàn)象一：“單純”統(tǒng)計量的百分數(shù)

有教師執(zhí)教“百分數(shù)的意義”一課時，為了體現(xiàn)統(tǒng)計量的意義，設計了三個任務：現(xiàn)場拋硬幣讓學生感受隨機性；分析某學生的投球命中率；請學生確定五年級學生跳繩達標線。由于任務多，現(xiàn)場收集數(shù)據(jù)時間長，學生對百分數(shù)產(chǎn)生的必要性認識模糊，對百分數(shù)表示統(tǒng)計量也是一知半解。

現(xiàn)象二：表示倍數(shù)關系的百分數(shù)

分數(shù)有表示具體的量和倍數(shù)關系兩種意義，百分數(shù)是分數(shù)表示倍數(shù)關系的一種特殊情況。很多教師認為，不要急著讓學生感受百分數(shù)的統(tǒng)計內涵，而是要先讓學生理解百分數(shù)表示倍數(shù)關系的內涵，再在應用中融入“統(tǒng)計”素材，讓學生慢慢感悟其統(tǒng)計意義。

上述兩個現(xiàn)象說明，對于百分數(shù)的新身份“統(tǒng)計量”，一線教師是有很多困惑的。從數(shù)學史的角度理解百分數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展，可以幫助教師從源頭上理解百分數(shù)的兩種意義，打通兩種意義的關聯(lián)，幫助學生建立百分數(shù)的統(tǒng)計意義。

二、溯源：百分數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展

百分數(shù)是特殊的分數(shù)，在日常生活中很常見，但是百分數(shù)的產(chǎn)生卻經(jīng)歷了漫長的時間。

百分數(shù)起源于早期的商業(yè)活動，應用在利息、稅收、兌換貨幣等商業(yè)行為中。如古印度人計算利息是以100 為基數(shù)的，即每100 元可以獲得多少利息；古羅馬人從事商業(yè)活動時，看盈利還是虧損也是相對于100來比較的。那時的百分數(shù)，“百”是一個標準，是一個具體的量，不是分數(shù)意義上的分母。

進入現(xiàn)代以后，百分數(shù)作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)深入日常生活，廣泛應用于經(jīng)濟、社會等很多領域。其對隨機數(shù)據(jù)的刻畫、對功能的描述與大數(shù)據(jù)、決策等緊密聯(lián)系，引發(fā)數(shù)學家、數(shù)學教育家對百分數(shù)價值的新思考。這大概是百分數(shù)這一內容從“數(shù)與代數(shù)”領域移到“統(tǒng)計與概率”領域的緣由。

百分數(shù)產(chǎn)生之后，便隨著人類生活的發(fā)展而動態(tài)發(fā)展，它的意義與范圍也從刻畫具體的量擴展到刻畫抽象的數(shù)量關系，從刻畫確定的量發(fā)展到描述不確定的量，百分數(shù)的統(tǒng)計意義日益凸顯。

三、辨析：尋找“數(shù)認識”到“統(tǒng)計量”的中間地帶

百分數(shù)源于分數(shù)，發(fā)展于比較，廣泛應用于統(tǒng)計，從而成為與平均數(shù)一樣身份的統(tǒng)計量。它與分數(shù)、比、統(tǒng)計的關系如圖1。

圖1

（一）理解百分數(shù)意義的本質：兩個數(shù)的倍數(shù)關系

從圖1 可以看出，百分數(shù)源自分數(shù)的“率”，表示兩個數(shù)或數(shù)量的倍數(shù)關系。百分數(shù)在表達時主要有兩種意義。

一是百分數(shù)表示確定數(shù)據(jù)時兩個數(shù)的倍數(shù)關系。學生要通過教材上安排的稅率、利率、折扣等問題，理解百分數(shù)的倍數(shù)關系的意義，即百分數(shù)表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾。只有理解了百分數(shù)的意義，才能解決生活中的實際問題，也就是以往教學強調的百分數(shù)的意義。

二是百分數(shù)表示隨機數(shù)據(jù)時兩個數(shù)的倍數(shù)關系，即2022 年版課標提出的百分數(shù)的統(tǒng)計意義。在生活中，百分數(shù)一般是在調查中得到的，它的統(tǒng)計意義體現(xiàn)為把百分數(shù)作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分析和比較。如某籃球隊員罰球的命中率，罰球次數(shù)的變化會引起命中率的變化，學生可以通過數(shù)據(jù)變化進行分析，并做出判斷與預測。

盡管百分數(shù)可以描述與表達確定數(shù)據(jù)的關系，也可以描述隨機數(shù)據(jù)的關系，但是本質上仍然是“兩個數(shù)量的倍數(shù)關系”。

（二）對比課標變化：打通兩種意義間的隔斷墻

百分數(shù)這一內容，在《義務教育數(shù)學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱“2011 年版課標”）和2022年版課標“課程內容”中的要求，既有聯(lián)系，又有區(qū)別（如表1）。

表1 兩個版本課標“百分數(shù)”教學要求對比

在2011年版課標中，百分數(shù)被編排在“數(shù)與代數(shù)”領域，要求“結合具體情境”理解百分數(shù)的意義，會對百分數(shù)進行形式的轉化，能解決簡單的分數(shù)結構的實際問題。在2022年版課標中則指向百分數(shù)的統(tǒng)計意義，要求“結合具體情境”探索百分數(shù)的意義?！疤剿鳌笔敲枋鲞^程目標的行為動詞，是指要讓學生在特定的問題情境下，獨立或合作參與數(shù)學活動，理解或提出數(shù)學問題，尋求解決問題的思路，獲得確定的結論。雖然同樣是要求“解決百分數(shù)簡單的實際問題”，目標卻指向讓學生“感受百分數(shù)的統(tǒng)計意義”“形成數(shù)據(jù)意識”。

因此，在教學中要打通百分數(shù)傳統(tǒng)意義與新課標賦予的統(tǒng)計意義的中間地帶。教師要通過不同素材，打通百分數(shù)兩種意義間的隔斷墻，讓學生在理解百分數(shù)意義的基礎上不斷感受其統(tǒng)計意義，在應用百分數(shù)解決問題的過程中形成數(shù)據(jù)意識。

四、踐行：對百分數(shù)的認識更有統(tǒng)計味

基于對百分數(shù)從“數(shù)與代數(shù)”領域移到“統(tǒng)計與概率”領域的變化，筆者依托學習內容，讓學生在比較中再現(xiàn)百分數(shù)便于比較的優(yōu)勢，在關聯(lián)中體會百分數(shù)的作用，在隨機現(xiàn)象中理解百分數(shù)的統(tǒng)計意義，使對百分數(shù)的認識充滿濃濃的統(tǒng)計味。

（一）在真實情境中比較，感受百分數(shù)的描述優(yōu)勢

百分數(shù)作為一種特殊的分數(shù)，是人們在兌換物品時為了方便比較而產(chǎn)生的，因此與分數(shù)相比，百分數(shù)有其數(shù)據(jù)描述的天然優(yōu)勢。教師在教學中創(chuàng)設了投籃比賽的情境，讓學生在比較中感受統(tǒng)一標準的必要性。

1.分析數(shù)據(jù)，滲透需求

教師出示表2，讓學生比較誰的投籃水平高。學生通過觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，需要求出投中次數(shù)是投籃次數(shù)的幾分之幾（命中率）。為了便于比較，學生或將分數(shù)化成小數(shù)，或將分數(shù)先通分再進行比較。這種方式激活了學生已有的分數(shù)表示倍數(shù)關系的意義，同時讓學生在交流中理解了命中率的意義。

表2 601班兩個同學投籃比賽情況統(tǒng)計表

2.產(chǎn)生沖突，激發(fā)需求

教師提問：“如果再來一個同學，是不是還是2號第一名呢？”隨即依次增加多個學生的投籃信息。學生在比較多個不同分數(shù)表示的命中率時，通分顯得非常麻煩，因此需要一個新的標準的數(shù)以方便比較，從比較中感受百分數(shù)進行數(shù)據(jù)刻畫的優(yōu)越性。

3.聯(lián)系經(jīng)驗，體會倍數(shù)關系

百分數(shù)的本質是表示兩個數(shù)的倍數(shù)關系。對于一個新的概念，學生需要進一步豐富經(jīng)驗。因此，教師讓學生運用新的概念描述命中率的意義，建立分數(shù)與百分數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，在比較中體會百分數(shù)表示兩個數(shù)的倍數(shù)關系更方便。

（二）多元關聯(lián)中理解，突出百分數(shù)的刻畫價值

百分數(shù)與分數(shù)既有聯(lián)系又有區(qū)別。可以適當拉長意義的理解過程，將百分數(shù)與生活經(jīng)驗對接，在辨析、比較中突出百分數(shù)的獨特意義，在應用過程中挖掘百分數(shù)的本質。

1.將意義與經(jīng)驗關聯(lián)，豐富概念的內涵

將百分數(shù)與學生生活經(jīng)驗關聯(lián)，讓學生解釋生活中百分數(shù)的含義，用圖形表征百分數(shù)，不斷豐富百分數(shù)的內涵。啟發(fā)學生思考：離開了這些情境，百分數(shù)的本質就是表示兩個數(shù)的倍數(shù)關系。

2.將辨析與比較關聯(lián)，理解概念的外延

學生在生活中接觸到的百分數(shù)，大多數(shù)是部分量與整體的倍數(shù)關系。教學中，要通過設計題組（如圖2），打破學生已有的思維習慣，讓他們在比較、辨析的過程中打開思路，理解百分數(shù)概念的豐富外延。

圖2

學生答題時要結合實際情況對相應的百分數(shù)進行選擇。接著，教師引導學生思考：“我國小學生的近視率為什么不選100%，不選106%呢？”“神舟飛船發(fā)射成功率有沒有可能會超過100%？”“生活中什么情況下百分數(shù)可以超過100%呢？”讓學生通過思考，明確當百分數(shù)表示“部分與整體關系”時，這個百分數(shù)不會超過100%，即≤100%；當表示“部分與部分關系”“整體與整體關系”時，可以超過100%。從而豐富了百分數(shù)的外延，使學生進一步理解了百分數(shù)表示兩個數(shù)之間的關系。

3.與解決問題關聯(lián)，發(fā)掘概念的內涵

將百分數(shù)與生活中的解決實際問題關聯(lián)，讓學生在應用百分數(shù)的過程中，形成一定的數(shù)據(jù)意識，發(fā)掘百分數(shù)的意義。

結合我國小學生的近視率約是22.78%這一素材，讓學生猜一猜自己班學生的近視率是多少。隨后現(xiàn)場收集數(shù)據(jù)，計算出班里學生的近視率，如表3 所示。教師啟發(fā)學生思考：“為什么我們班的學生近視率會那么高？根據(jù)這組數(shù)據(jù)，你有什么好的建議？”并對比整個六年級、整個學校的近視率的數(shù)據(jù)，讓學生在解決實際問題的過程中，感受到百分數(shù)就如同一把判斷視力下降程度的尺子，為大家對近視率的判斷提供了依據(jù)，感悟到百分數(shù)表示兩個數(shù)倍數(shù)關系的刻畫價值。

表3 ××班學生近視率統(tǒng)計表

（三）在隨機現(xiàn)象中刻畫，突出百分數(shù)的統(tǒng)計價值

作為統(tǒng)計量的百分數(shù)，讓學生認識到百分數(shù)可以刻畫現(xiàn)實世界中的一些隨機現(xiàn)象，從而作出自己的判斷和預測。在教學百分數(shù)時，要讓學生感受其是對隨機現(xiàn)象的表達，在實踐活動中感受百分數(shù)的統(tǒng)計意義。

1.選擇隨機數(shù)據(jù)的素材，讓學生感受不確定性

在教學中，可以通過創(chuàng)設真實的問題情境，選用現(xiàn)實世界中的隨機現(xiàn)象導入百分數(shù)，如“籃球運動員的罰球命中率”“杭州城市空氣質量指數(shù)的數(shù)據(jù)”等，幫助學生理解百分數(shù)的統(tǒng)計意義。比如可以讓學生根據(jù)前文表2所提供的投籃比賽的數(shù)據(jù)，在多組數(shù)據(jù)的比較中體會數(shù)據(jù)的隨機性，知道兩個數(shù)的倍數(shù)關系可以用百分數(shù)來表示。

2.分析隨機現(xiàn)象中的數(shù)據(jù)，在決策中體會數(shù)據(jù)刻畫

通過隨機現(xiàn)象中的百分數(shù)來刻畫數(shù)據(jù)的分布，引導學生對一組數(shù)據(jù)中的信息進行分析、比較，利用百分數(shù)幫助人們對隨機現(xiàn)象進行判斷、作出決策。如對“籃球投籃比賽”的分析，在學生理解了百分數(shù)可以表示命中率之后，教師提出新問題：“如果再比賽一場，2 號還是第一名嗎？”“他們的排名情況又會是怎樣的呢？”“這時我們派誰去參加比賽合適呢？”讓學生思考再比賽一場后投籃情況的不確定性，感受到百分數(shù)是對隨機數(shù)據(jù)的刻畫與表達，有助于人們對隨機事件進行判斷和預測，幫助學生形成百分數(shù)的數(shù)據(jù)意識。

3.應用實踐活動中的數(shù)據(jù)，體會百分數(shù)的統(tǒng)計價值

教師要引導學生在實踐活動中理解百分數(shù)，在解決問題中應用百分數(shù)，培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)意識，即在實踐中體會百分數(shù)的統(tǒng)計價值。如結合體育達標檢測活動，要求學生設計一個“確定跳繩標準”的活動方案。在統(tǒng)計過程中，先請學生依次報出自己1分鐘跳繩的個數(shù)，由教師輸入EXCEL表格。接著教師將數(shù)據(jù)進行排序，要求學生依據(jù)經(jīng)驗確定等級標準，讓他們進一步體會百分數(shù)在刻畫數(shù)據(jù)中的作用。然后教師引導學生比較他們確定的等級標準與國家制定的跳繩標準，分析為什么他們定的標準遠遠高于國家制定的跳繩標準，依據(jù)這些數(shù)據(jù)想對相關體育部門提出什么建議。最后舉一反三，請學生想想生活中有類似“制定跳繩標準”的事情嗎？學生發(fā)現(xiàn)公交車的免費兒童身高、空氣質量天數(shù)、GDP 增長速度等都是隨機數(shù)據(jù)。收集的數(shù)據(jù)越豐富，越容易幫助人們進行決策，體會百分數(shù)的統(tǒng)計價值。

綜上，對于小學生來說，百分數(shù)表示分率的意義是比較抽象的，其刻畫“隨機現(xiàn)象”又是以百分數(shù)的意義為基礎與前提的。因此，在教學百分數(shù)時，要將隨機數(shù)據(jù)作為素材引入，讓學生先理解百分數(shù)的意義，尋找百分數(shù)從“數(shù)的認識”意義到“統(tǒng)計量”意義的中間地帶，在真實情境中體會百分數(shù)產(chǎn)生的必要性，在多元經(jīng)驗中理解百分數(shù)的倍數(shù)關系，在隨機現(xiàn)象的描述中感受運用百分數(shù)的意義，從而感悟百分數(shù)的統(tǒng)計意義與價值。