分?jǐn)?shù)“量”含義的學(xué)習(xí)路徑研究*
——基于“個(gè)”情境模型認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”含義

□鞏子坤 金 晶，2 周 琪 孫 瑞

一、引言

分?jǐn)?shù)是數(shù)概念的重要組成部分，是數(shù)系擴(kuò)充的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。［1］分?jǐn)?shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)可以幫助學(xué)生解決復(fù)雜的問題，促進(jìn)學(xué)生建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也是學(xué)生以后學(xué)習(xí)初等代數(shù)的基礎(chǔ)。［2］然而，分?jǐn)?shù)也是小學(xué)階段學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，是最抽象、最復(fù)雜、學(xué)生最容易出現(xiàn)問題的概念。［3］研究表明，學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)困難重重，其根源在于他們無法厘清分?jǐn)?shù)的雙重含義——“量”含義（即物體數(shù)量的多少）和“率”含義（即一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾或幾倍）。［4］［5］［6］［7］

回顧自然數(shù)的學(xué)習(xí)過程，學(xué)生在熟悉了自然數(shù)作為“量”的屬性之后，學(xué)習(xí)“倍的認(rèn)識(shí)”，進(jìn)而體會(huì)自然數(shù)表示“率”的含義，分?jǐn)?shù)也是一樣。事實(shí)上，從分?jǐn)?shù)的起源上看，分?jǐn)?shù)就是“量”的抽象，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)也應(yīng)該像學(xué)習(xí)自然數(shù)一樣，從“量”到“率”，逐步抽象?！傲俊焙x的教學(xué)尤為關(guān)鍵。［8］

基于此，本研究選取與學(xué)生生活緊密相連的、具有可操作性的“個(gè)、米、時(shí)”三種情境模型來重構(gòu)分?jǐn)?shù)“量”含義的學(xué)習(xí)路徑?？紤]到一節(jié)課的內(nèi)容太多，將其分為兩個(gè)課時(shí)。具體而言，主要圍繞以下兩個(gè)問題展開：（1）如何利用“個(gè)”情境模型，引領(lǐng)學(xué)生感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性、體會(huì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)，進(jìn)而初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”含義？（2）如何利用“米”“時(shí)”情境模型，鞏固學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的認(rèn)識(shí)？本文通過行動(dòng)研究回答第一個(gè)問題。

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究對(duì)象

選取杭州市YH 小學(xué)三年級(jí)的甲、乙班為實(shí)驗(yàn)組，教師按照本研究設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行授課。同時(shí)，選取杭州市SH小學(xué)三年級(jí)的丙、丁班為對(duì)照組，教師按人教版教材進(jìn)行授課。實(shí)驗(yàn)前，對(duì)四個(gè)班級(jí)學(xué)生進(jìn)行前測(cè)，并對(duì)前測(cè)總分進(jìn)行獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果表明，四個(gè)班級(jí)學(xué)生在授課前對(duì)分?jǐn)?shù)“量”含義的理解不存在顯著性差異（t=-4.230，p=0.265）。

（二）研究流程

學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化、檢驗(yàn)的具體流程如圖1所示。

圖1 學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化檢驗(yàn)、的流程

（三）問卷及數(shù)據(jù)處理

依據(jù)已有文獻(xiàn)，將學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)概念的理解劃分為三種類型，由低到高依次為：直觀理解、符號(hào)理解、抽象理解。［9］如表1所示。

表1 分?jǐn)?shù)概念的理解類型

授課后，為檢驗(yàn)不同學(xué)習(xí)路徑的學(xué)習(xí)效果，對(duì)學(xué)生進(jìn)行后測(cè)（共三題，每題3分），例題：請(qǐng)用文字解釋、畫圖的方式表示個(gè)比薩。與1個(gè)比薩相比，哪個(gè)更大？

具體評(píng)分如下：畫圖正確得1 分（直觀理解），大小比較正確得1分（符號(hào)理解），文字解釋合理得1分（抽象理解）。依此對(duì)學(xué)生問卷賦分，并分別統(tǒng)計(jì)學(xué)生在直觀、符號(hào)、抽象理解上的得分。

三、研究結(jié)果與分析

（一）假想的學(xué)習(xí)路徑A1

1.路徑呈現(xiàn)

基于相關(guān)研究與前測(cè)結(jié)果，擬定假想的學(xué)習(xí)路徑A1，如圖2所示。

圖2 假想的學(xué)習(xí)路徑A1

任務(wù)1通過制造認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到用整數(shù)、生活語言都難以準(zhǔn)確描述比薩的大小，從而體會(huì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性。具體教學(xué)片段如下，其中T是教師，S是學(xué)生。

T：叮咚，第三位顧客的訂單來了，他想要半個(gè)比薩。

T：叮咚，第四位顧客的訂單來了，他想要小半個(gè)比薩。

T：我覺得這個(gè)好像太大了。

T：這個(gè)我又覺得有點(diǎn)太小了。

S：我不知道小半個(gè)到底是多大。

任務(wù)2引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平均分，同時(shí)強(qiáng)調(diào)單位分?jǐn)?shù)的意義以及分?jǐn)?shù)各部分的名稱及其含義。

任務(wù)3.1是一個(gè)活動(dòng)性、開放性較強(qiáng)的任務(wù)，既鞏固了學(xué)生先前所學(xué)的知識(shí)，也通過“說一說”鍛煉了學(xué)生的表達(dá)能力。任務(wù)3.2有助于引導(dǎo)學(xué)生在分?jǐn)?shù)比大小的過程中感受分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，即表示量的多與少或數(shù)的大與小。

任務(wù)4 旨在讓學(xué)生能夠獨(dú)立探索發(fā)現(xiàn)非單位分?jǐn)?shù)，并通過同分母分?jǐn)?shù)的大小比較，初步感知份數(shù)的多少影響著分?jǐn)?shù)的大小。

2.存在問題與改進(jìn)建議

分析后測(cè)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能利用畫直觀圖的方式表示分?jǐn)?shù)，也能用數(shù)學(xué)符號(hào)正確表示分?jǐn)?shù)，但能用語言正確表示分?jǐn)?shù)含義的學(xué)生只占少數(shù)。常見錯(cuò)誤類型如下：其一，漏帶單位（缺少量綱），如圖3所示；其二，未真正理解分?jǐn)?shù)含義，導(dǎo)致在用文字解釋時(shí)出現(xiàn)偏差，如圖4所示。

圖3 甲班學(xué)生1的抽象表征

圖4 甲班學(xué)生2的抽象表征

分析課堂教學(xué)，發(fā)現(xiàn)路徑A1 主要存在以下兩個(gè)問題，并提出相應(yīng)的改進(jìn)建議。

（1）任務(wù)之間“涇渭分明”

路徑A1 先認(rèn)識(shí)單位分?jǐn)?shù)，再比較單位分?jǐn)?shù)大小，然后認(rèn)識(shí)非單位分?jǐn)?shù)，再比較非單位分?jǐn)?shù)的大小。任務(wù)之間看似緊密相連，實(shí)則“涇渭分明”，這使得學(xué)生對(duì)于為什么要進(jìn)行大小比較的感悟并不深刻。

為此，研究團(tuán)隊(duì)一致認(rèn)為，要讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，可以通過“大小比較”來引入分?jǐn)?shù)，并將“大小比較”貫穿于教學(xué)的始終，即無論是單位分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，還是非單位分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，都應(yīng)當(dāng)建立在“大小比較”的情境之中。

（2）任務(wù)的活動(dòng)方式具有局限性

任務(wù)3.1是操作性、開放性任務(wù)，但學(xué)生拿到的材料只有一個(gè)小圓片，并沒有畫筆和剪刀，使得他們只能通過“折一折”來分比薩，找到的分?jǐn)?shù)自然也就局限于能“折”出來的塊數(shù)，如等，缺乏對(duì)這樣的分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。在這種情況下，部分學(xué)生可能會(huì)陷入誤區(qū)，認(rèn)為形如的才是分?jǐn)?shù)，從而不利于進(jìn)一步學(xué)習(xí)非單位分?jǐn)?shù)。

為此，研究團(tuán)隊(duì)建議豐富活動(dòng)的開展方式，為學(xué)生提供剪刀、畫筆及多個(gè)圓紙片，將“折一折”拓展為“折一折、畫一畫、剪一剪、寫一寫”。

（二）優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2

1.路徑呈現(xiàn)

基于研討，對(duì)學(xué)習(xí)路徑A1 進(jìn)行了優(yōu)化，如圖5所示。

圖5 優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2

與路徑A1 相比，A2 對(duì)任務(wù)作了較大的調(diào)整，更具有挑戰(zhàn)性與邏輯性，既能活躍學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，又能幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)“量”含義。

任務(wù)1 的目標(biāo)是突破“個(gè)”與“塊”?！? 個(gè)與1個(gè)”容易比較大小，而“1塊與1塊”無法準(zhǔn)確比較大小，形成鮮明對(duì)比，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性。具體教學(xué)片段如下，其中T 是教師，S 是學(xué)生。

T：第一位顧客吃了2個(gè)比薩，第二位顧客吃了1 個(gè)比薩，他們倆誰吃得比較多呢？請(qǐng)你擺一擺、寫一寫。

S：第一位吃得比較多。

（學(xué)生擺比薩，教師板書：2個(gè)，1個(gè)）

T：根據(jù)我們學(xué)過數(shù)的大小比較，知道了2個(gè)＞1個(gè)（如圖6）。

圖6 “2個(gè)與1個(gè)”的比較

T：又來了兩位女生，都表示1 個(gè)比薩太大了，吃不完。Ema 說，我吃了1 塊；Lily 說，我也吃了1塊。誰吃得多呢（如圖7）？

圖7 “1塊與1塊”的比較

S：一樣多。

S：我覺得Lily吃得比較多。因?yàn)镋ma說1個(gè)太大了，Lily沒有說，我覺得應(yīng)該是Lily吃得比較多。

S：我們不知道1塊是多大，所以我們無法確定誰吃得更多。

T：有這么多的猜測(cè)。那我們來看看，Ema 和Lily到底吃了多大的1塊比薩（如圖8）。

圖8 描述比薩的大小

S：Ema這1塊比較大。

T：這里的1塊≠1塊（教師板書）?？磥怼皦K”不能準(zhǔn)確表示比薩的大小。那該怎么辦？

T：你的意思是都用“個(gè)”來表示。他們都吃到1 個(gè)比薩了嗎？不到1 個(gè)比薩也可以用“個(gè)”來表示嗎？

任務(wù)2則是在上述情境的推動(dòng)下，帶領(lǐng)學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示物體的多少，初步認(rèn)識(shí)分子和分母等含義，并結(jié)合情境初步比較分?jǐn)?shù)大小，從而體會(huì)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

任務(wù)3的目的在于幫助學(xué)生鞏固新知，同時(shí)把所學(xué)的分?jǐn)?shù)“顯性化”：在與整數(shù)的對(duì)比過程中，清晰這樣的數(shù)是對(duì)“1 個(gè)”均分得到的，稱為分?jǐn)?shù)，同時(shí)也明確了分?jǐn)?shù)各部分名稱。

任務(wù)4 是建立在任務(wù)3 的基礎(chǔ)之上，通過鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)自己所折、所剪的比薩進(jìn)行重新分配，從而發(fā)現(xiàn)新的分?jǐn)?shù)，即非單位分?jǐn)?shù)。

2.路徑效果檢驗(yàn)

在路徑A1 和路徑A2 實(shí)施后，依次對(duì)甲、乙班學(xué)生進(jìn)行后測(cè)，統(tǒng)計(jì)三種類型的得分率和班級(jí)平均分，其中乙班學(xué)生的班級(jí)平均分（9.48分）明顯高于甲班（8.07分）。通過獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)，結(jié)果顯示，直觀理解得分（t=0.895，p＞.05)、符號(hào)理解得分（t=1.859，p＞.05)不存在顯著性差異；抽象理解得分（t=2.196，p＜.05)、班級(jí)平均分（t=-2.995，p＜.05)存在顯著性差異。因此，路徑A2 的效果優(yōu)于A1，更有助于學(xué)生感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性、體會(huì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)，進(jìn)而初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”含義。

3.存在問題與改進(jìn)建議

雖然路徑A2 確實(shí)得到了優(yōu)化，但依舊存在一個(gè)小問題，即任務(wù)2 需要實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)較多，既要用分?jǐn)?shù)表示物體的多少，又要讓學(xué)生體會(huì)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，還要落實(shí)分?jǐn)?shù)各部分的名稱。這導(dǎo)致教學(xué)過程略拖沓，無法很好銜接任務(wù)1，沒有給學(xué)生一種層層遞進(jìn)的感覺。

為此，我們可以分為以下三個(gè)層次來推進(jìn)任務(wù)1和任務(wù)2，如圖9所示。

圖9 任務(wù)1、2實(shí)施層次及板書設(shè)計(jì)

由于最終完善的學(xué)習(xí)路徑A3 與學(xué)習(xí)路徑A2大致相同，這里不再詳述。

四、研究結(jié)論與建議

（一）研究結(jié)論

在教學(xué)過程中，教師聚焦“個(gè)”情境模型，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性—初步認(rèn)識(shí)單位分?jǐn)?shù)—夯實(shí)鞏固單位分?jǐn)?shù)—初步認(rèn)識(shí)非單位分?jǐn)?shù)”的過程，不僅使學(xué)生從始至終浸潤(rùn)在“大小比較”之中，加深了對(duì)分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識(shí)，初步培養(yǎng)了數(shù)感與量感，也使學(xué)生深刻體會(huì)到分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是表示量的多與少或數(shù)的大與小。

課時(shí)后測(cè)顯示，優(yōu)化的學(xué)習(xí)路徑A2 相比于路徑A1 效果更佳，更有助于學(xué)生感受分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性、體會(huì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)，進(jìn)而初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)“量”含義。

（二）研究建議

1.將分?jǐn)?shù)的“大小比較”貫穿于教學(xué)的始終

史寧中教授曾強(qiáng)調(diào)：“光介紹概念，不如不要講；要介紹一個(gè)概念，要不你就談它的性質(zhì)，要不就比較它。這是一個(gè)基本的原則?！边@表明，分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)離不開分?jǐn)?shù)大小比較的滲透。正因如此，學(xué)生需要通過“大小比較”來體會(huì)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的必要性，明確分?jǐn)?shù)各部分的含義，感受分?jǐn)?shù)的本質(zhì)是表示量的多與少或數(shù)的大與小，認(rèn)識(shí)單位分?jǐn)?shù)和非單位分?jǐn)?shù)的大小比較規(guī)律。

2.盡可能為學(xué)生創(chuàng)造動(dòng)手操作的契機(jī)

學(xué)生的感性經(jīng)驗(yàn)是不可替代的，學(xué)生需要通過不斷地操作、比較、反思、再操作，來理解分?jǐn)?shù)“量”含義。例如，在本次教學(xué)中教師鼓勵(lì)學(xué)生自己決定平均分比薩的塊數(shù)，不僅幫助學(xué)生鞏固對(duì)單位分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，也調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。