以核心概念統(tǒng)領(lǐng)教學的整體性與一致性*
——以小學數(shù)學“數(shù)與運算”主題學習為例

□董文彬

在《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“2022年版課標”）中，“數(shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育階段學生數(shù)學學習的重要領(lǐng)域，在小學階段包括“數(shù)與運算”與“數(shù)量關(guān)系”兩個主題?！皵?shù)與運算”分成“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”，在小學階段，“數(shù)的認識”包括整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的認識，“數(shù)的運算”包括整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算。

數(shù)是對數(shù)量的抽象，“數(shù)的運算”學習重點在于理解算理、掌握算法，“數(shù)與運算”之間存在著密不可分的天然內(nèi)在的聯(lián)系。2022年版課標指出：“學生經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的形成過程，理解和掌握數(shù)概念；經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法。初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識。”“數(shù)的認識”與“數(shù)的運算”的教學，既要注重各自的內(nèi)容特點，也要注重二者之間的密切聯(lián)系，“數(shù)的認識”是“數(shù)的運算”的基礎(chǔ)，數(shù)的運算有助于學生更深入地理解數(shù)概念的形成與發(fā)展，深化對數(shù)的意義、本質(zhì)的再認識。

一、解構(gòu)與建構(gòu)：數(shù)與運算的整體性與一致性內(nèi)涵分析

（一）“數(shù)的認識”的整體性與一致性

“數(shù)的認識”包括整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的認識（如圖1），這三類數(shù)在本質(zhì)上都具有抽象的特征，即從具體的數(shù)量及數(shù)量關(guān)系中抽象出數(shù)。整數(shù)的認識是從數(shù)量抽象為數(shù)，小數(shù)和分數(shù)是對具體的數(shù)量及關(guān)系的抽象、刻畫與表征。在數(shù)的認識中，教師要幫助學生理解十進制計數(shù)法，感悟整數(shù)與小數(shù)的計數(shù)單位的十進關(guān)系，感悟分數(shù)單位，進一步形成數(shù)感。“數(shù)的認識”是小學數(shù)學中重要的核心概念之一，是學生學習數(shù)學的起始，也是學生后續(xù)學習的知識基礎(chǔ)。

圖1 數(shù)概念表達的整體性與一致性框架

從數(shù)概念的形成和數(shù)的組成角度看，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)都是基于“計數(shù)單位”建構(gòu)的，本質(zhì)上是一個整體，具有一致性。數(shù)的認識教學重點是理解數(shù)的建構(gòu)方式。事實上，所有的數(shù)都誕生于計數(shù)單位，數(shù)的產(chǎn)生就是計數(shù)單位產(chǎn)生的過程。整數(shù)的計數(shù)單位是個、十、百、千……小數(shù)的計數(shù)單位是十分之一（0.1）、百分之一（0.01）、千分之一（0.001）……分數(shù)的計數(shù)單位是分數(shù)單位。不同的是，整數(shù)和小數(shù)相鄰計數(shù)單位間的進率都是“10”，這種計數(shù)方式稱為“十進制計數(shù)法”，而分數(shù)的進制取決于分數(shù)單位，通?？捶謹?shù)的分母，即把一個整體單位“1”平均分的份數(shù)，比如分母是4的分數(shù)，需數(shù)夠4次分數(shù)單位方可“進一”，分母是7的分數(shù)，需數(shù)夠7次分數(shù)單位方可“進一”，以此類推，所以分數(shù)的進制由分數(shù)單位確定“滿幾進一”。因此，在整數(shù)與小數(shù)的認識（包括運算）中更多地以小棒、小方塊、計數(shù)器、數(shù)線、方格紙這些直觀模型作為支撐，而到了分數(shù)的認識（包括運算），直觀模型幾乎完全為方格紙所取代，這是由方格紙的天然結(jié)構(gòu)性和數(shù)學性所決定的——即方格紙作為二維的面積模型，把它看作一個整體單位“1”，可以根據(jù)需要在兩個維度上進行平均自由分割。［1］由此可見，計數(shù)單位是建構(gòu)整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的核心與關(guān)鍵。

（二）“數(shù)的運算”的整體性與一致性

數(shù)的運算包括整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算。筆者從運算對象、運算意義、算理算法、運算應(yīng)用四個維度進行梳理（如圖2）。運算對象——整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)。運算意義——加法、減法、乘法、除法運算的含義。從算理、算法的視角看，無論是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的哪一種運算，都最終指向計數(shù)單位的累加、遞減、創(chuàng)生和細分。這里的創(chuàng)生是指原有運算對象中的計數(shù)單位不能滿足運算的需要而必須創(chuàng)造產(chǎn)生新的計數(shù)單位再運作于運算的過程。數(shù)的每一種運算絕不是割裂的、獨立存在的，如小數(shù)、分數(shù)的加、減、乘、除運算都可以和整數(shù)的加、減、乘、除運算建立聯(lián)系，使學生初步感悟運算的整體性與一致性。從整體視角來理解，數(shù)的運算都是對計數(shù)單位的累加、遞減、創(chuàng)生和細分。同時，幫助學生認識運算方法的共性和差異，發(fā)展運算能力和推理意識。

圖2 數(shù)的運算的整體維度結(jié)構(gòu)

從運算意義的視角來看，所有運算都可以溯源到加法。加法是所有運算的基礎(chǔ)與核心［2］，加減乘除融會貫通是一個整體。要在理解運算意義的基礎(chǔ)上體會減法是加法的逆運算，除法是乘法的逆運算，體會乘法是若干相同加數(shù)相加的簡便運算，除法是連續(xù)減去若干相同數(shù)的簡便運算。從算理、算法的視角來看，計數(shù)單位、運算定律與等式的基本性質(zhì)是所有運算算理、算法的基礎(chǔ)。

只有這樣打通數(shù)學核心內(nèi)容之間的本質(zhì)聯(lián)系，才能從整體上理解數(shù)學課程理念、掌握數(shù)學課程目標、認識數(shù)學課程內(nèi)容、設(shè)計學習內(nèi)容主線，從而最終從整體上把握小學數(shù)學課程教學。［3］

二、理解與重塑：數(shù)與運算的整體性與一致性主題教學實施

（一）用案例說話——分數(shù)的再認識：理解數(shù)意義的整體性與一致性

“數(shù)的認識”教學中涉及的核心概念有計數(shù)單位、數(shù)位、位值制和十進制。“數(shù)的認識”教學要幫助學生從不同數(shù)域體會數(shù)的本質(zhì)意義，感悟數(shù)概念形成與發(fā)展的一致性——即數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)是對計數(shù)單位個數(shù)多少的表達。下面以北師大版教材五年級上冊“分數(shù)的再認識（二）”為例，說明數(shù)意義的整體性與一致性的教學實施過程。

為什么學習了整數(shù)之后還要學習分數(shù)？其一是在分物、測量時往往不能恰好得到整數(shù)的結(jié)果。其二是在計算除法時商無法得到整數(shù)結(jié)果，無法用整數(shù)來記錄，此時需要用分數(shù)來表達。基于現(xiàn)實生活與數(shù)域擴充的雙重需求，就產(chǎn)生了分數(shù)。另外，從數(shù)概念的形成來看，分數(shù)與整數(shù)之間有著密切的聯(lián)系。整數(shù)、分數(shù)都是以“1”為標準，通過不斷累加計數(shù)得到的數(shù)就是整數(shù)，不斷平均分成若干份后，就會產(chǎn)生不同的分數(shù)單位，進而產(chǎn)生不同的分數(shù)。因此，在數(shù)的認識教學中，要緊緊抓住計數(shù)單位這一核心概念，幫助學生溝通整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，感悟數(shù)的整體性與一致性。

1.感悟分數(shù)產(chǎn)生的度量意義

在教學中，讓學生用一張固定長度的紙條去分別測量一個長方體盒子的長、寬、高。教師啟發(fā)學生思考：“如果能正好量完，是幾張紙條長？如果不能正好量完，該怎樣表示長度？”師生共同討論：當盒子的某條邊的長度不夠用這張紙條量，那么，剩余的部分怎么量長度、怎么記結(jié)果？引導學生把紙條變短——對折（用紙條量）、再對折（用紙條量），思考變短后的紙條與原紙條之間的關(guān)系，進而幫助學生體會實測物體時往往存在不能正好量完的情形，將給定的長度等分，用其中的一部分作為新的長度單位接著去量物體的長度，如正好量完即用整數(shù)表示物體長度并記錄測量結(jié)果，如不能正好量完即用分數(shù)表示物體長度并記錄測量結(jié)果，幫助學生從度量的角度感悟分數(shù)產(chǎn)生的新的意義。

2.借助分數(shù)墻認識分數(shù)單位

教師出示一張紙條作為單位“1”，不斷地將其平均分成2 份、3 份、4 份……形成“分數(shù)墻”（如圖3）。教師啟發(fā)學生思考：“把單位‘1’平均分成若干份后每份分別可以用哪個分數(shù)表示？”借助分數(shù)墻來認識分數(shù)的計數(shù)單位——分數(shù)單位。引導學生發(fā)現(xiàn)分數(shù)墻中蘊含的規(guī)律：把單位“1”（一個紙條）平均分成幾份，1 份就是整體的幾分之一，即分數(shù)單位。直觀體會平均分的份數(shù)越多，它的每一份（幾分之一）即分數(shù)單位就越小。如把單位“1”平均分成8份，1份是這張紙條整體的，以為計數(shù)單位數(shù)2 次，就得到2 個即，以為計數(shù)單位數(shù)3次，就得到3 個即，這樣不斷數(shù)下去就能得到這樣分母是8的分數(shù)。再繼續(xù)數(shù)下去就會得到……其他分母是8 的分數(shù)。同時，將紙條左邊起點標注為“0”，1 份1 份地向右數(shù)下去，依次標注將分數(shù)墻（數(shù)尺）壓縮即為數(shù)線（數(shù)軸）（如圖4）。

圖3 “分數(shù)墻”直觀模型

圖4 “分數(shù)墻—數(shù)尺—數(shù)線”直觀模型

3.溝通分數(shù)與整數(shù)、小數(shù)的關(guān)聯(lián)

教師啟發(fā)學生思考：分數(shù)單位有什么用？引導學生思考分數(shù)單位可以數(shù)出分數(shù)大小，即任何分數(shù)都是以某個分數(shù)單位為計數(shù)單位進行計數(shù)的結(jié)果。分數(shù)單位的這種計數(shù)功能與整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位的計數(shù)功能一脈相承。整數(shù)和小數(shù)的計數(shù)單位和計數(shù)方法，以“1”為標準，不斷地累加或均分，就會產(chǎn)生整數(shù)計數(shù)單位和小數(shù)計數(shù)單位，分別以這些計數(shù)單位來計數(shù)就會形成整數(shù)和小數(shù)。而分數(shù)的形成也是如此，是將單位“1”平均分，建立不同的分數(shù)單位，再以這些分數(shù)單位分別計數(shù)就會形成不同的分數(shù)。在此基礎(chǔ)上，教師引導學生借助直觀模型感悟：單位“1”平均分成幾份，就含有幾個這樣的1份，即含有幾個幾分之一（分數(shù)單位）。如平均分成8 份，1 里面有8 個，數(shù)夠8 個是1，即“滿八進一”；平均分成9份，1里面有9個，數(shù)夠9個是1，即“滿九進一”；平均分成n份，1里面有n個，數(shù)夠n個是1，即“滿n進一”。當然，分數(shù)也有十進制的時候，即平均分成10 份時，1 里面有10 個，數(shù)夠10個即是1，即“滿十進一”。而當把“1”均分成10 份、100 份、1000 份……時，建立的分數(shù)單位……即是小數(shù)（十進分數(shù)）的計數(shù)單位。至此，學生對計數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)下的整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)有了一定的感悟，對數(shù)概念的整體性與一致性有了一定的認知理解。

（二）用案例說話——小數(shù)除法：理解數(shù)運算的整體性與一致性

算理是四則運算的理論依據(jù)，由數(shù)概念、運算定律、運算性質(zhì)所構(gòu)成。運算法則是四則運算的程序和方法，在算法多樣化的背后是對位值原理、運算定律、計數(shù)單位等算理的理解與應(yīng)用。

首先，關(guān)注整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)加減法的整體性與一致性。從運算法則來看，整數(shù)加減法是相同數(shù)位對齊，小數(shù)加減法是小數(shù)點對齊，分數(shù)加減法是先通分，這三種數(shù)的加減法本質(zhì)上是一致的——相同計數(shù)單位累加或遞減。其次，關(guān)注整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)乘除法的整體性與一致性。整數(shù)乘法340×2，運用位值原理和運算定律，即3個百×2+4個十×2，即得到了6 個百加8 個十，也就是計數(shù)單位的累加運算。小數(shù)乘法0.2×0.3，可借助方格紙和小數(shù)意義幫助學生理解算理，0.1×0.1＝0.01，2×3＝6，6 個0.01就是0.06，這里的6是計數(shù)單位的個數(shù)，只不過這里的計數(shù)單位是創(chuàng)生的。分數(shù)乘法，就是，6個就是，這里的6是分數(shù)單位的個數(shù)，這里的分數(shù)單位也是創(chuàng)生的?？梢?，整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的乘法算理都是計數(shù)單位的運作，體現(xiàn)了數(shù)的乘法的一致性。同樣，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)除法也具有一致性。下面以“小數(shù)除法”為例，說明數(shù)的運算的整體性與一致性。

為什么在整數(shù)除法之后還要學習小數(shù)除法？小數(shù)除法與整數(shù)除法之間有什么關(guān)系？其實，小數(shù)除法是整數(shù)除法的延續(xù)，小數(shù)除法對接了整數(shù)除法中不能均分、有剩余的情況，呈現(xiàn)了除法運算之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，建立了除法運算的整體結(jié)構(gòu)。在教學中，要抓住計數(shù)單位這一核心概念幫助學生體會小數(shù)除法與整數(shù)除法都是高位上的數(shù)在平均分時有剩余，需要細分計數(shù)單位，將高一級的計數(shù)單位轉(zhuǎn)化為低一級的計數(shù)單位再繼續(xù)分除下去，其核心本質(zhì)都是十進計數(shù)單位的細分，感悟數(shù)的除法運算的一致性。

1.由除法意義抽象出除法算式

教師創(chuàng)設(shè)問題情境：媽媽去超市買4瓶乳酸菌飲料花了57元，平均每瓶多少元？啟發(fā)學生思考：求每瓶多少元，就是要將57 元平均分成4 份，求每份是多少元。進而幫助學生體會這是個“等分除”問題，用除法解決，列算式是57÷4。

2.建立不同算法及算法（重點是豎式）與算理之間的聯(lián)系

學生可能出現(xiàn)的算法如下：①56÷4＝14 元，1 元=10 角，10÷4＝2 角……2 角，2 角＝20 分，20÷4＝5 分，14 元+2 角+5 分＝14 元2 角5 分＝14.25 元。②56÷4＝14元，1元=100分，100÷4＝25分，25分＝0.25 元，14 元+0.25 元＝14.25 元。③豎式計算，學生遇到的困惑與問題是：個位余下的1怎么辦？還能繼續(xù)除下去嗎？學生可能產(chǎn)生兩種想法，一種是不能除下去了，用余數(shù)表示；一種是可以繼續(xù)除下去。這種認知沖突體現(xiàn)了學生從理解整數(shù)除法到理解小數(shù)除法的思維節(jié)點。余下的“1 元”還能繼續(xù)分嗎？這一核心問題的探討能深化學生對小數(shù)除法算理的理解。此時可以借助人民幣實物模型進行分、擺，把1元換成10角，每份分2角，還剩下2角，再把2 角換成20 分，每份分5 分，最終每份是2角5 分，也就是0.25 元。這樣每瓶的價錢就是14元+0.25元=14.25元。

3.反思整個運算過程并體會數(shù)的除法運算的一致性

教師引導學生體會：將整數(shù)除法中的余數(shù)繼續(xù)分下去的過程，其實就是在高一級計數(shù)單位不夠分時將其轉(zhuǎn)化為低一級計數(shù)單位繼續(xù)分，不斷轉(zhuǎn)化，不斷細分，不斷除下去，直到細分除完為止。除法運算的本質(zhì)就是計數(shù)單位逐級均化細分的過程，突顯了小數(shù)除法與整數(shù)除法的整體性與一致性（如圖5）。

圖5 “小數(shù)除法”映射下除法運算的整體性與一致性

總之，抓住“計數(shù)單位”這一核心概念，可以幫助學生建立數(shù)與運算主題學習的整體結(jié)構(gòu)，打通數(shù)的認識、數(shù)的運算二者之間的“隔斷墻”，構(gòu)建“數(shù)與運算”主題學習的“承重墻”，體會整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的意義、運算都是一脈相承的，感悟數(shù)概念形成與發(fā)展及數(shù)運算的一致性。當然，在“數(shù)與運算”主題學習中，除了要把握計數(shù)單位之外，還有數(shù)位、位值、十進制計數(shù)法等，這些核心概念一起統(tǒng)領(lǐng)運作于“數(shù)與運算”的主題教學中，幫助學生形成數(shù)感，理解數(shù)概念的核心本質(zhì)，發(fā)展運算能力、運算思維和運算素養(yǎng)。只有達成上述共識，我們才能以核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，整體把握“數(shù)與運算”教學的整體性與一致性，進而從整體上理解、設(shè)計與實施小學數(shù)學課程教學。