關(guān)注新變化 聚焦核心素養(yǎng)
——2022年中考“函數(shù)”專題命題分析

陳莉紅，劉洪居，曹經(jīng)富

（江西省教研室；江西省于都縣教研室；江西省吉安市白鷺洲中學(xué)）

數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)是初中階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的三大主題.函數(shù)是研究運動變化過程中兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系及變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，主要內(nèi)容包括函數(shù)的概念、一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù).初中階段的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生在小學(xué)階段感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進一步歸納、概括出函數(shù)的定義，并研究具體的函數(shù)及性質(zhì)，了解研究函數(shù)的基本方法，運用函數(shù)解決或解釋現(xiàn)實世界中的問題，了解函數(shù)與其他相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系，能用運動變化的觀點認(rèn)識到方程、不等式是函數(shù)的特殊形式.學(xué)生到高中、大學(xué)還將繼續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)，因此函數(shù)及函數(shù)思想貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.為了更好地歸納共性、突出亮點與創(chuàng)新，本文以2022年全國各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷作為研究對象，并從省級統(tǒng)一命題的中考試卷中抽選出有代表性的15份試卷（以下統(tǒng)稱“省卷”），從市級命題的中考試卷中抽選出盡可能覆蓋全國范圍的17份試卷（以下統(tǒng)稱“地方卷”），分別從考查內(nèi)容，考查形式，考查題型、題量、分值、難度等方面進行統(tǒng)計，對其中函數(shù)試題的命題特點進行研究，并分別從考查內(nèi)容、命題特點、復(fù)習(xí)建議三個方面進行分析，提供適量的模擬題，為一線復(fù)習(xí)教學(xué)提供參考.

一、考查內(nèi)容分析

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》）中函數(shù)內(nèi)容的知識發(fā)展主線是“函數(shù)—一次函數(shù)—反比例函數(shù)—二次函數(shù)”，體現(xiàn)從一般到特殊、抽象到具體、整體到局部的研究思路.在學(xué)習(xí)每一個具體的基本函數(shù)時都是按照“實例—概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用—聯(lián)系”的順序展開，體現(xiàn)研究函數(shù)的步驟和方法的一般性.一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)既有各自不同的圖象與性質(zhì)，又具有相同的研究思路與方法，都是描述實際生活中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的模型，體現(xiàn)函數(shù)的共性.因此，基于函數(shù)主線的整體性及內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，把函數(shù)內(nèi)容分為函數(shù)的概念及表示、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)的綜合等四個方面進行考查，分別指向抽象能力、推理能力、幾何直觀、運算能力和模型觀念等素養(yǎng).其中，函數(shù)的概念及表示包含常量與變量、變量之間的對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)的定義和函數(shù)的表示方法等基礎(chǔ)知識；函數(shù)的圖象與性質(zhì)包含從函數(shù)表達式的數(shù)量特征及函數(shù)圖象的幾何特征來刻畫函數(shù)，并著重突出自變量的取值范圍，函數(shù)值的最大值和最小值，以及對稱性和增減性等；函數(shù)的應(yīng)用包含運用函數(shù)解決實際問題建立模型觀念；函數(shù)的綜合包含函數(shù)內(nèi)部知識的綜合及函數(shù)與其他知識的聯(lián)系，尤其是函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系.另外，由于函數(shù)是“數(shù)”與“形”的自然載體，所以在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)內(nèi)容通?？梢耘c幾何圖形及圖形變換相結(jié)合考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、歸納推理等思想方法.尤其對二次函數(shù)的考查，通常有三種考查方式：一是創(chuàng)設(shè)蘊含拋物線圖形的生活情境或?qū)嵨锬Ｐ?，如運行軌跡、隧道截面和蔬菜大棚的工棚等，從中抽象并建立二次函數(shù)模型，分析并解決相關(guān)的實際問題；二是更關(guān)注二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的本質(zhì)屬性，考查字母系數(shù)與圖象和性質(zhì)的關(guān)系；三是以拋物線為背景，以簡單的幾何圖形為載體，借助數(shù)、式和圖形的變與不變的規(guī)律，探究與發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的更多本質(zhì)屬性，實現(xiàn)代數(shù)知識與幾何知識的有機聯(lián)系與綜合，屬于較難題.因此，對函數(shù)內(nèi)容的考查角度是多樣的.既可以對單一基礎(chǔ)知識進行考查，也可以與其他知識綜合考查，綜合或抽象程度越高，難度越大.

綜觀2022年全國各地的中考試題，考查函數(shù)的題型覆蓋了選擇題、填空題和解答題，考查方式靈活，從不同角度考查了《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對函數(shù)內(nèi)容的學(xué)業(yè)要求與教學(xué)理念.對抽樣的32份試卷分類別進行統(tǒng)計，得到3個統(tǒng)計表，如表1、表2和表3所示.其中，表1是抽樣32份試卷中函數(shù)考查內(nèi)容分布情況的匯總；表2和表3分別是省卷和地方卷中函數(shù)考點的題量、分值和難度分布的匯總.

表1 函數(shù)考查內(nèi)容分布情況匯總表

表2 省卷函數(shù)考點題量、分值、難度分布匯總表

表3 地方卷函數(shù)考點題量、分值、難度分布匯總表

由表1可以看出，各地都非常重視對函數(shù)內(nèi)容的考查.2022年全國各地的中考試卷較多關(guān)注了對“函數(shù)的綜合”的考查，且有較多試卷把較難題設(shè)置為對二次函數(shù)與其他知識綜合的考查；對“函數(shù)的應(yīng)用”的考查較多體現(xiàn)在一次函數(shù)的應(yīng)用及二次函數(shù)的應(yīng)用.反比例函數(shù)的應(yīng)用也有涉及，但是比較少.除此之外，有近一半的試卷關(guān)注了結(jié)合實際情境考查函數(shù)的定義和變量之間的對應(yīng)關(guān)系，以及對函數(shù)的意義和表示的考查.

從表2中可知，2022年省卷中與函數(shù)相關(guān)的試題分值比較穩(wěn)定，占整份試卷分值的20%左右；題量（以小題計量）為5～9道題.在以往考查難點的問題設(shè)置上，分值有所減少，難度有所降低，以中檔題居多.可見，在“雙減”實施后的第一年中考，多數(shù)省卷都適當(dāng)降低了難度.在考點的分布上，“函數(shù)的概念及表示”“函數(shù)的圖象與性質(zhì)”“函數(shù)的應(yīng)用”“函數(shù)的綜合”四大模塊均有涉及.其中，“函數(shù)的圖象與性質(zhì)”“函數(shù)的應(yīng)用”“函數(shù)的綜合”為重點考查內(nèi)容，大多數(shù)省卷以選擇題和填空題的形式對“函數(shù)的概念及表示”進行獨立考查，也有的省卷中與“函數(shù)的應(yīng)用”結(jié)合考查.大多數(shù)省卷將“函數(shù)的綜合”設(shè)置為壓軸題或難點問題進行考查.

從表2和表3中可知，相對于省卷，地方卷中與函數(shù)相關(guān)試題的分值相對離散，在10～40分之間.其中，湖南長沙卷分值最低，為10分；四川成都卷分值最高，為40分.題量（以小題計量）分布也相對離散，在4～11道題之間，在難度上比省卷略高.在具體考點中，“函數(shù)的圖象與性質(zhì)”的考查力度比省卷稍大，“函數(shù)的概念及表示”的考查力度比省卷稍弱.

總體來說，各地中考試卷對函數(shù)的考查與《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的內(nèi)容要求是一致的，也充分體現(xiàn)了教育部對初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試命題提出的“加強綜合性、探究性試題”的命制要求，其中不乏一些試題在體現(xiàn)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》）新要求和新變化方面的改進與創(chuàng)新.

二、命題特點分析

函數(shù)是初中階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的三大主題之一，因其內(nèi)容的基礎(chǔ)性、階段性、抽象性、綜合性和應(yīng)用性等特征，既是學(xué)習(xí)的重點又是難點.一直以來，函數(shù)試題的命制尤其是二次函數(shù)綜合試題的命制，在函數(shù)的本質(zhì)的把握、難度的控制及是否超標(biāo)等方面都是命題的難點，各地命題者一直在不斷探索.《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對學(xué)業(yè)質(zhì)量、試題命制等方面提出了明確的要求.因此，2022年全國各地中考數(shù)學(xué)試卷中函數(shù)試題的命制在往年常規(guī)考查的基礎(chǔ)上，在試題考查內(nèi)涵上積極探索素養(yǎng)立意，在試題考查形式上嘗試創(chuàng)新，以滲透《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的理念，發(fā)揮對函數(shù)教學(xué)的導(dǎo)向作用.函數(shù)試題主要呈現(xiàn)出三個特點：一是在對函數(shù)概念、圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想進行考查的同時，積極嘗試跨學(xué)科綜合試題的探索（如與化學(xué)和物理知識的綜合）；二是創(chuàng)設(shè)真實的生活情境，設(shè)計有實際意義的問題，考查學(xué)生的抽象能力、幾何直觀、模型觀念和應(yīng)用意識等素養(yǎng)；三是以函數(shù)知識為主線，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，突出函數(shù)與方程、不等式的聯(lián)系，滲透函數(shù)的觀念與思想.下面從命題立意、導(dǎo)向和創(chuàng)新等角度進行分析.

1.考查“四基”，落實核心素養(yǎng)，體現(xiàn)素養(yǎng)立意

與函數(shù)內(nèi)容關(guān)聯(lián)密切的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括抽象能力、幾何直觀、模型觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識等，在根據(jù)實際問題構(gòu)建函數(shù)模型和應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)解決實際問題的過程中體現(xiàn)出來.體現(xiàn)素養(yǎng)立意，就需要創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫场⒃O(shè)計與情境適切的問題等.主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

（1）聚焦函數(shù)的概念及表示方法，落實抽象能力的考查.

依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，初中階段對函數(shù)的要求重點是借助現(xiàn)實情境歸納、抽象出函數(shù)的概念，理解并正確刻畫函數(shù)的概念，通過具有對應(yīng)關(guān)系的兩個變量的相互聯(lián)系和用三種方式刻畫變量間的關(guān)系得到函數(shù)的三種表達方式.因此，對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)的核心，也是試題命制的切入點.

①借助生活情境中變量間的對應(yīng)關(guān)系的描述和表達，考查抽象能力和幾何直觀.

例1（北京卷）下面的三個問題中都有兩個變量：

①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；

③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x.

其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖1所示的圖象表示的是（ ）.

圖1

（A）①② （B）①③

（C）②③ （D）①②③

答案：A.

例2（吉林卷）李強用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時加熱相同質(zhì)量的水，甲壺比乙壺加熱速度快.在一段時間內(nèi)，水溫y（℃）與加熱時間x（s）之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，畫函數(shù)圖象如圖2所示.

圖2

（1）加熱前水溫是______；

（2）求乙壺中水溫y關(guān)于加熱時間x的函數(shù)解析式；

（3）當(dāng)甲壺中水溫剛達到80℃時，乙壺中水溫是______.

考查目標(biāo)：考查函數(shù)的意義與表示.

命題意圖：例1借助現(xiàn)實生活中兩個變量（剩余路程與時間、剩余水量與放水時間、矩形的面積與一邊長）之間的依賴關(guān)系用函數(shù)圖象表達出來，結(jié)合情境對函數(shù)的關(guān)系做出判斷，實現(xiàn)從生活問題到數(shù)學(xué)問題的抽象和轉(zhuǎn)化.例2通過創(chuàng)設(shè)熱水壺在加熱過程中水溫與加熱時間這兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系，結(jié)合圖象考查學(xué)生對函數(shù)意義的理解及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，考查了函數(shù)的關(guān)系式與相應(yīng)函數(shù)圖象之間的轉(zhuǎn)化與關(guān)聯(lián)，滲透了抽象能力和幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

命題評價：由以上兩例可以看出，函數(shù)的概念及表示方法的考查往往會結(jié)合一些具體生活情境讓學(xué)生感受相關(guān)數(shù)量之間的變化過程，以及變化過程中相關(guān)變量之間的對應(yīng)關(guān)系，探索其中的變化規(guī)律及本質(zhì)，嘗試根據(jù)變量的對應(yīng)關(guān)系做出預(yù)測，獲得函數(shù)的感性認(rèn)識.此類問題的考查多以選擇題的形式出現(xiàn)，且難度較低，屬于容易題.

類似的試題還有：重慶A卷第4題根據(jù)蝴蝶飛行離地面的高度與飛行時間的對應(yīng)關(guān)系圖分析和判斷蝴蝶飛行的最高高度；江蘇蘇州卷第15題以現(xiàn)實生活中容器注水和排水過程中的水量與時間的對應(yīng)關(guān)系進行抽象，考查對函數(shù)的概念及意義的理解；安徽卷第5題通過現(xiàn)實情境（甲、乙、丙、丁四個人步行的路程和所用的時間）進行抽象，借助函數(shù)圖象的幾何意義進行分析與識別；等等.在復(fù)習(xí)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注基礎(chǔ)知識和通性通法，借助問題的背景和圖象理解自變量與函數(shù)所表示的意義，從兩者的對應(yīng)關(guān)系入手分析和解決問題.

②借助圖形運動過程中變量間的對應(yīng)關(guān)系的描述和表達，考查抽象能力和邏輯推理.

例3（四川·綿陽卷）如圖3，在菱形ABCD中，∠C=120°，M是AB的中點，N是對角線BD上一動點，設(shè)DN長為x，線段MN與AN長度的和為y，圖4是y關(guān)于x的函數(shù)圖象，圖象右端點F的坐標(biāo)為，則圖象最低點E的坐標(biāo)為（ ）.

圖3

圖4

答案：C.

例4（湖北·江漢油田、潛江、天門、仙桃卷）如圖5，邊長分別為1和2的兩個正方形，其中有一條邊在同一水平線上，小正方形沿該水平線自左向右勻速穿過大正方形，設(shè)穿過的時間為t，大正方形的面積為S1，小正方形與大正方形重疊部分的面積為S2，若S=S1-S2，則S隨t變化的函數(shù)圖象大致為（ ）.

圖5

答案：A.

考查目標(biāo)：動態(tài)變化問題中的函數(shù)圖象.

命題意圖：例3以菱形為背景，點N在對角線上運動產(chǎn)生了兩個新的變量，即折線段之和（MN+AN）與變量DN，把兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系用部分圖象的形式給出，考查學(xué)生對函數(shù)最小值的意義的理解，滲透了幾何直觀、推理能力和運算能力.例4則創(chuàng)設(shè)了邊長分別為1和2的兩個正方形，以小正方形自左到右穿過大正方形的過程為背景，要求抽象刻畫出兩個正方形重疊過程中所求面積與時間這兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.設(shè)置成選擇題降低了對學(xué)生抽象能力的要求，學(xué)生只需要結(jié)合圖象理解抽象的過程即可，符合現(xiàn)階段對學(xué)生抽象能力的要求.

命題評價：從例3和例4可以看出，設(shè)置圖形的運動情境，能夠考查學(xué)生從實際問題情境中抽象函數(shù)與圖象的能力，有效考查了學(xué)生對函數(shù)的概念和圖象的理解，有利于發(fā)展學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).此類試題常以較難的選擇題或中檔解答題的形式進行考查.在圖形的運動中醞釀與構(gòu)建函數(shù)關(guān)系或圖象的還有：江蘇南通卷第9題；黑龍江佳木斯卷第28題第（3）小題借助平面直角坐標(biāo)系中的平行四邊形及動點，探究三角形的面積與動點的運動時間之間的一次函數(shù)關(guān)系；四川綿陽卷第25題第（2）小題借助三角形面積探究相關(guān)函數(shù)關(guān)系式的構(gòu)建與應(yīng)用（最值）.

（2）挖掘函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)的本質(zhì)，落實幾何直觀的考查.

函數(shù)的圖象和性質(zhì)是函數(shù)的主體內(nèi)容.對函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究過程要求從數(shù)量和圖形及數(shù)形相互轉(zhuǎn)化的角度展開，充分顯示了函數(shù)的本質(zhì)特征是聯(lián)系和變化，函數(shù)圖象可以形象、直觀地展示函數(shù)關(guān)系.

《標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出，幾何直觀主要是指運用圖形描述和分析問題的意識與習(xí)慣.根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；幾何直觀有助于把握問題的本質(zhì)，明晰思維的路徑.因此，多數(shù)函數(shù)試題會把函數(shù)表達式中字母系數(shù)對函數(shù)圖象的影響、表達式與圖象性質(zhì)之間的關(guān)系及函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用作為切入點進行考查.

例5（安徽卷）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+a2與y=a2x+a的圖象可能是（ ）.

答案：D.

例6（江西卷）跳臺滑雪運動可分為助滑、起跳、飛行和落地四個階段，運動員起跳后飛行的路線是拋物線的一部分（如圖6中實線部分所示），落地點在著陸坡（如圖6中虛線部分所示）上，著陸坡上的基準(zhǔn)點K為飛行距離計分的參照點，落地點超過點K越遠，飛行距離分越高.2022年北京冬奧會跳臺滑雪標(biāo)準(zhǔn)臺的起跳臺的高度OA為66m，基準(zhǔn)點K到起跳臺的水平距離為75m，高度為hm（h為定值）.設(shè)運動員從起跳點A起跳后的高度y（m）與水平距離x（m）之間的函數(shù)關(guān)系為y=ax2+bx+c（a≠0）.

圖6

（1）c的值為_______.

（2）①若運動員落地點恰好到達點K，且此時，求基準(zhǔn)點K的高度h；

（3）若運動員飛行的水平距離為25m時，恰好達到最大高度76 m，試判斷他的落地點能否超過點K，并說明理由.

考查目標(biāo)：考查字母系數(shù)與函數(shù)圖象的對應(yīng)關(guān)系.

命題意圖：例5是純數(shù)學(xué)情境，在平面直角坐標(biāo)系中觀察、分析一次函數(shù)字母系數(shù)對函數(shù)圖象的影響（直線傾斜方向和與坐標(biāo)軸交點的位置特征等）.由于兩個一次函數(shù)的一次項系數(shù)與常數(shù)項互換，需要觀察給定選項中的圖象再結(jié)合a2的非負(fù)性即可得到答案，難度中等偏上.例6以北京冬奧會跳臺滑雪運動為背景，以運動員從起跳臺起跳后的運行軌跡為研究對象，讓學(xué)生經(jīng)歷從實際問題情境中抽象并建立二次函數(shù)模型的過程，把實際問題“運動員落地點是否超過基準(zhǔn)點”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即判斷落地點與圖象的關(guān)系，第（2）小題在a不變的前提下，根據(jù)兩條拋物線之間的關(guān)系確定b的取值范圍（可以有多種方法）；解決第（3）小題需根據(jù)給定的條件求出拋物線的表達式中a的值，再結(jié)合運算、推理進行判斷來解決問題.例6本質(zhì)上還是考查二次函數(shù)字母系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系，在求解過程中借助幾何直觀可以優(yōu)化求解過程.例如，當(dāng)a不變時，可知函數(shù)圖象開口方向及大小不變，只需要考慮對稱軸的位置即可，還可以考慮讓橫坐標(biāo)相等比較縱坐標(biāo)的大小或者縱坐標(biāo)相等比較橫坐標(biāo)的大小等，考查了學(xué)生的抽象能力和幾何直觀等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

命題評價：結(jié)合真實情境考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在教材中就有這樣的習(xí)題，如北師大版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級下冊第二章“二次函數(shù)”習(xí)題2.6第3題中高爾夫球的運動軌跡等，引導(dǎo)教師重視對教材習(xí)題的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，對教學(xué)起到了很好的導(dǎo)向作用.2022年中考，考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)的類似試題有很多：陜西A卷第8題通過二次函數(shù)圖象上的三個點的坐標(biāo)考查自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系和函數(shù)的增減性；山東青島卷第22題在平面直角坐標(biāo)系中直接考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)；天津卷第8題在反比例函數(shù)圖象上已知三個點的縱坐標(biāo)，判斷相應(yīng)的橫坐標(biāo)的大小，考查反比例函數(shù)的增減性；天津卷第23題創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)實生活情境“學(xué)生往返于位于同一條直線上的學(xué)生公寓、閱覽室、超市”中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及學(xué)生對函數(shù)的意義的理解.

（3）創(chuàng)設(shè)真實的問題情境，突出函數(shù)的應(yīng)用，落實模型觀念和應(yīng)用意識的考查.

函數(shù)可以解決很多實際問題，在初中階段，加強數(shù)學(xué)建?？梢栽鰪妼W(xué)生的應(yīng)用意識和實踐能力.在前面的表1中，可以看出2022年中考試卷中考查函數(shù)的應(yīng)用的試題中大多數(shù)是考查用一次函數(shù)解決實際應(yīng)用問題，二次函數(shù)次之，反比例函數(shù)最少，這與初中階段學(xué)生現(xiàn)有的運算能力和推理能力還比較薄弱有關(guān).

例7（山東·青島卷）李大爺每天到批發(fā)市場購進某種水果進行銷售，這種水果每箱10千克，批發(fā)商規(guī)定：整箱購買，一箱起售，每人一天購買不超過10箱；當(dāng)購買1箱時，批發(fā)價為8.2元/千克，每多購買1箱，批發(fā)價每千克降低0.2元.根據(jù)李大爺?shù)匿N售經(jīng)驗，這種水果售價為12元/千克時，每天可銷售1箱；售價每千克降低0.5元，每天可多銷售1箱.

（1）試求出這種水果批發(fā)價y（元/千克）與購進數(shù)量x（箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若每天購進的這種水果需當(dāng)天全部售完，試計算，李大爺每天應(yīng)購進這種水果多少箱，才能使每天所獲利潤最大？最大利潤是多少？

答案：（1）y=-0.2x+8.4（1≤x≤10，且x為整數(shù)）；

（2）李大爺每天應(yīng)購進這種水果7箱，獲得的利潤最大，最大利潤是140元.

例8（陜西A卷）現(xiàn)要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖7所示，線段OE表示水平的路面，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以O(shè)E所在直線為x軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.根據(jù)設(shè)計要求：OE=10 m，該拋物線的頂點P到OE的距離為9 m.

圖7

（1）求滿足設(shè)計要求的拋物線的函數(shù)表達式；

（2）現(xiàn)需在這一隧道內(nèi)壁上安裝照明燈，如圖7所示，即在該拋物線上的點A，B處分別安裝照明燈.已知點A，B到OE的距離均為6 m，求點A，B的坐標(biāo).

考查目標(biāo)：考查函數(shù)與實際問題，確定二次函數(shù)的解析式.

命題意圖：例7以生活中常見的銷售問題為情境，考查了銷售價格與銷售數(shù)量之間的一次函數(shù)關(guān)系，以及利潤與銷售數(shù)量之間的二次函數(shù)關(guān)系，考查學(xué)生在情境中挖掘等量關(guān)系、構(gòu)建函數(shù)模型的能力.例8創(chuàng)設(shè)拋物線型隧道截面情境，設(shè)計在隧道內(nèi)安裝照明燈的問題，考查用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運用性質(zhì)解決實際問題.雖然兩道試題的考查方式和呈現(xiàn)形式有所不同，但是在立意上是一致的，即要求學(xué)生通過分析實際問題的情境確定函數(shù)的表達式，體會函數(shù)的意義，在此基礎(chǔ)上考查學(xué)生運用函數(shù)模型分析和解決實際問題的能力，較好地滲透了抽象能力、模型觀念、運算能力、幾何直觀、推理能力和應(yīng)用意識等素養(yǎng).

命題評價：該類試題以創(chuàng)設(shè)豐富的生活情境來呈現(xiàn)，再根據(jù)情境設(shè)計適切的問題，均較好地體現(xiàn)了素養(yǎng)立意.教師在日常教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的完整過程（實際背景—數(shù)據(jù)收集—模型確定—模型求解—解釋與應(yīng)用），培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念及應(yīng)用意識，逐步養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光觀察和用數(shù)學(xué)的思維思考的習(xí)慣.類似的試題還有：北京卷第25題結(jié)合滑雪運動員從起跳到著陸的過程中的豎直高度與水平距離中的兩組訓(xùn)練數(shù)據(jù)，抽象出二次函數(shù)的關(guān)系式；河南卷第21題以噴出的水柱為素材，考查二次函數(shù)建模及其應(yīng)用；江蘇南通卷第15題結(jié)合小球的飛行高度與飛行時間，構(gòu)建二次函數(shù)探尋最值問題；江蘇揚州卷第26題以拋物線型的鐵皮余料為素材，考查二次函數(shù)的建模與應(yīng)用（內(nèi)割最大的正方形面積、矩形周長和圓）；安徽卷第23題借助隧道截面抽象出二次函數(shù)圖象，并通過修建不同型號的柵欄及幾何圖形（柵欄）的線段長度在方案設(shè)計中滲透考查學(xué)生的幾何直觀和推理能力，并在柵欄總長度計算及面積的表示中再次抽象出二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，進一步用相應(yīng)的二次函數(shù)性質(zhì)求解方案設(shè)計中的最大柵欄長度和最大矩形面積問題.

（4）注重函數(shù)與其他知識的橫向聯(lián)系，突出試題的探究性和綜合性.

平面直角坐標(biāo)系是溝通代數(shù)與幾何的橋梁，建立平面直角坐標(biāo)系是實現(xiàn)用代數(shù)方法研究幾何問題的有效途徑.2022年全國各地中考試卷中函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合的綜合性試題高頻出現(xiàn)，將方程（不等式）、函數(shù)和圖形融為一體，求解、探究和證明相互交織，突出考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力.這類試題由不同的函數(shù)與不同的圖形進行不同的組合，呈現(xiàn)形式多樣，考查內(nèi)容豐富，通常作為解答題的中檔題或壓軸題進行考查.

例9（江西卷）如圖8，點A（m，4）在反比例函數(shù)的圖象上，點B在y軸上，OB=2，將線段AB向右下方平移，得到線段CD，此時點C落在反比例函數(shù)的圖象上，點D落在x軸正半軸上，且OD=1.

圖8

（1）點B的坐標(biāo)為____，點D的坐標(biāo)為_____，點C的坐標(biāo)為______（用含m的式子表示）；

（2）求k的值和直線AC的表達式.

答案：（1）B（0，2），D（1，0），C（m+1，2）；

（2）k的值為4，直線AC的表達式為y=-2x+6.

例10（上海卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點A(-2，-1)，B(0，-3).

（1）求這條拋物線的表達式.

（2）將這條拋物線平移，得到一條頂點為P(m，n)(m＞0)的新拋物線.

①當(dāng)S△OPB=3時，如果這兩條拋物線在直線x=k的右側(cè)部分是上升的，求k的取值范圍；

②點P在原拋物線上，新拋物線交y軸于點Q，如果∠BPQ=120°，求點P的坐標(biāo).

（2）①k≥2；②.

考查目標(biāo)：考查點的坐標(biāo)的幾何意義，綜合考查函數(shù)與幾何圖形或圖形變換的融合.

命題意圖：例9以平面直角坐標(biāo)系中反比例函數(shù)的圖象為背景，通過線段AB的平移得到新的線段CD，綜合考查點的坐標(biāo)、平移的性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)及用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，考查了幾何直觀和運算能力等核心素養(yǎng)，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法.例10以平面直角坐標(biāo)系中拋物線的圖象為背景，通過拋物線的平移得到△OPB及新的拋物線，設(shè)定三角形的面積為定值時探究兩個函數(shù)的增減性，運用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，綜合考查了勾股定理、銳角三角函數(shù)和分類討論思想.

命題評價：一般情況下，函數(shù)與幾何圖形或圖形變換的綜合考查往往會設(shè)置成中檔題或較難題，二次函數(shù)綜合還會設(shè)置成壓軸題或次壓軸題.但是2022年多數(shù)地區(qū)中考試卷中的函數(shù)綜合題在整個試卷中的位置前移，綜合程度及難度均有所降低，更關(guān)注對函數(shù)的本質(zhì)的考查，較好地滲透了幾何直觀、運算能力、抽象能力和模型觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).類似的試題還有：安徽卷第13題是反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合性問題，綜合考查了等腰三角形、平行四邊形的性質(zhì)及反比例函數(shù)中k的幾何意義等；廣西貴港卷第25題以拋物線為背景考查了待定系數(shù)法和函數(shù)最值，通過探究兩個三角形相似考查分類討論思想及相似三角形的判定與性質(zhì)等；江蘇連云港卷第26題借助含有變量的字母系數(shù)二次函數(shù)，結(jié)合拋物線經(jīng)過的特殊點（原點）或位置關(guān)系（頂點在第一象限），考查相應(yīng)的頂點坐標(biāo)及三角形面積的最大值問題；重慶A卷第24題借助拋物線上相關(guān)點的坐標(biāo)考查待定系數(shù)法，結(jié)合相關(guān)線段的長度之和轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，分類探究平移后拋物線上相關(guān)交點構(gòu)建平行四邊形的情形.

2.關(guān)注課程標(biāo)準(zhǔn)的變化，適度創(chuàng)新

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在函數(shù)部分新增的內(nèi)容主要是：理解函數(shù)值的意義；知道二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系.在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域更加注重發(fā)展學(xué)生的代數(shù)推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念，加強方程、不等式和函數(shù)等建模過程的結(jié)構(gòu)化整合，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識，積極探索跨學(xué)科綜合等.基于以上這些變化，各地命題者在函數(shù)試題的命制上已經(jīng)開始進行謹(jǐn)慎探索，嘗試創(chuàng)新.在2022年全國各地的中考函數(shù)試題中，主要體現(xiàn)在以下幾個方面.

（1）關(guān)注對函數(shù)及其性質(zhì)和意義的理解，嘗試跨學(xué)科綜合.

《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對函數(shù)模塊的內(nèi)容要求中指出：探索簡單實例中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；能根據(jù)函數(shù)圖象分析出實際問題中變量的信息，發(fā)現(xiàn)變量間的變化規(guī)律；能結(jié)合函數(shù)圖象對簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系進行分析，結(jié)合對函數(shù)關(guān)系的分析，能對變量的變化趨勢進行初步推測.在函數(shù)模塊教學(xué)提示中明確指出：會用函數(shù)表達現(xiàn)實世界事物的簡單規(guī)律，經(jīng)歷用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界的過程，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進一步發(fā)展應(yīng)用意識.因此，這類創(chuàng)新試題，在情境創(chuàng)設(shè)上嘗試跨學(xué)科，在問題設(shè)計上突出考查學(xué)生對函數(shù)值意義的理解.

例11 （江西卷）甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度y（g）與溫度t（℃）之間的對應(yīng)關(guān)系如圖9所示，則下列說法中，錯誤的是（ ）.

圖9

（A）甲、乙兩種物質(zhì)的溶解度均隨著溫度的升高而增大

（B）當(dāng)溫度升高至t2℃時，甲的溶解度比乙的溶解度大

（C）當(dāng)溫度為0℃時，甲、乙的溶解度都小于20 g

（D）當(dāng)溫度為30℃時，甲、乙的溶解度相等

答案：D.

例12（河南卷）呼氣式酒精測試儀中裝有酒精氣體傳感器，可用于檢測駕駛員是否酒后駕車.酒精氣體傳感器是一種氣敏電阻（圖10中的R1），R1的阻值隨呼氣酒精濃度K的變化而變化（如圖11），血液酒精濃度M與呼氣酒精濃度K的關(guān)系見圖12.下列說法不正確的是（ ）.

圖10

圖11

圖12

（A）呼氣酒精濃度K越大，R1的阻值越小

（B）當(dāng)K=0時，R1的阻值為100

（C）當(dāng)K=10時，該駕駛員為非酒駕狀態(tài)

（D）當(dāng)R1=20時，該駕駛員為醉駕狀態(tài)

答案：C.

考查目標(biāo)：考查觀察、理解函數(shù)圖象中對應(yīng)關(guān)系及函數(shù)值的意義.

命題意圖：例11和例12均注重創(chuàng)設(shè)真實的問題情境，呈現(xiàn)變量之間的函數(shù)關(guān)系與變化規(guī)律，考查學(xué)生觀察和理解函數(shù)圖象中對應(yīng)關(guān)系及函數(shù)值的意義.尤其是創(chuàng)設(shè)了跨學(xué)科情境，給變量賦予了化學(xué)和物理學(xué)科背景，令人耳目一新，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的聯(lián)系及應(yīng)用價值.

命題評價：以上試題情境新穎，注重考查函數(shù)的本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用，有效地落實了《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的理念，對教學(xué)起到導(dǎo)向作用.類似的試題還有河北卷第12題以完成某項工作需要的人數(shù)與天數(shù)為背景，創(chuàng)設(shè)6組數(shù)對(m，n)在坐標(biāo)系中的對應(yīng)關(guān)系.這樣的問題設(shè)計有效考查了學(xué)生對反比例函數(shù)概念與函數(shù)圖象中自變量和函數(shù)值意義的理解.

（2）關(guān)注函數(shù)與方程和不等式的聯(lián)系，滲透函數(shù)思想及代數(shù)推理.

函數(shù)、方程和不等式三者之間聯(lián)系密切、相互滲透，函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式之間均可以相互轉(zhuǎn)化.《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》要求以運動變化的觀點看待函數(shù)與方程、函數(shù)與不等式的轉(zhuǎn)化關(guān)系，這部分內(nèi)容蘊含了很多培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力的素材，函數(shù)思想和方程思想也是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想.這些都會給命題的創(chuàng)新帶來新的啟示.

例13（山西卷）閱讀與思考.

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，仔細閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

任務(wù)：（1）上面小論文中的分析過程，主要運用的數(shù)學(xué)思想是_____（從下面選項中選出兩個即可）；

（A）數(shù)形結(jié)合 （B）統(tǒng)計思想

（C）分類討論 （D）轉(zhuǎn)化思想

（2）試參照小論文中當(dāng)a＞0時①②的分析過程，寫出③中當(dāng)a＞0，Δ＜0時，一元二次方程根的情況的分析過程，并畫出相應(yīng)的示意圖；

（3）實際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識也可以用函數(shù)觀點來認(rèn)識.例如，可用函數(shù)觀點來認(rèn)識一元一次方程的解.試再舉出一例為___________.

答案：（1）AC（答案不唯一）；

（2）當(dāng)a＞0時，拋物線開口向上.

當(dāng)Δ=b2-4ac＜0時，有4ac-b2＞0.

因為a＞0，所以頂點縱坐標(biāo).

所以頂點在x軸的上方，拋物線與x軸無交點（圖略）.

所以一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數(shù)根.

（3）可用函數(shù)觀點認(rèn)識二元一次方程組的解.（答案不唯一.）

例14（重慶A卷）已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點A（1，m），B（n，-2）.

（1）求一次函數(shù)的表達式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖象；

（3）若點C是點B關(guān)于y軸的對稱點，連接AC，BC，求△ABC的面積.

圖15

答案：（1）y=2x+2，圖略；（2）-2＜x＜0或x＞1；（3）12.

考查目標(biāo)：考查函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系.

命題意圖：例13以學(xué)生數(shù)學(xué)小論文“用函數(shù)觀點認(rèn)識一元二次方程根的情況”為素材，設(shè)置成閱讀與思考，模仿課堂教學(xué)的過程，在邊閱讀邊思考的過程中進行任務(wù)設(shè)計，考查二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題與一元二次方程根的問題之間的相互轉(zhuǎn)化，引出分類討論思想，最后類比考查一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化，進行開放式問題設(shè)計，較好地滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.第（2）小題讓學(xué)生參照寫出“當(dāng)a＞0，Δ＜0時，一元二次方程根的情況的分析過程”，滲透了對代數(shù)推理能力的考查，考查角度及形式比較新穎.例14綜合考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，在第（2）小題中要求根據(jù)函數(shù)圖象直接寫出不等式的解集，很好地考查了用函數(shù)的觀點分析和理解題意，引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注基礎(chǔ)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系.

命題評價：運用數(shù)形結(jié)合思想分析不等式的解集，能把不等式的解集逆向轉(zhuǎn)化為滿足一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的點的橫坐標(biāo)所在的范圍，找到一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.類似的試題還有北京卷第26題，直接給出數(shù)學(xué)情境設(shè)置兩個問題，第一個問題是通過解二元一次方程組求解，第二個問題通過已知不等關(guān)系及拋物線上點的縱坐標(biāo)的特征，結(jié)合不等式性質(zhì)的運算，推理出對稱軸的范圍，側(cè)重從代數(shù)角度以代數(shù)推理為基礎(chǔ)考查二次函數(shù)的性質(zhì)，也是一種新的嘗試.

（3）創(chuàng)設(shè)真實情境，設(shè)計有意義的問題，關(guān)注問題解決.

例15（浙江·溫州卷）根據(jù)如表4所示的素材，探索完成任務(wù).

表4

答案：以拱頂為原點建立平面直角坐標(biāo)系，可得拋物線的函數(shù)表達式為，完成任務(wù)1；任務(wù)2，懸掛點的縱坐標(biāo)的最小值是-1.8，橫坐標(biāo)的取值范圍為-6≤x≤6；任務(wù)3，由拋物線的軸對稱性，可以從頂點處開始懸掛燈籠，共掛7盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是-4.8，也可以從對稱軸兩側(cè)開始懸掛燈籠，共掛8盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標(biāo)是-5.6.

考查目標(biāo)：考查二次函數(shù)與實際問題.

命題意圖：例15先提出需要解決的問題：如何設(shè)計拱橋景觀燈的懸掛方案？以“素材”形式創(chuàng)設(shè)真實情境，以“任務(wù)”方式提出與情境適切的有實際意義的問題，引發(fā)學(xué)生思考和探究，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的問題解決的過程，即“確定橋拱形狀—探索懸掛范圍—設(shè)計懸掛方案”，在解決問題的過程中自然考查平面直角坐標(biāo)系、二次函數(shù)、方程和不等式等知識，滲透了對抽象能力、運算能力、模型觀念的考查，較好地體現(xiàn)了素養(yǎng)立意的命題導(dǎo)向.

命題評價：例15以“任務(wù)”的方式提出與情境適切的有實際意義的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的項目解決過程，對綜合實踐學(xué)習(xí)進行考查，實現(xiàn)從解題走向解決問題的轉(zhuǎn)變，能夠落實“三會”，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生以更加積極的態(tài)度和更加靈活的策略應(yīng)對現(xiàn)實世界.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

通過以上對函數(shù)試題命題特點的分析，可以看出：在以往常規(guī)考查的基礎(chǔ)上，函數(shù)試題開始關(guān)注情境的豐富性和真實性，引導(dǎo)課堂教學(xué)多引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界；試題命制對創(chuàng)設(shè)真實問題及代數(shù)推理的關(guān)注，引導(dǎo)課堂教學(xué)多關(guān)注對學(xué)生思維能力和數(shù)式運算變形能力的培養(yǎng)；試題命制對函數(shù)意義、函數(shù)表達式及圖象關(guān)系的關(guān)注，引導(dǎo)教學(xué)多培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的理解與對問題的表達能力.除此之外，仍然要注重在教學(xué)過程中落實“四基”“四能”.為了在復(fù)習(xí)課教學(xué)中實現(xiàn)“減負(fù)增效”，有效落實中考命題的導(dǎo)向作用，提出以下幾點建議.

1.回歸教材，夯實基礎(chǔ)

課程標(biāo)準(zhǔn)是教材編寫、教學(xué)及命題的依據(jù).在教學(xué)中，教師要認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)，明確《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》對函數(shù)的內(nèi)容要求和學(xué)業(yè)要求，準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容的深度與廣度，不可超越《標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》給出的內(nèi)容及要求.教材是最主要的教學(xué)資源，也是命題的主要素材來源.因此，教師在新授課時要把教材研究透，在復(fù)習(xí)時要把教材挖掘透，讓教材發(fā)揮“范本”“母題”功能，創(chuàng)造性地使用教材.

2.聚焦核心，注重本質(zhì)

函數(shù)概念的形成是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要，也是生產(chǎn)生活實際的需要.在教學(xué)中，應(yīng)秉承從函數(shù)的概念出發(fā)、以函數(shù)的圖象與性質(zhì)為核心和指向?qū)嶋H應(yīng)用的思路，不斷挖掘函數(shù)的本質(zhì).在評價中，應(yīng)堅持主干知識重點考查，堅持低起點、高落點，著力于對學(xué)生運算能力、推理能力等方面進行考查，促進學(xué)生理性思維的提升，促進學(xué)科核心素養(yǎng)的落實.

3.創(chuàng)設(shè)情境，感悟思想

在進行函數(shù)教學(xué)時，要重視函數(shù)思想的滲透.菲利克斯·克萊因（F.klein，1849—1925）曾明確提出，應(yīng)將養(yǎng)成函數(shù)思想和空間觀察能力作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ).這就要求教師在教學(xué)中要創(chuàng)設(shè)真實情境，揭示函數(shù)與現(xiàn)實生活的密切聯(lián)系，讓學(xué)生體會函數(shù)在描述變化現(xiàn)象的基本規(guī)律時的作用，再結(jié)合函數(shù)的圖象學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，運用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題，體會數(shù)形結(jié)合思想，循序漸進地滲透函數(shù)的概念，潛移默化地構(gòu)建函數(shù)思想.教材中有很多問題情境，教師在教學(xué)時要用好這些情境.在備課時，要經(jīng)常思考什么時候用，該怎么用；在課后反思時，思考用得是否恰當(dāng)、合理，是否達到了預(yù)期效果.除此之外，在教學(xué)中，還可以選取學(xué)生熟悉的生活情境和時政熱點，讓學(xué)生在自己熟悉的生活實例中體會用函數(shù)的眼光來觀察時代的變遷，用函數(shù)的語言來描述時代的發(fā)展，展現(xiàn)函數(shù)在新時代的魅力.

4.經(jīng)歷過程，歸納方法

對于函數(shù)，我們一般從它的概念、表示方法、圖象與性質(zhì)及其應(yīng)用幾個方面進行研究.因此，我們要運用類比的方法來學(xué)習(xí)每一類函數(shù)，完整經(jīng)歷抽象、畫圖、觀察、討論、歸納、分析、比較、應(yīng)用等過程，深刻理解函數(shù)概念的形成過程和函數(shù)性質(zhì)的生成歸納過程，總結(jié)基本的函數(shù)學(xué)習(xí)方法，感悟從函數(shù)的數(shù)量特征及圖形的幾何特征來刻畫函數(shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的基本方法.

四、典型模擬題

為了便于交流與學(xué)習(xí)，特為讀者提供幾道典型的函數(shù)模擬題.

1.下面各圖中反映了變量y是x的函數(shù)的是（ ）.

答案：C.

2.已知P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點均在二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象上，且|x1-h|＞|x2-h|，則下列表達式正確的是（ ）.

（A）y1+y2＞0 （B）y1-y2＞0

（C）a(y1-y2)＞0 （D）a(y1+y2)＞0

答案：C.

答案：B.

4.已知點M(a，2)，N(b，3)是直線y=(k-2)x+k+3上的兩點，且a＜b，則k的取值范圍為_____.

答案：k＞2.

5.函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表5所示，則該函數(shù)的圖象與直線y=2的交點坐標(biāo)為_______.

表5

答案：（1，2）和（3，2）.

6.如圖20，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P與x軸相切于點A，與y軸相交于B，C兩點，若直線y=2x+8經(jīng)過A，C兩點.

圖20

（1）直接寫出點A，C的坐標(biāo).

（2）求⊙P的半徑.

答案：（1）A(-4，0)，C(0，8 )；（2）5.

7.某醫(yī)院與某疫情暴發(fā)地相距200 km.現(xiàn)安排甲、乙兩車從該醫(yī)院出發(fā)，滿載防疫物資馳援該疫情暴發(fā)地.已知甲車比乙車先出發(fā)兩小時，且甲、乙兩車與該醫(yī)院的距離（單位：km）分別表示為y1，y2，y1，y2與甲車行駛時間x（h）的函數(shù)關(guān)系如圖21所示，試結(jié)合函數(shù)圖象解答以下問題.

圖21

（1）甲車的速度是______；

（2）求y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）甲車行駛多長時間時，兩車相距20 km？

答案：（1）40 km/h；

（2）y=100x-200（2≤x≤ 4）；

8.若函數(shù)y1=ax2+bx，y2=ax+b(ab≠0)，則我們稱y1與y2為孿生函數(shù).

（1）①二次函數(shù)y=2x2+x的孿生函數(shù)為______；

② 拋物線y1過點(-1，0)，直線y2過點(1，2)，且y1與y2為孿生函數(shù)，求拋物線y1的解析式.

（2）若拋物線y1=ax2+bx與直線y2=ax+b(ab≠0)是孿生函數(shù)，且函數(shù)y2的圖象經(jīng)過y1的頂點.

①求拋物線y1的對稱軸；

② 若當(dāng)-2＜x＜-1時，拋物線y1位于直線y=-3x+3的上方；當(dāng)2＜x＜3時，拋物線y1位于直線y=3x-3的下方，求直線y2的解析式.

答案：（1）①y=2x+1；②y1=x2+x.

（2）①x=1；②y2=2x-4.