關(guān)注數(shù)式通性·加強(qiáng)代數(shù)推理·提升運算能力
——2022年中考“數(shù)與式”專題命題分析

金雯雯，張宗余

（浙江省杭州市采荷中學(xué)；浙江省寧波市海曙外國語學(xué)校）

2022年4月《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）正式頒布，明確了核心素養(yǎng)的內(nèi)涵，構(gòu)建了以核心素養(yǎng)為主要維度的學(xué)業(yè)質(zhì)量評價體系來評價教與學(xué)的效果.中考是依據(jù)學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，對學(xué)生學(xué)完本學(xué)科課程后的課程目標(biāo)達(dá)成度進(jìn)行的總結(jié)性評價.2022年全國各地區(qū)中考“數(shù)與式”試題傳承了往年對基礎(chǔ)知識和基本技能的重視，立足基本思想和基本活動經(jīng)驗，更關(guān)注“數(shù)與式”的整體性，堅持素養(yǎng)立意，凸顯育人導(dǎo)向，滲透了對學(xué)生運算能力、推理能力、抽象能力、幾何直觀等核心素養(yǎng)的考查.

一、命題總體情況

數(shù)與式是代數(shù)的基本語言，是初中階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要知識，包括有理數(shù)、實數(shù)和代數(shù)式三部分內(nèi)容.“數(shù)與代數(shù)”是數(shù)學(xué)知識體系的基礎(chǔ)之一，是學(xué)生認(rèn)知數(shù)量關(guān)系、探索數(shù)學(xué)規(guī)律、建立數(shù)學(xué)模型的基石，可以幫助學(xué)生從數(shù)量的角度清晰地認(rèn)識、理解和表達(dá)現(xiàn)實世界.綜觀2022年全國各地區(qū)中考“數(shù)與式”試題，從不同側(cè)面、不同角度全面覆蓋了數(shù)與式的基礎(chǔ)知識，凸顯了以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的達(dá)成為命題的落腳點.例如，在有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式等相關(guān)概念和表示方法中考查學(xué)生的抽象能力和模型觀念；在數(shù)與代數(shù)的運算中考查學(xué)生的運算能力；在基于符號的運算和推理中考查學(xué)生的推理能力；在以數(shù)軸、幾何圖形為載體研究代數(shù)式的過程中考查學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng).

“數(shù)與式”試題的題型以選擇題和填空題為主，分值大多在2～5分.也有部分地區(qū)的中考試卷將這部分內(nèi)容放在簡答題中考查，分值大多在6～8分左右.也有部分試題有機(jī)結(jié)合其他相關(guān)內(nèi)容，涉及章內(nèi)知識和各章知識的融合，進(jìn)一步結(jié)合方程、不等式、函數(shù)（包括銳角三角函數(shù)）等相關(guān)內(nèi)容，綜合考查學(xué)生的運算能力.在2022年全國各地區(qū)約120份中考試卷中，“數(shù)與式”內(nèi)容在大多試卷中占試卷總分值（全卷總分有100分、120分、150分三類）的15%左右，考查較多的有北京卷、浙江寧波卷、浙江金華卷等，以綜合題形式考查的有浙江嘉興卷、湖北隨州卷、浙江金華卷、河北卷等.

二、命題特點分析

2022年中考“數(shù)與式”試題基本覆蓋了《標(biāo)準(zhǔn)》要求的所有知識點，考查內(nèi)容與《標(biāo)準(zhǔn)》要求基本吻合.和往年相比，在立足基礎(chǔ)知識和基本技能的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)了“數(shù)與式”知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，注重運用類比體現(xiàn)運算法則和運算律的一致性，深化了對運算算理的理解，對于“數(shù)與式”的教學(xué)有很好的導(dǎo)向作用.值得一提的是，部分試題背景有效植入了數(shù)學(xué)文化，融入立德樹人的課程理念，彰顯了數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值.

1.關(guān)注數(shù)的發(fā)展，感悟數(shù)形結(jié)合

數(shù)的發(fā)展是代數(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)，數(shù)的形成和發(fā)展基于生產(chǎn)、生活實踐的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)在發(fā)展的需要（主要是運算的封閉性）.通過對負(fù)數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)的認(rèn)識，感悟數(shù)是對數(shù)量的抽象，知道相反數(shù)的意義，知道絕對值是對數(shù)量大小和線段長度的表達(dá)，利用數(shù)軸將實數(shù)與點一一對應(yīng)，體會數(shù)形結(jié)合的意義，培養(yǎng)學(xué)生借助數(shù)軸表示數(shù)的幾何直觀素養(yǎng).

例1（云南卷）中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，并進(jìn)行負(fù)數(shù)運算的國家.若零上10℃記作+10℃，則零下10℃可記作（ ）.

（A）10℃ （B）0℃

（C）-10℃ （D）-20℃

答案：C.

例2（廣西·桂林卷）在東西向的馬路上，把出發(fā)點記為0，向東與向西意義相反.若把向東走2 km記作“+2 km”，那么向西走1 km應(yīng)記作（ ）.

（A） -2 km （B） -1 km

（C） 1 km （D） +2 km

答案：B.

命題分析：例1和例2考查了對負(fù)數(shù)意義的理解.從自然數(shù)到有理數(shù)的關(guān)鍵是引入了分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)，小學(xué)階段完成分?jǐn)?shù)的擴(kuò)充，初中階段完成負(fù)數(shù)和無理數(shù)的引入，將數(shù)系擴(kuò)充到實數(shù)域.例1中規(guī)定“零上記為正，零下記為負(fù)”，把“零上10℃”記作“+10℃”；例2中規(guī)定“向東記為正，向西記為負(fù)”，把“向東走2km”記作“+2 km”，這里的“+”“-”代表數(shù)的性質(zhì).命制與負(fù)數(shù)概念相關(guān)的試題時，要依托學(xué)生對現(xiàn)實生活的經(jīng)驗，注重創(chuàng)設(shè)真實情境，考查學(xué)生對負(fù)數(shù)概念的理解，選項設(shè)置上通常用相反數(shù)作為干擾選項.

例3（貴州·黔東南州卷）下列說法中，正確的是（ ）.

（A）2與-2互為倒數(shù)

（C）0的相反數(shù)是0

（D）2的絕對值是-2

答案：C.

命題分析：此題考查倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值的概念.互為相反數(shù)是指只有符號不同的兩個數(shù)，相反數(shù)必然是成對出現(xiàn)的（0的相反數(shù)是0）.絕對值的概念是借助距離加以定義的，是對數(shù)量大小和線段長度的表達(dá).絕對值刻畫的是一對相反數(shù)的共同特征：數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點到原點的距離相等，距離沒有負(fù)數(shù).此類試題的命制從學(xué)生容易混淆的概念入手，通過對具體事例的辨析考查多種概念，基于學(xué)生的常見錯誤設(shè)置干擾選項.

例4（山東·臨沂卷）如圖1，A，B位于數(shù)軸上原點兩側(cè)，且OB=2OA.若點B表示的數(shù)是6，則點A表示的數(shù)是（ ）.

圖1

（A）-2 （B）-3

（C）-4 （D）-5

答案：B.

例5（湖北·荊州卷）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖2所示，其中有一對互為相反數(shù)，它們是（ ）.

圖2

（A）a與d（B）b與d

（C）c與d（D）a與c

答案：C.

命題分析：例4考查了借助數(shù)軸表示數(shù)，同時融合線段的度量考查了線段的長度；例5考查了相反數(shù)的幾何意義，即一對相反數(shù)位于數(shù)軸上原點的兩側(cè)，并且到原點的距離相等，創(chuàng)新點在于利用數(shù)軸考查相反數(shù)的幾何意義.兩道試題都是有關(guān)數(shù)軸的常見命題方式.數(shù)軸是表示數(shù)的工具，數(shù)軸具有單位長度、原點、正方向三要素.實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，體現(xiàn)了數(shù)軸是初中階段數(shù)形結(jié)合的工具.命題時注重對數(shù)學(xué)基本思想的考查，滲透了幾何直觀素養(yǎng).

例6（四川·內(nèi)江卷）如圖3，數(shù)軸上的兩點A，B對應(yīng)的實數(shù)分別是a，b，則下列式子中成立的是（ ）.

圖3

（A） 1-2a＞1-2b（B）-a＜-b

（C）a+b＜0 （D） |a|-|b|＞0

答案：A.

命題分析：此題考查借助數(shù)軸比較實數(shù)的大小.位于數(shù)軸右邊的數(shù)總比數(shù)軸左邊的數(shù)大，這是比較兩個數(shù)大小的常用方法之一.同時，此題突出考查了不等式的基本性質(zhì).命制此類試題時通常借助不等式的基本性質(zhì)的錯用制造迷惑選項，如選項B；也有以代數(shù)式的運算法則的錯用設(shè)置錯誤選項的，如選項C.選項D考查學(xué)生對絕對值幾何意義的理解程度.此題突出對基本技能的考查，借助數(shù)軸滲透數(shù)形結(jié)合思想，借助不等式的運算考查學(xué)生的運算能力.

例7（山東·臨沂卷）滿足的整數(shù)m的值可能是（ ）.

（A）3 （B）2 （C）1 （D）0

答案：A.

命題分析：此題考查用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍，《標(biāo)準(zhǔn)》中對此內(nèi)容的要求是“掌握”.無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它來源于人們對數(shù)的抽象程度越來越高的要求.學(xué)生通過對數(shù)的平方根和立方根的學(xué)習(xí)，認(rèn)識了不同于有理數(shù)的數(shù)，將數(shù)系擴(kuò)充為實數(shù).此題突出考查了學(xué)生對無理數(shù)大小的估計能力.估算是運算能力的特征之一，估算得科學(xué)、合理且符合邏輯是解決此題的重點.

2.考查運算法則，明確運算算理

“數(shù)與式”試題關(guān)注運算算理和算法之間的關(guān)系，考查學(xué)生對運算算理的理解，以及對運算法則的掌握情況.算理是運算過程中的道理，是運算過程中的思維方式；算法是運算的發(fā)展，是將復(fù)雜的思維過程簡化后，人為規(guī)定的程序化的操作步驟.理解算理確保運算的準(zhǔn)確性，掌握算法能提高運算的速度；算理是算法的依據(jù)，算法是算理的概括.

例8（內(nèi)蒙古·呼和浩特卷）計算-3-2的結(jié)果是（ ）.

（A）-1 （B）1 （C）-5 （D）5

答案：C.

例9（湖南·張家界卷）下列計算正確的是（ ）.

（A）a2·a3=a6（B） 2a2+3a3=5a5

（C） (2a)2=4a2（D） (a-1)2=a2-1

答案：C.

例10（河北卷）下列正確的是（ ）.

答案：B.

命題分析：運算是“數(shù)與代數(shù)”的核心.數(shù)系擴(kuò)充后引入一類新數(shù)，需要研究其運算，即如何將引進(jìn)的新數(shù)的運算歸結(jié)到原有的數(shù)之間的運算而定義運算法則，進(jìn)而使得在原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立.“數(shù)與式”的運算考查的內(nèi)容有有理數(shù)的加減混合運算、實數(shù)的加減混合運算，以及整式、分式、二次根式等代數(shù)式之間的運算等.例8～例10分別考查了有理數(shù)的減法運算、整式的運算、二次根式的運算.此類試題的提問方式為讓學(xué)生直接運算和判斷運算是否正確，以考查學(xué)生對運算法則的掌握程度.命題干擾項常常通過收集學(xué)生日常錯誤的原因和形式而生成，不僅考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識和基本技能，還突出考查了學(xué)生的運算能力.

例11（重慶A卷）在多項式x-y-z-m-n中任意加括號，加括號后仍只有減法運算，然后按給出的運算順序重新運算，稱此為“加算操作”.例如，(x-y)-(z-m-n)=x-y-z+m+n，x-y-(z-m)-n=x-y-z+m-n，….

下列說法：

①至少存在一種“加算操作”，使其運算結(jié)果與原多項式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0；

③所有可能的“加算操作”共有8種不同運算結(jié)果.

其中正確的個數(shù)是（ ）.

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

答案：D.

命題分析：此題屬于新定義型題.先引入一種新的運算符號，確定這個符號的運算法則，并舉例說明.此類試題通過定義全新的運算方式，將傳統(tǒng)的代數(shù)運算遷移到新的情境中，再借助數(shù)與式的運算進(jìn)行必要的推理，體現(xiàn)了數(shù)與式之間彼此交融、息息相關(guān)的本質(zhì)特征，考查學(xué)生的運算能力和推理能力.原式中，可以通過加括號改變z，m，n的符號，但無法改變x，y的符號，故不存在任何“加算操作”，使其運算結(jié)果與原多項式之和為0.在多項式x-y-z-m-n中，可以通過加括號改變z，m，n的符號，加括號后只有加或減兩種運算，2×2×2=8，故所有可能的加括號的方法最多能得到8種不同的結(jié)果.此題設(shè)計的亮點在于情境新穎，試題本質(zhì)為整式的加減運算.

例12（四川·遂寧卷）已知m為方程x2+3x-2 022=0的根，那么m3+2m2-2 025m+2 022的值為（ ）.

（A）-2 022 （B）0

（C）2 022 （D）4 044

答案：B.

例13（廣西·北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)卷）閱讀材料：整體代值是數(shù)學(xué)中常用的方法.例如，“已知3a-b=2，求代數(shù)式6a-2b-1的值.”可以這樣解：6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.根據(jù)閱讀材料，解決問題：若x=2是關(guān)于x的一元一次方程ax+b=3的解，則代數(shù)式4a2+4ab+b2+4a+2b-1的值是________.

答案：14.

命題分析：例12和例13重點考查整體思想，整體思想的代數(shù)式求值試題備受命題者青睞.此類試題常常與代數(shù)式求值結(jié)合，命制試題的落腳點在于對學(xué)生運算能力的考查.例12旨在引導(dǎo)學(xué)生利用轉(zhuǎn)化降次思想求解，原式=m3+3m2-m2-3m-2 022m+2 022=m(m2+3m)-(m2+3m)-2 022m+2 022=2 022m-2 022-2 022m+2 022=0.例13有兩種解題思路.第一種為利用a與b的關(guān)系消元，即4a2+4ab+b2+4a+2b-1=4a2+4a(3-2a)+(3-2a)2+4a+2(3-2a)-1=4a2+12a-8a2+9-12a+4a2+4a+6-4a-1=14；第二種為利用整體思想將代數(shù)式變形，即4a2+4ab+b2+4a+2b-1=(2a+b)2+2(2a+b)-1=9+6-1=14.

3.類比數(shù)的運算，滲透數(shù)式通性

式的概念是通過字母表示數(shù)，在數(shù)和數(shù)的運算的基礎(chǔ)上建立起來的；式的運算既要依賴數(shù)的運算，又要拓展數(shù)的運算，還要提升數(shù)的運算.數(shù)與式的運算間的聯(lián)系非常緊密.例如，整式運算和整數(shù)運算，分式運算和分?jǐn)?shù)運算，因式分解和質(zhì)因數(shù)分解等都體現(xiàn)了數(shù)式通性.

類比數(shù)的運算，在代數(shù)式和代數(shù)式運算中，主要考查整式、分式、二次根式的相關(guān)運算，要求學(xué)生進(jìn)一步理解字母表示數(shù)的意義，基于符號的運算和推理建立符號意識，基于數(shù)的運算律的普遍適用，感悟數(shù)式通性.

例14（湖南·長沙卷）為落實“雙減”政策，某校利用課后服務(wù)開展了主題為“書香滿校園”的讀書活動.現(xiàn)需購買甲、乙兩種讀本共100本供學(xué)生閱讀，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本，設(shè)購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為（ ）.

（A） 8x元 （B） 10(1 00-x)元

（C） 8(1 00-x)元 （D） (1 00-8x)元

答案：C.

命題分析：此題借助社會情境考查了用字母表示數(shù)的思想.命制此類試題需要認(rèn)真思考情境的科學(xué)性，根據(jù)考查意圖，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和生活經(jīng)驗設(shè)計合理的生活情境、數(shù)學(xué)情境、科學(xué)情境，并要關(guān)注情境的真實性.

例15（河北卷）如圖4，棋盤旁有甲、乙兩個圍棋盒.

圖4

（1）甲盒中都是黑子，共10個.乙盒中都是白子，共8個.嘉嘉從甲盒拿出a個黑子放入乙盒，使乙盒棋子總數(shù)是甲盒所剩棋子數(shù)的2倍，則a的值為______.

（2）設(shè)甲盒中都是黑子，共m(m＞2)個，乙盒中都是白子，共2m個.嘉嘉從甲盒拿出a(1＜a＜m)個黑子放入乙盒中，此時乙盒棋子總數(shù)比甲盒所剩棋子數(shù)多______；接下來，嘉嘉又從乙盒拿回a個棋子放到甲盒，其中含有x(0＜x＜a)個白子，此時乙盒中有y個黑子，則的值為_______.

答案：（1）4.（2）（m+2a）個；1.

命題分析：例15考查整式的加減運算.代數(shù)式的運算包括：代數(shù)式的化簡、求值，整式的加法、減法、乘法運算，乘法公式和因式分解，分式的加減乘除運算.數(shù)與式的運算密切關(guān)聯(lián)，從算式到代數(shù)式，運算法則和運算律對字母均成立，將數(shù)的運算抽象化、形式化、系統(tǒng)化，實現(xiàn)算術(shù)思維到代數(shù)思維的飛躍.命題時要根據(jù)考查目標(biāo)和難度要求選擇素材，滲透數(shù)式通性，發(fā)展學(xué)生的抽象能力和運算能力.

例16（廣西·玉林卷）若x是非負(fù)整數(shù)，則表示的值的對應(yīng)點落在如圖5所示數(shù)軸上的范圍是（ ）.

圖5

（A）① （B）②

（C）③ （D）①或②

答案：B.

例17（浙江·臺州卷）如圖6所示的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的x的值是_______.

圖6

答案：5.

命題分析：例16和例17考查了異分母分式的加減運算，運算時要注意運算法則和符號的變化.當(dāng)分式的分子或分母是多項式時，要先因式分解，從而降低錯誤率.此類試題能夠考查學(xué)生對分式運算法則的掌握情況.除了常見的計算類試題外，近年來，部分試題也會以學(xué)生常常出現(xiàn)的“直接去分母進(jìn)行計算”的錯誤為切入點進(jìn)行命制，旨在考查學(xué)生對分式運算算理和分式基本性質(zhì)的掌握情況.例17大膽創(chuàng)新，不僅關(guān)注分式的運算，而且融合了方程的相關(guān)知識點，著重考查了學(xué)生的運算能力和推理能力.

4.根植數(shù)學(xué)文化，彰顯立德樹人

數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點、語言，以及數(shù)學(xué)的概念和思想方法在形成和發(fā)展中所體現(xiàn)的文化特征和文化價值.基于數(shù)學(xué)文化的“數(shù)與式”試題的命制，倡導(dǎo)用數(shù)學(xué)文化關(guān)心人與自然及社會的和諧發(fā)展，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，彰顯立德樹人的教育理念.

例18（河南卷）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆.”說明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億=1萬×1萬，1兆=1萬×1萬×1億，則1兆等于（ ）.

（A） 108（B） 1012

（C） 1016（D） 1024

答案：C.

例19（湖北·宜昌卷）中國是世界上首先使用負(fù)數(shù)的國家.兩千多年前戰(zhàn)國時期李悝所著的《法經(jīng)》中已出現(xiàn)使用負(fù)數(shù)的實例.《九章算術(shù)》的“方程”一章，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)及其加減法運算法則，并給出名為“正負(fù)術(shù)”的算法，試計算以下涉及“負(fù)數(shù)”的式子的值：-1-(-3)2的值為______.

答案：-10.

例20（湖南·婁底卷）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計數(shù)”.當(dāng)時有位父親為了準(zhǔn)確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)（如圖7），由細(xì)到粗（右細(xì)左粗），滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)出生了（ ）.

圖7

（A）1 335天 （B）516天

（C）435天 （D）54天

答案：B.

例21（湖北·隨州卷）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽著作，是數(shù)學(xué)發(fā)展史的一個里程碑.在該書的第2卷“幾何與代數(shù)”部分，記載了很多利用幾何圖形來論證的代數(shù)結(jié)論，利用幾何給人以強(qiáng)烈印象將抽象的邏輯規(guī)律體現(xiàn)在具體的圖形之中.

（1）我們在學(xué)習(xí)許多代數(shù)公式時，可以用幾何圖形來推理，觀察圖8，找出可以推出的代數(shù)公式.（下面各圖形均滿足推導(dǎo)各公式的條件，只需填寫對應(yīng)公式的序號.）

圖8

公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd

公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

公式③：(a-b)2=a2-2ab+b2

公式④：(a+b)2=a2+2ab+b2

圖8（a）對應(yīng)公式______，8（b）對應(yīng)公式______，8（c）對應(yīng)公式_____，8（d）對應(yīng)公式_____；

（2）《幾何原本》中記載了一種利用幾何圖形證明平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的方法，如圖9，試寫出證明過程.（已知圖中各四邊形均為矩形.）

圖9

（3）略.

答案：（1）①，②，④，③；（2）略.

命題分析：在中考試題中滲透數(shù)學(xué)文化，不僅可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文特征，而且可以豐富考查內(nèi)容，讓更多教師關(guān)注數(shù)學(xué)文化，進(jìn)而引導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)，強(qiáng)化立德樹人的理念.數(shù)學(xué)文化的滲透不僅是數(shù)學(xué)史的再現(xiàn)，更是數(shù)學(xué)應(yīng)用、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)觀念的體現(xiàn).數(shù)學(xué)文化的取材十分廣泛，主要包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)家及其成果、數(shù)學(xué)名著及命題、數(shù)學(xué)思想等.上述例子中提及的《孫子算經(jīng)》和《九章算術(shù)》是我國的文化瑰寶，《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的數(shù)學(xué)著作，集整個古希臘數(shù)學(xué)的成果與精神于一身.在命制數(shù)學(xué)文化試題時，要根據(jù)考查意圖，有意識地關(guān)注蘊含豐富數(shù)學(xué)文化的素材，同時注意情境的適切性.

5.融入真實情境，培養(yǎng)綜合能力

近幾年中考在命題標(biāo)準(zhǔn)、命題內(nèi)容、命題形式等方面進(jìn)行了改革創(chuàng)新，加強(qiáng)了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，聚焦對思維過程和思維質(zhì)量的考查.情境化試題是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的命題形式，以其不可替代性逐漸成為了中考考查的重要載體之一.這類試題主要考查學(xué)生獲取信息能力，并對獲取的信息進(jìn)行加工和遷移的能力，要求學(xué)生將所學(xué)知識與情境銜接進(jìn)行獨立思考，運用所學(xué)知識分析并解決實際問題.此類試題貼近生活、生產(chǎn)實際，體現(xiàn)社會熱點，強(qiáng)調(diào)理論聯(lián)系實際，突出數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用性.

例22（浙江·舟山卷）某動物園利用杠桿原理稱象：如圖10，在點P處掛一根質(zhì)地均勻且足夠長的鋼梁（呈水平狀態(tài)），將裝有大象的鐵籠和彈簧秤（秤的重力忽略不計）分別懸掛在鋼梁的點A，B處，當(dāng)鋼梁保持水平時，彈簧秤讀數(shù)為k（N）.若鐵籠固定不動，移動彈簧秤使BP擴(kuò)大到原來的n(n＞1)倍，且鋼梁保持水平，則彈簧秤讀數(shù)為______（用含n，k的代數(shù)式表示）.

圖10

例23（湖北·鄂州卷）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型.在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示，即21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……試推算 22022的個位數(shù)字是（ ）.

（A）8 （B）6 （C）4 （D）2答案：C.

命題分析：例22結(jié)合物理中的杠桿原理考查代數(shù)式的表示，考查用字母表示數(shù)的思想，側(cè)重考查學(xué)生的抽象能力、推理能力、模型觀念、應(yīng)用意識等.根據(jù)杠桿的平衡條件：動力×動力臂=阻力×阻力臂，計算得答案為.例23借助生物學(xué)細(xì)胞繁殖模型，考查有理數(shù)的乘方的相關(guān)知識點，側(cè)重考查學(xué)生的運算能力和應(yīng)用意識.利用已知得出數(shù)的個位數(shù)字的變化規(guī)律即可確定答案.情境類試題命制的目的在于培養(yǎng)學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識解釋跨學(xué)科或者生活中實際問題的能力.命制有品質(zhì)的情境類試題要提高情境的真實性、注重任務(wù)的過程性、增強(qiáng)成果的顯性化，命制試題答案時，最好能設(shè)置等級化的評分量表，凸顯過程性評價.

三、命題建議

評價既是教育質(zhì)量保障體系的重要方面，又是促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的重要方式.好的試卷會提供給教師正確的教學(xué)導(dǎo)向.“數(shù)與式”試題的命制既要關(guān)注知識，又要注重方法，要著重考查基礎(chǔ)知識和基本技能，強(qiáng)化算法、算理的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)區(qū)別；既要深化聯(lián)系，關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部整體構(gòu)建，又要考查生成，關(guān)注數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的養(yǎng)成；既要規(guī)范命題設(shè)問，盡量與教材編寫保持一致，又要關(guān)注人文情懷，促使評價導(dǎo)向立德樹人.

1.把握命題原則，凸顯素養(yǎng)導(dǎo)向

命制數(shù)學(xué)試題時要明確考查意圖，不僅要把握命題原則，更要滲透對核心素養(yǎng)表現(xiàn)的考查.通過創(chuàng)設(shè)合理的情境、設(shè)置合理的問題、制定科學(xué)的評分標(biāo)準(zhǔn)，實現(xiàn)對核心素養(yǎng)導(dǎo)向下義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量的全面考查.在“數(shù)與式”相關(guān)試題的命制過程中，借助真實有效的情境設(shè)置命題背景是值得推崇的.該類試題在情境中嵌入對知識點的考查，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，并將其抽象為數(shù)學(xué)問題，調(diào)用相關(guān)知識，用數(shù)學(xué)的思維思考解決問題的方案，進(jìn)而使用數(shù)學(xué)的語言規(guī)范表達(dá).例如，臺灣卷中以緩降機(jī)的設(shè)備操作圖作為試題背景，取材真實，考查有理數(shù)的運算，凸顯了對學(xué)生運算能力和應(yīng)用意識的考查.

2.關(guān)注《標(biāo)準(zhǔn)》要求，考查運算能力

《標(biāo)準(zhǔn)》中新增的“學(xué)業(yè)質(zhì)量”內(nèi)容，為中考命題提供了重要依據(jù).具體而言，要將《標(biāo)準(zhǔn)》中的內(nèi)容要求細(xì)化為可操作的目標(biāo)解析，進(jìn)而命制試題.例如，對于“數(shù)與式”的代數(shù)式內(nèi)容要求中的第5條——理解整式的概念，掌握合并同類項和去括號的法則，應(yīng)細(xì)化為：①了解單項式、多項式、整式的概念；②能指出單項式的次數(shù)和系數(shù)、多項式的次數(shù)和項，能把多項式按照降冪或升冪順序排列；③知道同類項的含義，知道合并同類項的依據(jù)是分配律，能熟練地合并同類項.中考試題注重考查基礎(chǔ)知識，命題時要以《標(biāo)準(zhǔn)》中的內(nèi)容為依據(jù)考查知識點.

因此，準(zhǔn)確理解和把握學(xué)業(yè)質(zhì)量的關(guān)鍵要素和核心要義，命制考查運算能力、抽象能力、模型觀念的試題，對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的落地具有重要意義.

3.加強(qiáng)邏輯論證，導(dǎo)向推理能力

《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)了代數(shù)推理，讓學(xué)生能體會代數(shù)運算中運算法則和運算律的一致性，感悟從一般到特殊的說理過程，類比數(shù)的運算感悟運算和運算律在代數(shù)式中普遍適用，在歸納中探索、發(fā)現(xiàn)、下定義、論證，滲透對學(xué)生推理能力的考查.命制含有邏輯論證的試題，有助于培養(yǎng)學(xué)生縝密的思維方式.推理活動包括從已有事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷出某種結(jié)論，也包括從已有事實和確定的規(guī)則出發(fā)，按照邏輯推理的法則進(jìn)行證明和計算（演繹推理）.在問題解決的過程中，兩種推理的功能不同，前者一般用于探索思路、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，這在運算法則、公式等探索的過程中經(jīng)常使用，而后者常用于證明結(jié)論.2022年中考河北卷、浙江嘉興卷中的“數(shù)與式”相關(guān)試題很好地體現(xiàn)了代數(shù)推理思想.

4.探索跨學(xué)科試題，發(fā)展問題解決能力

學(xué)科融合是當(dāng)前教育界關(guān)注的熱點話題.跨學(xué)科融合可以將不同領(lǐng)域的學(xué)科知識和技能的教、學(xué)、評進(jìn)行整合，不僅優(yōu)化了傳統(tǒng)的教學(xué)模式，將各學(xué)科零散的知識變成一個相互聯(lián)系的統(tǒng)一整體，而且更契合將學(xué)生培養(yǎng)成為“全面發(fā)展的人”的育人目標(biāo).

如何通過學(xué)科融合對學(xué)生所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行測評是值得思考和研究的，也是未來中考試題命制的方向之一.其中，要特別關(guān)注跨學(xué)科情境的科學(xué)性.2022年中考中就有很多“數(shù)與式”相關(guān)試題滲透了跨學(xué)科背景，如浙江舟山卷第15題融合科學(xué)中的杠桿原理考查代數(shù)式的表示，江西卷第4題融合科學(xué)中的有機(jī)物考查代數(shù)的規(guī)律，湖北鄂州卷第6題將細(xì)胞種群數(shù)量變化模型融合了數(shù)學(xué)和生物學(xué)兩個學(xué)科的內(nèi)容，臺灣卷第24題以日光燈管的發(fā)光效率融合科學(xué)學(xué)科考查學(xué)生的閱讀理解能力和有理數(shù)比較大小的知識點.命制試題時，也可以參考融合數(shù)學(xué)與醫(yī)學(xué)、天文學(xué)等領(lǐng)域知識，考查學(xué)生的綜合素養(yǎng).

四、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

1.重視提升運算能力和代數(shù)推理的訓(xùn)練

對于“數(shù)與式”部分而言，基礎(chǔ)知識是指學(xué)生學(xué)習(xí)過程中獲得的數(shù)學(xué)概念、原理和事實，是分析問題和解決問題的基本工具；基本技能是指學(xué)生學(xué)習(xí)過程中掌握的學(xué)習(xí)能力，包括代數(shù)中的列式計算、運算法則、運算律等，這些基本技能是進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和解決問題必不可少的基礎(chǔ).如果基礎(chǔ)知識和基本技能不達(dá)標(biāo)，將會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.例如，沒掌握運算法則導(dǎo)致數(shù)學(xué)運算結(jié)果錯誤；在代數(shù)推理證明過程中缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，導(dǎo)致證明問題時通常采取舉例子的方法.因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在厘清算理的基礎(chǔ)上，適當(dāng)加強(qiáng)運算技能的訓(xùn)練；在理解問題情境的基礎(chǔ)上，加強(qiáng)根據(jù)題意列式的訓(xùn)練；在歸納得出規(guī)律的基礎(chǔ)上，嘗試使用代數(shù)進(jìn)行推理論證，形成數(shù)學(xué)的邏輯思考.

2.滲透代數(shù)學(xué)習(xí)的一般觀念

一般觀念是具體內(nèi)容所在的知識領(lǐng)域的核心觀念，包括如何引用研究對象，怎樣通過抽象界定研究對象得到數(shù)學(xué)概念，用什么方法和思路研究問題等.在一般觀念的滲透中，要理解數(shù)學(xué)思想方法.思想方法讓學(xué)生學(xué)會分析問題，一般觀念讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，兩者融合，才能形成有層次性的學(xué)科思維.

在“數(shù)與式”部分，研究一個代數(shù)對象的一般觀念是：背景（現(xiàn)實或數(shù)學(xué)）—定義、表示—分類—性質(zhì)（圖象）—運算—聯(lián)系與應(yīng)用.學(xué)習(xí)每類代數(shù)對象時，都應(yīng)該遵循這種研究套路和研究思想，以便學(xué)生逐步掌握研究代數(shù)對象的“大概念”.該部分內(nèi)容涉及的數(shù)學(xué)思想主要是在引入新的對象時的數(shù)系擴(kuò)充思想，以及在字母表示數(shù)和代數(shù)式運算中的抽象能力和代數(shù)式計算中的轉(zhuǎn)化思想.用數(shù)學(xué)思想和一般觀念統(tǒng)領(lǐng)復(fù)習(xí)教學(xué)，可以促使學(xué)生獲得更高層次的認(rèn)知能力的發(fā)展.

3.關(guān)注運算的一致性

從運算意義的角度來看，所有運算都可以還原成加法，加法是所有運算的基礎(chǔ)；從運算算理的角度來看，分配律、交換律、結(jié)合律和等式的基本性質(zhì)是所有算理的基礎(chǔ)；從運算算法的角度來看，所有運算都可以還原成計數(shù)單位與計數(shù)單位的運算、計數(shù)單位上的數(shù)字與計數(shù)單位上的數(shù)字的運算.

抓住“數(shù)”與“運算”的一致性，就能夠撥開籠罩在數(shù)及其運算表面的層層面紗，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生建立起知識之間的聯(lián)系，體會知識的本源性、一致性和整體性.因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)過程中，教師要整體把握教學(xué)內(nèi)容，關(guān)注課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，引導(dǎo)學(xué)生體會知識之間的關(guān)聯(lián)，使學(xué)生從整體上掌握相關(guān)內(nèi)容，形成用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題的意識，實現(xiàn)知識與方法的遷移，更高效地達(dá)成復(fù)習(xí)目標(biāo)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

五、典型模擬題

1.下列運算結(jié)果為負(fù)數(shù)的是（ ）.

（A） (-3)×(-4 )（B） (-5)×3×(-1)

（C） (-2 021)×0 （D） (-4)×(-2)×(-5)

答案：D.

【評析】此題主要考查有理數(shù)的乘法法則.

2.據(jù)報道：中國為防控疫情做出的巨大努力有目共睹，受到了世衛(wèi)組織和國際權(quán)威公共衛(wèi)生專家的稱贊，其他一些國家也在尋求借鑒中國的經(jīng)驗和防控措施，截至9月17日報道前，境外累計確診病例約78 200 000人次.將78 200 000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（ ）.

（A） 7.82×106（B） 0.782×107

（C） 7.82×107（D） 782×106

答案：C.

【評析】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示.

3.如圖11，將一刻度尺放在數(shù)軸上（數(shù)軸1個單位長度是1 cm），刻度尺上0 cm對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)3，那么刻度尺上6.5 cm對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為（ ）.

圖11

（A）-2.5 （B）-3.5

（C）-6 （D）-6.5

答案：B.

【評析】此題考查的是數(shù)軸上的點.利用兩點間的距離，求得刻度尺上6.5 cm的點到原點的距離是6.5-3=3.5(c m)，對應(yīng)的數(shù)是-3.5.

（A）±4 （B）±2

（C）4 （D）2

答案：C.

【評析】此題考查二次根式的意義.二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，利用二次根式有意義的條件，得.進(jìn)而得y=32.所以

答案：3.

6.若4x2+3xy減去某個多項式的差是-4x2-3xy-5y2，那么這個多項式是____________.

答案：8x2+6xy+5y2.

【評析】此題主要考查整式的加減.

7.我們知道，同底數(shù)冪乘法法則為am·an=am+n（其中a≠0，m，n為正整數(shù)）.類似地，我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m，n的一種新運算：g(m+n)=g(m)·g(n)，若g(1)=-3，則g(2 020)·g(2 021)的值為_______.

答案：-34041.

【評析】此題考查同底數(shù)冪的乘法、有理數(shù)混合運算.由g(m+n)=g(m)·g(n)，推得g(2 020)·g(2 021)=g(4 041)=[g(1) ]4041=-34041.

8.下面是小穎同學(xué)進(jìn)行分式化簡的過程，試認(rèn)真閱讀并解答問題：

（1）以上化簡步驟中，小穎在第一步進(jìn)行了哪些運算或變形？試將正確答案的序號寫在橫線上_____；

A.分式通分

B.除法轉(zhuǎn)化為乘法

C.因式分解

D.分式約分

（2）第______步開始出現(xiàn)錯誤，試寫出正確的解答步驟和答案；

答案：（1） ABC；

（2）二，解答步驟和答案如下.

【評析】此題考查因式分解、分式的運算等內(nèi)容.

9.如圖12，“英寸”是電視機(jī)常用尺寸，1英寸約為大拇指第一節(jié)的長，則7英寸長相當(dāng)于（ ）.

圖12

（A）一支粉筆的長度

（B）課桌的長度

（C）乒乓球桌的寬度

（D）數(shù)學(xué)課本的寬度

答案：D.

【評析】此題考查了數(shù)學(xué)常識，以及基本的計算能力和估算的能力.1英寸約為大拇指第一節(jié)的長，7英寸長是它的7倍，相當(dāng)于數(shù)學(xué)課本的寬度.

10.《商品房銷售面積計算及公用建筑面積分?jǐn)傄?guī)則》中規(guī)定：商品房按“套”或“單元”出售時，商品房的銷售面積為購房者所購買的套內(nèi)或單元內(nèi)建筑面積與應(yīng)該分?jǐn)偟墓媒ㄖ娣e（以下簡稱“公攤面積”）之和，即“銷售面積=套內(nèi)建筑面積+公攤面積”.房屋公攤面積及分?jǐn)傁禂?shù)直接關(guān)系到購房者的利益.其中，.

某地區(qū)出售A，B兩種商品房：A商品房的銷售面積為120平方米，分?jǐn)傁禂?shù)為； B商品房的銷售面積比A住房大，公攤面積也有所增加.

（1） A商品房的公攤面積為_______；

（2）某銷售人員稱“B商品房較A商品房增加的公攤面積僅是增加的套內(nèi)建筑面積的一半，因此B商品房的分?jǐn)傁禂?shù)更小”，試判斷該銷售人員的言論是否可信，并說明理由.

答案：（1）20平方米；

（2）設(shè)B商品房較A商品房所增加的公攤面積為a，則增加的套內(nèi)建筑面積為2a.因為B商品房的分?jǐn)傁禂?shù)為，所以B商品房的分?jǐn)傁禂?shù)大于A商品房的分?jǐn)傁禂?shù).所以該銷售人員的言論不可信.

【評析】此題主要考查列代數(shù)式及不等式的性質(zhì).