樹工具意識(shí) 重實(shí)際應(yīng)用
——2022年中考“方程與不等式”專題命題分析

陳中峰，蔡世英

（福建省普通教育教學(xué)研究室；福建省晉江市養(yǎng)正中學(xué)）

方程與不等式揭示了數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，是一類應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具.2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”試題的考查以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）為導(dǎo)向，遵循基礎(chǔ)教育課程改革的基本理念和精神，更加注重強(qiáng)化方程與不等式的工具特征，凸顯應(yīng)用意識(shí)，滲透轉(zhuǎn)化思想，注重創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)展思維能力，關(guān)注構(gòu)建模型，演繹算法算理，在知識(shí)的結(jié)構(gòu)體系中起著承前啟后的重要作用.在關(guān)注方程與不等式作為解題工具的同時(shí)，也重視滲透古代數(shù)學(xué)文化教育，既體現(xiàn)數(shù)學(xué)的智育教育功能，又體現(xiàn)數(shù)學(xué)的德育功能，真正做到“五育”并舉，落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，對(duì)于幫助一線教師命制相關(guān)試題具有重要的參考價(jià)值.本文圍繞方程與不等式內(nèi)容，摘選了2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”部分試題進(jìn)行分析，著重從用方程與不等式表達(dá)數(shù)量關(guān)系、確立工具意識(shí)、滲透數(shù)學(xué)方法、挖掘古代文化、體現(xiàn)教育價(jià)值等方面，針對(duì)典型試題進(jìn)行命題特點(diǎn)剖析，以饗讀者.

一、考查內(nèi)容分析

《標(biāo)準(zhǔn)》中將“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的課程內(nèi)容分為三個(gè)部分：數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù).方程與不等式揭示了數(shù)學(xué)中最基本的相等和不等的數(shù)量關(guān)系.方程與不等式內(nèi)容的學(xué)習(xí)目標(biāo)主要有兩個(gè)方面：一是會(huì)解方程（組）和不等式（組）；二是會(huì)用方程和不等式解決實(shí)際問題.

通過對(duì)2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”試題的分析，發(fā)現(xiàn)各地的“方程與不等式”試題大多數(shù)都能從不同的視角、不同的方向?qū)Ψ匠蹋ńM）和不等式（組）進(jìn)行比較全面及系統(tǒng)的考查.大部分試題都是通過問題中的數(shù)量關(guān)系，用含字母的代數(shù)式先表達(dá)相關(guān)量，再通過等量或不等量建立關(guān)系，從而建立方程或不等式模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的考查；通過方程（組）和不等式（組）的解法，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力和應(yīng)用意識(shí)的考查；通過創(chuàng)設(shè)實(shí)際應(yīng)用的問題情境，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生運(yùn)用方程與不等式進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的模型觀念的考查；通過綜合性問題，展示方程與不等式在研究函數(shù)及幾何圖形方面也是不可或缺的媒介，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的考查.2022年全國(guó)部分地區(qū)中考“方程與不等式”專題的考查情況見表1.

表1 2022年全國(guó)部分地區(qū)中考“方程與不等式”專題考查情況統(tǒng)計(jì)表

從題型、題量上看，方程與不等式作為初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，相關(guān)試題的考查題型比較全面，多數(shù)試卷中設(shè)計(jì)2～5道題目.其中，山西卷與往年一樣，對(duì)方程與不等式內(nèi)容的考查比較重視，涉及方程與不等式相關(guān)內(nèi)容的試題最多，達(dá)5道題之多，最少的是只有2道題的陜西A卷及湖北黃岡卷.大部分試卷對(duì)于方程與不等式內(nèi)容的考查均至少分布在兩種題型上，即選擇題、填空題與解答題，或填空題與解答題，或選擇題與解答題.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中考查方程與不等式的試題分值平均占全卷的13%，所占的分值比例適中.本部分內(nèi)容占全卷分值比例較大的是山西卷，占21.7%；其次是廣東卷，占16.7%；再次是海南卷、黑龍江哈爾濱卷，均占15.8%.其中，單獨(dú)考查方程與不等式內(nèi)容的試題，容易統(tǒng)計(jì)考查分值，但多數(shù)試題都是與其他知識(shí)交會(huì)考查，在交會(huì)中相互融合，起到工具性作用，故以上統(tǒng)計(jì)分值占全卷比例的數(shù)據(jù)僅供參考.

從考點(diǎn)分布上看，對(duì)方程與不等式單獨(dú)考查的內(nèi)容主要有一元一次方程的解法、一元一次方程的應(yīng)用、（含參數(shù)）二元一次方程組的解法、二元一次方程（組）的應(yīng)用、不等式的表示、一元一次不等式（組）的解法、一元一次不等式的應(yīng)用、分式方程的解法、分式方程的應(yīng)用、一元二次方程的解法、一元二次方程根的判別式、一元二次方程的應(yīng)用等.

從考查形式上看，方程與不等式的考查分布在選擇題、填空題或解答題中.在解答題中，單純考查方程（組）或不等式（組）解法的試題一般只有1～2道，也有的不單純考查方程（組）或不等式（組）的解法，如重慶A卷、湖北黃岡卷、吉林卷；在綜合考查方面，一般是將一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程（組）、分式方程、一元一次不等式（組）等知識(shí)點(diǎn)與其他知識(shí)點(diǎn)融合考查.在考查方程與不等式內(nèi)容與其他知識(shí)交會(huì)的試題中，涉及交錯(cuò)融合的知識(shí)點(diǎn)幾乎覆蓋了初中數(shù)學(xué)的各個(gè)章節(jié).在解答題中，主要是與函數(shù)、數(shù)式運(yùn)算、圖形的性質(zhì)及運(yùn)動(dòng)變化等內(nèi)容相結(jié)合，基本上是壓軸題，且具有一定的難度.

從以上統(tǒng)計(jì)分析中，不難看出2022年全國(guó)各地區(qū)中考方程與不等式內(nèi)容考查的題型、題量、考點(diǎn)分布、考查形式、難易程度基本上保持相對(duì)穩(wěn)定，與歷年一樣涉及多種題型.從試題難易程度上看，容易題、中檔題及難題均有涉及，大部分以容易題為主.在知識(shí)交會(huì)處命題體現(xiàn)了方程與不等式的基礎(chǔ)性、工具性和應(yīng)用性，又適度體現(xiàn)了創(chuàng)新性，不同難度的試題也很好地考查了不同層次學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).

二、命題特點(diǎn)分析

1.立足課程標(biāo)準(zhǔn)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性

（1）考查數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)定義.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：通過經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展，數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系.利用根的意義逆向求方程的系數(shù)是常見的考查形式.

例1（廣東卷）若x=1是方程x2-2x+a=0的根，則a的值為_____.

答案：1.

考查目標(biāo)：此題主要考查一元二次方程根的意義及一元一次方程的解法.

命題意圖：以含參數(shù)的一元二次方程為載體，要求利用方程的根的意義進(jìn)行解題是常見的命題立意，只需緊緊抓住根的意義進(jìn)行解題即可.此題滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的抽象能力和運(yùn)算能力.

命題評(píng)價(jià)：此題屬于容易題，對(duì)于學(xué)生而言，是一道必須得分的試題.其實(shí)質(zhì)是知道方程的根，逆向求方程的相關(guān)系數(shù)，是一道考查逆向思維的試題，符合《標(biāo)準(zhǔn)》中提出的“理解方程解的意義”的要求.

（2）考查基本應(yīng)用能力.

利用一元二次方程根的判別式，可以判斷方程根的情況，此判斷過程可逆，是必備的能力基礎(chǔ).根的判別式不僅可以判斷一元二次方程根的情況，還可以判斷二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況，以及二次多項(xiàng)式能否在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，在中考總復(fù)習(xí)中具有承上啟下的重要作用.

例2（北京卷）若關(guān)于x的一元二次方程x2+x+m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）.

（A）-4 （B）（C）（D） 4

答案：C.

考查目標(biāo)：此題主要考查一元二次方程根的判別式及一元一次方程的解法等核心知識(shí)點(diǎn).

命題意圖：此題從含參數(shù)的一元二次方程獲得系數(shù)，通過根的判別式得到關(guān)于m的一元一次方程，進(jìn)而求解，體現(xiàn)了逆向思維的考查理念，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的抽象能力和運(yùn)算能力.

命題評(píng)價(jià)：由根的判別式判斷含參系數(shù)的一元二次方程根的情況是常見的考查重點(diǎn)，符合《標(biāo)準(zhǔn)》中“會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根及兩個(gè)實(shí)根是否相等，會(huì)將一元二次方程根的情況與一元二次方程根的判別式相聯(lián)系”的基本要求.類似的試題還有湖北隨州卷第18題、江西卷第9題和河南卷第6題等.

2.適度交會(huì)，體現(xiàn)綜合性

單獨(dú)考查方程與不等式內(nèi)容的試題大部分以簡(jiǎn)單的選擇題、填空題或解答題為主，難度不大，但將該部分內(nèi)容與其他知識(shí)深度融合綜合性較強(qiáng)、能體現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的試題，要么安排在選擇題或填空題的壓軸題或次壓軸題的位置上，要么與一次函數(shù)、二次函數(shù)或幾何知識(shí)等相結(jié)合，安排在解答題壓軸題或次壓軸題的位置，難度一般比較大.

例3（重慶A卷）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x≤-2，且關(guān)于y的分式方程的解是負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）.

（A）-26 （B）-24 （C）-15 （D）-13

答案：D.

考查目標(biāo)：此題主要考查不等式組的解集，分式方程的特殊解、增根等數(shù)學(xué)核心知識(shí).

命題意圖：此題以重組知識(shí)點(diǎn)的形式進(jìn)行知識(shí)交會(huì)，對(duì)不等式組及分式方程的內(nèi)容進(jìn)行綜合考查，要求學(xué)生熟練掌握不等式組的解法、分式方程的解法，能確定特殊解并注意增根的情況.此題命題立意明確，考查了思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和綜合性，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力和模型觀念.

命題評(píng)價(jià)：將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行重組，設(shè)計(jì)出新穎的試題是常見的命題走向.綜合性試題的命制常以某個(gè)參數(shù)為溝通紐帶，通過設(shè)計(jì)與該參數(shù)相關(guān)的范圍，取其公共部分，即為所求參數(shù)的值或范圍.在中考總復(fù)習(xí)中要加強(qiáng)綜合性試題的訓(xùn)練，注重思維的拓展性、綜合性和嚴(yán)謹(jǐn)性.2021年中考重慶A卷中也出現(xiàn)了類似的綜合性考法.

例4（山西卷）閱讀與思考.

下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)小論文，仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù).

任務(wù)：（1）上面小論文中的分析過程，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是_____（從下面選項(xiàng)中選出兩個(gè)即可）.

（A）數(shù)形結(jié)合 （B）統(tǒng)計(jì)思想

（C）分類討論 （D）轉(zhuǎn)化思想

（2）試參照小論文中當(dāng)a＞0時(shí)①②的分析過程，寫出③中當(dāng)a＞0，Δ＜0時(shí)，一元二次方程根的情況的分析過程，并畫出相應(yīng)的示意圖.

（3）實(shí)際上，除一元二次方程外，初中數(shù)學(xué)還有一些知識(shí)也可以用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí).例如，可用函數(shù)觀點(diǎn)來認(rèn)識(shí)一元一次方程的解.試再舉出一例為__________.

答案：（1）AC（答案不唯一）；

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線開口向上.

當(dāng)Δ=b2-4ac＜0時(shí)，有4ac-b2＞0.

因?yàn)閍＞0，所以頂點(diǎn)縱坐標(biāo).

所以頂點(diǎn)在x軸的上方，拋物線與x軸無交點(diǎn)（圖略）.

所以一元二次方程ax2+bx+c=0( )a≠0無實(shí)數(shù)根.

（3）可用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)二元一次方程組的解.（答案不唯一.）

考查目標(biāo)：此題主要考查二次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)和一元二次方程的根之間的關(guān)系.

命題意圖：此題以學(xué)生論文為載體，以閱讀材料為背景，融合選擇題、填空題、解答題于一體，且選擇題是多選題.此題設(shè)問多樣，呈現(xiàn)方式獨(dú)特，通過對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行重組命制出新穎試題，較好地實(shí)現(xiàn)了考查目標(biāo)，滲透了數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，考查了學(xué)生的抽象能力、幾何直觀和應(yīng)用意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：此題綜合考查了一元二次方程與二次函數(shù)等相關(guān)知識(shí).在初中階段，四個(gè)“二次”非常重要，即一元二次方程、二次函數(shù)、二次多項(xiàng)式及一元二次不等式.在這四個(gè)“二次”中，二次函數(shù)是溝通其他三個(gè)知識(shí)點(diǎn)的重要橋梁，也是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備知識(shí)，在中考總復(fù)習(xí)中要特別關(guān)注這一點(diǎn).類似地，湖北武漢卷第15題也是類似的考法.

3.注重應(yīng)用，體現(xiàn)工具性

（1）體現(xiàn)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的工具性.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：通過經(jīng)歷用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程，學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的交流方式；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元一次不等式，解決簡(jiǎn)單的問題.這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的工具性.

例5（浙江·杭州卷）某體育比賽的門票分A票和B票兩種，A票每張x元，B票每張y元.已知10張A票的總價(jià)與19張B票的總價(jià)相差320元，則（ ）.

（C） |10x-19y|=320 （D） |19x-10y|=320

答案：C.

考查目標(biāo)：此題主要考查二元一次方程的應(yīng)用.

命題意圖：此題中先設(shè)置未知數(shù)，然后要求列出方程，解題時(shí)需要注意理解試題中的關(guān)鍵術(shù)語(yǔ)“相差”，在不分類討論的前提下，應(yīng)加上絕對(duì)值符號(hào)列方程，即 |10x-19y|=320，滲透了分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查學(xué)生的抽象能力.

命題評(píng)價(jià)：由于試題中關(guān)鍵詞存在歧義，隱含著分類與整合的數(shù)學(xué)思想，通過加上絕對(duì)值符號(hào)，巧妙地進(jìn)行整合.此題考查了含絕對(duì)值的二元一次方程，考查內(nèi)容獨(dú)特，啟示教師在課堂教學(xué)中要注意對(duì)基本概念及關(guān)鍵詞的教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)思想，夯實(shí)學(xué)科基礎(chǔ)知識(shí).

（2）體現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的工具性.

方程與不等式作為解決數(shù)學(xué)問題的基本工具，常常體現(xiàn)在直接考查解方程（組）或不等式（組），基本是每年中考的必考題.單純考查解法的方程與不等式試題，一般放在選擇題、填空題、解答題的前面部分，與其他知識(shí)點(diǎn)綜合考查時(shí)相對(duì)較難，多作為壓軸題出現(xiàn).

例6（湖南·株洲卷）對(duì)于二元一次方程組將①式代入②式，消去y可以得到（ ）.

（A）x+2x-1=7 （B）x+2x-2=7

（C）x+x-1=7 （D）x+2x+2=7

答案：B.

考查目標(biāo)：此題主要考查二元一次方程組的解法.

命題意圖：此題以選擇題的形式呈現(xiàn)代入消元法的解題過程，體現(xiàn)了“消元”思想，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的抽象能力和運(yùn)算能力.

命題評(píng)價(jià)：解多元方程組的思想是“消元”，解高次方程的思想是“降次”.《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)本部分內(nèi)容的要求是：能根據(jù)二元一次方程組的特征，選擇代入消元法或加減消元法解二元一次方程組.類似地，上海卷第9題中解二元二次方程組可用整體代入降次，然后重新組合成二元一次方程組進(jìn)行求解，也可以直接用代入消元法求解，體現(xiàn)了“降次”及“消元”的解題思想.

（3）體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用的工具性.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：設(shè)立跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)科間相互關(guān)聯(lián)，帶動(dòng)課程綜合化實(shí)施，強(qiáng)化實(shí)踐性要求.數(shù)學(xué)作為解決問題的工具在自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.2022年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試題的命制注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的考查，加大了創(chuàng)新力度，出現(xiàn)了一些跨學(xué)科考查的試題，較好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)問題中的工具性作用.

例7（河南卷）呼氣式酒精測(cè)試儀中裝有酒精氣體傳感器，可用于檢測(cè)駕駛員是否酒后駕車.酒精氣體傳感器是一種氣敏電阻（圖3中的R1），R1的阻值隨呼氣酒精濃度K的變化而變化（如圖4），血液酒精濃度M與呼氣酒精濃度K的關(guān)系見圖5.下列說法不正確的是（ ）.

圖3

圖4

圖5

（A）呼氣酒精濃度K越大，R1的阻值越小

（B）當(dāng)K=0時(shí)，R1的阻值為100

（C）當(dāng)K=10時(shí)，該駕駛員為非酒駕狀態(tài)

（D）當(dāng)R1=20時(shí)，該駕駛員為醉駕狀態(tài)

答案：C.

考查目標(biāo)：此題主要考查函數(shù)的圖象及對(duì)不等式的認(rèn)識(shí).

命題意圖：此題以跨學(xué)科知識(shí)為背景，以檢測(cè)是否酒駕的酒精氣體傳感器的工作原理為載體，命制跨學(xué)科試題.解題時(shí)需要認(rèn)真理解題意，厘清圖表之間的關(guān)系，突破難點(diǎn).此題考查了跨學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力、幾何直觀和應(yīng)用意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》（以下簡(jiǎn)稱《意見》）中指出，要在發(fā)揮各學(xué)科獨(dú)特育人功能的基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮學(xué)科間綜合育人功能，開展跨學(xué)科主題教育教學(xué)活動(dòng)，將相關(guān)學(xué)科的教育內(nèi)容有機(jī)整合，提高學(xué)生綜合分析問題、解決問題的能力.命制跨學(xué)科試題，要求命題者要清楚學(xué)科知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，并且注意結(jié)合實(shí)際生活應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

4.合理設(shè)計(jì)，體現(xiàn)思想性

（1）巧設(shè)結(jié)構(gòu)特征，滲透整體思想.

整體思想是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理.命制有關(guān)方程與不等式試題時(shí)，經(jīng)常會(huì)借助問題的結(jié)構(gòu)特征，滲透整體思想.

例8（江蘇·蘇州卷）已知3x2-2x-3=0，求的值.

答案：3.

考查目標(biāo)：此題考查解一元二次方程及求代數(shù)式的值.

命題意圖：此題以一元二次方程為已知條件，編制需要先解方程再求值的假象，其實(shí)是需要先對(duì)方程進(jìn)行變形，然后運(yùn)用整體思想代入所求的代數(shù)式，達(dá)到化繁為簡(jiǎn)的效果，彰顯了整體思想的優(yōu)越性，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力、抽象能力和模型觀念.

命題評(píng)價(jià)：命題離不開數(shù)學(xué)思想，思想是命題的靈魂.運(yùn)用整體代入法求代數(shù)式的值是常見的考查重點(diǎn).此題中，以方程為條件再求代數(shù)式的值能夠凸顯方程與所求代數(shù)式的值之間的相關(guān)性與融合性，體現(xiàn)了靈活運(yùn)用整體思想解題的命題意圖.在初中階段，運(yùn)用整體思想編擬試題是常見的考查形式.這類試題往往無需直接求解，只需運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題.類似地，考查整體思想的試題還有北京卷第19題、湖北隨州卷第13題等.

（2）關(guān)注數(shù)形結(jié)合，體現(xiàn)直觀觀念.

數(shù)形結(jié)合是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀圖形、抽象思維與形象思維結(jié)合起來，通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學(xué)問題.二元一次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象是直線，二元一次方程組的解是兩條直線的交點(diǎn)，這充分體現(xiàn)了數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

例9（陜西A卷）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+4與y=2x+m相交于點(diǎn)P(3，n)，則關(guān)于x，y的方程組的解為（ ）.

答案：C.

考查目標(biāo)：此題主要考查一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)和二元一次方程組的解之間的關(guān)系.

命題意圖：此題設(shè)計(jì)較有新意，以求含參數(shù)二元一次方程組的解為背景，通過數(shù)形結(jié)合（如圖6）可知交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組的解，體現(xiàn)了數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，滲透了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力與空間觀念.

圖6

命題評(píng)價(jià)：求含參數(shù)二元一次方程組的解看似是難題，實(shí)際上，只要抓住直線交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解的關(guān)系，無需畫出圖形，直接觀察各選項(xiàng)的橫坐標(biāo)即可確定答案.數(shù)形結(jié)合是把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維相結(jié)合，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化、抽象問題具體化，從而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化解題途徑的目的.

（3）借助數(shù)學(xué)建模，體現(xiàn)模型觀念.

《標(biāo)準(zhǔn)》指出：知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過程，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義.數(shù)學(xué)建模與我們的生活息息相關(guān)，方程與不等式最能體現(xiàn)由實(shí)際模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的工具性.

例10（湖北·黃岡卷）某班去革命老區(qū)研學(xué)旅行，研學(xué)基地有甲、乙兩種快餐可供選擇，買1份甲種快餐和2份乙種快餐共需70元，買2份甲種快餐和3份乙種快餐共需120元.

（1）買1份甲種快餐和1份乙種快餐各需多少元？

（2）已知該班共買55份甲乙兩種快餐，所花快餐費(fèi)不超過1 280元，問至少買乙種快餐多少份？

答案：（1）購(gòu)買1份甲種快餐需要30元，購(gòu)買1份乙種快餐需要20元；

（2）至少買乙種快餐37份.

考查目標(biāo)：此題考查二元一次方程組的應(yīng)用及一元一次不等式的應(yīng)用.

命題意圖：此題以在旅行研學(xué)基地選擇快餐為背景命制試題，以學(xué)生身邊熟悉的事例命題，體現(xiàn)了試題的公平性，以便學(xué)生盡快弄清題意，減輕理解壓力.這也是列方程（組）或不等式（組）解應(yīng)用題的常見考查形式，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想，考查了學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力、模型觀念和應(yīng)用意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：列二元一次方程組或一元一次不等式解應(yīng)用題，體現(xiàn)了方程（組）或不等式（組）的工具性作用，凸顯其在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值.在2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中，此類考法出現(xiàn)的頻率很高.中考總復(fù)習(xí)中，不僅要關(guān)注解方程（組）或不等式（組）的算法和算理，還要注重與生活實(shí)際相結(jié)合，體會(huì)列方程（組）或不等式（組）在解決問題方面的工具性和重要性.增強(qiáng)模型觀念及滲透轉(zhuǎn)化意識(shí)，有助于開展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性.類似的試題還有安徽卷第17題等.

5.重視思維，體現(xiàn)創(chuàng)新性

《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》明確提出，構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對(duì)固化的試題形式，增強(qiáng)試題的開放性，加強(qiáng)對(duì)關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)的考查，減少死記硬背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象.2022年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中，“方程與不等式”專題的命制加大了創(chuàng)新力度，重視思維，靈活性強(qiáng)，所涉及的設(shè)計(jì)科學(xué)且有創(chuàng)新的試題有十幾道題之多，特別是對(duì)新知識(shí)及新方法的交會(huì)融合考查，對(duì)于考查學(xué)生應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法、獨(dú)立思考、探索和研究、分析問題和解決問題能力很有效果.

創(chuàng)新性試題可以是試題形式、結(jié)構(gòu)的創(chuàng)新，也可以是知識(shí)點(diǎn)重組的創(chuàng)新等，但都要體現(xiàn)創(chuàng)新思維的科學(xué)性和合理性.

例11（湖南·湘潭卷）（多選）若a＞b，則下列四個(gè)選項(xiàng)中一定成立的是（ ）.

（A）a+2＞b+2 （B）-3a＞-3b

（D）a-1＜b-1

答案：AC.

考查目標(biāo)：此題主要考查不等式的性質(zhì).

命題意圖：此題以多選題作為試題的呈現(xiàn)形式，屬于試題形式（選擇題）和結(jié)構(gòu)（多選題）的創(chuàng)新，以不等式的性質(zhì)作為命題的考查要點(diǎn)，考查算法、算理及思維的發(fā)散性.根據(jù)不等式的性質(zhì)不難得出此題的答案，滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的抽象能力、推理能力和創(chuàng)新意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：在選擇題中設(shè)置多選題，讓人眼前一亮，考查了思維的開放性和嚴(yán)謹(jǐn)性.在2022年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中，多項(xiàng)選擇題實(shí)不多見，在今后的中考總復(fù)習(xí)教學(xué)中，應(yīng)特別加以關(guān)注，并有意識(shí)地進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練.

定義新運(yùn)算是指用一個(gè)符號(hào)和已知運(yùn)算表達(dá)式表示一種新的運(yùn)算.定義新運(yùn)算是一種特別設(shè)計(jì)的計(jì)算形式，它使用一些特殊的運(yùn)算符號(hào)，在沒有轉(zhuǎn)化前，是不適合于各種運(yùn)算的，其實(shí)質(zhì)是給出了一種變換規(guī)則，以此考查學(xué)生的思維應(yīng)變能力和運(yùn)算能力.

例12（浙江·寧波卷）定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)a，b，.若，則x的值為______.

考查目標(biāo)：此題主要考查新定義下分式方程的解法.

命題意圖：此題以定義新運(yùn)算為載體，屬于引入新定義重組知識(shí)點(diǎn)的創(chuàng)新，考查對(duì)新定義運(yùn)算規(guī)則的理解，要求領(lǐng)會(huì)其中的算法和算理，突破思維障礙列出分式方程進(jìn)行求解，體現(xiàn)了分式方程的工具性，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的抽象能力、運(yùn)算能力和模型觀念.

命題評(píng)價(jià)：此題將分式方程融入新定義中，要求能根據(jù)新定義轉(zhuǎn)化為分式方程，這是考查新定義題型的常見形式.解答新定義運(yùn)算類試題，關(guān)鍵是正確地理解新定義運(yùn)算的定義或規(guī)則，然后嚴(yán)格按照新定義運(yùn)算的規(guī)則，將其轉(zhuǎn)化為常規(guī)的運(yùn)算關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.在一份試卷中設(shè)置新定義題型，能提升試卷的新鮮感.2022年全國(guó)各地區(qū)中考數(shù)學(xué)試卷中的“方程與不等式”試題深入考查關(guān)鍵能力，通過擴(kuò)大選材范圍和材料類型，精心設(shè)計(jì)試題，提高考查學(xué)生高階思維能力試題的比例，進(jìn)一步強(qiáng)化了對(duì)學(xué)生閱讀理解能力的考查.在中考總復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要特別加強(qiáng)對(duì)學(xué)生這方面的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生感悟新定義試題的考查意圖，提升解題的應(yīng)變能力.類似地，2020年中考北京卷第28題的新定義是“平移距離”，涉及了“平移”這一幾何變換；2021年中考北京卷第28題的新定義是“關(guān)聯(lián)線段”，涉及了“旋轉(zhuǎn)”這一幾何變換；2022年中考北京卷第28題的新定義是“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”，同時(shí)涉及了“平移”和“中心對(duì)稱”.

6.聚焦時(shí)政熱點(diǎn)，體現(xiàn)價(jià)值引領(lǐng)

《意見》中指出，全面落實(shí)以學(xué)生為本的教育理念，各地要組織開展育人思想和方法研討活動(dòng)，將教育教學(xué)的行為統(tǒng)一到育人目標(biāo)上來.數(shù)學(xué)教育不僅要聚焦時(shí)政熱點(diǎn)教育，體現(xiàn)價(jià)值引領(lǐng)導(dǎo)向，還要承載落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，實(shí)施素質(zhì)教育的功能.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性.方程與不等式作為解題及實(shí)際應(yīng)用的工具，能很好地體現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn).

例13（云南卷）某地開展建設(shè)綠色家園活動(dòng)，活動(dòng)期間，計(jì)劃每天種植相同數(shù)量的樹木.該活動(dòng)開始后，實(shí)際每天比原計(jì)劃每天多植樹50棵，實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹300棵所需時(shí)間相同.設(shè)實(shí)際每天植樹x棵，則下列方程正確的是（ ）.

答案：B.

考查目標(biāo)：此題主要考查分式方程的應(yīng)用.

命題意圖：此題以建設(shè)綠色家園活動(dòng)為背景，考查列分式方程解應(yīng)用題.通過設(shè)未知數(shù)，要求能先表達(dá)出工作效率，再根據(jù)等量關(guān)系“實(shí)際植樹400棵所需時(shí)間與原計(jì)劃植樹300棵所需時(shí)間相同”列出方程，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的抽象能力和模型觀念.

命題評(píng)價(jià)：通過設(shè)置具有生活情境的問題，借助合適的方程（組）或不等式（組）解決問題是常見的考查形式.此題設(shè)計(jì)思路清晰，實(shí)現(xiàn)從實(shí)際問題到數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，反映了分式方程是解決問題的重要工具.以建設(shè)綠色家園活動(dòng)為背景，聚焦時(shí)政熱點(diǎn)，滲透環(huán)保、愛國(guó)、愛家的德育教育理念，是進(jìn)行立德樹人的重要舉措.類似的試題還有江西卷第10題等.

例14（湖南·婁底卷）“綠水青山就是金山銀山”.科學(xué)研究表明：樹葉在光合作用后產(chǎn)生的分泌物能夠吸附空氣中的懸浮顆粒物，具有滯塵凈化空氣的作用.已知一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量比一片國(guó)槐樹葉一年的平均滯塵量的2倍少4 mg，若一片國(guó)槐樹葉與一片銀杏樹葉一年的平均滯塵總量為62 mg.

（1）試分別求出一片國(guó)槐樹葉和一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量；

（2）婁底市雙峰縣九峰山森林公園某處有始于唐代的三棵銀杏樹，據(jù)估計(jì)三棵銀杏樹共有約50 000片樹葉.問這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約多少千克？

答案：（1）一片銀杏樹葉一年的平均滯塵量為40 mg，一片國(guó)槐樹葉一年的平均滯塵量為22 mg；

（2）這三棵銀杏樹一年的平均滯塵總量約2千克.

考查目標(biāo)：此題主要考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn).

命題意圖：此題以科學(xué)研究數(shù)據(jù)為載體，第（1）小題要求能從題意中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)相等關(guān)系，進(jìn)而列出方程組，最后求得答案解決問題；第（2）小題屬于純算術(shù)問題，這里不再贅述.第（1）小題設(shè)置兩個(gè)問題，從問題情境中找出兩個(gè)相等關(guān)系尤為重要，容易聯(lián)想到列二元一次方程組解決問題，體現(xiàn)了二元一次方程組的工具性.以“綠水青山就是金山銀山”為開篇詞，暗示要增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，滲透了德育教育理念，體現(xiàn)了價(jià)值引領(lǐng)，立意清晰，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的模型觀念、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：列方程（組）解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題是常見的命題形式.此題以科研數(shù)據(jù)為背景，結(jié)合生活實(shí)際命制試題，解題的方法除了列二元一次方程組外，還可以列一元一次方程，體現(xiàn)了靈活設(shè)元解決問題的多向思維考查方式.類似的試題還有海南卷第18題、安徽卷第17題.

7.發(fā)掘傳統(tǒng)文化，提升自信力

2022年全國(guó)各地區(qū)中考試卷中“方程與不等式”試題的命制充分發(fā)揮了學(xué)科特點(diǎn)，選材注重體現(xiàn)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化精髓，試題設(shè)問既引導(dǎo)學(xué)生在深刻理解其內(nèi)涵基礎(chǔ)上借鑒古人智慧、汲取精神力量、樹立文化自信，又引導(dǎo)學(xué)生立足當(dāng)下現(xiàn)實(shí)、融通古今資源、面向未來創(chuàng)新，符合《標(biāo)準(zhǔn)》提出的“傳播數(shù)學(xué)中的中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”的指導(dǎo)精神.

例15（湖北·武漢卷）幻方是古老的數(shù)學(xué)問題，我國(guó)古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格.將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如，圖7就是一個(gè)幻方.圖8是一個(gè)未完成的幻方，則x與y的和是（ ）.

圖7

圖8

（A）9 （B）10 （C）11 （D）12

答案：D.

考查目標(biāo)：此題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用.

命題意圖：此題以幻方為載體，通過在幻方中設(shè)置“求兩個(gè)位置上的缺失數(shù)之和”作為問題指向.幻方中存在橫向、豎向、斜向三種等量關(guān)系，通過隱藏其中的某些數(shù)據(jù)作為命題創(chuàng)意入口，是列方程解應(yīng)用題的另一種考查形式.利用幻方作為考查背景，凸顯了列方程組的工具作用，具有數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活的現(xiàn)實(shí)意義，體現(xiàn)了傳統(tǒng)文化良好的融合性和創(chuàng)新性.此題中，根據(jù)“每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等”，先求出最左下角的數(shù)為6+20-22=4，再分別表示出最中間的數(shù)為x+2或x-y+4，最右下角的數(shù)為24-x或x-y+6，列出二元一次方程組即可求解.此題滲透了轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：以趣味幻方為背景傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，實(shí)質(zhì)是考查二元一次方程組的應(yīng)用，其中滲透了愛國(guó)主義教育，具有傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的德育功能，體現(xiàn)了“五育”并舉及立德樹人的基本理念，是一道設(shè)計(jì)上較有創(chuàng)意的試題.從近幾年的中考試題來看，設(shè)計(jì)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化試題是每份中考試卷的“?？汀?，試題設(shè)計(jì)推陳出新，百花齊放，頗有特色，意在文化熏陶，旨在愛國(guó)愛家，構(gòu)建社會(huì)主義核心價(jià)值觀.類似的試題還有吉林卷第10題等.

例16（河北卷）“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖9，按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出.然后往船上抬入20塊等重的條形石，并在船上留3個(gè)搬運(yùn)工，這時(shí)水位恰好到達(dá)標(biāo)記位置.如果再抬入1塊同樣的條形石，船上只留1個(gè)搬運(yùn)工，水位也恰好到達(dá)標(biāo)記位置.已知搬運(yùn)工體重均為120斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則正確的是（ ）.

圖9

（A）依題意3×120=x-120

（B）依題意20x+3×120=(2 0+1)x+120

（C）該象的重量是5 040斤

（D）每塊條形石的重量是260斤

答案：B.

考查目標(biāo)：此題主要考查一元一次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

命題意圖：通過古代民間勵(lì)志故事創(chuàng)設(shè)問題情境，在預(yù)設(shè)未知數(shù)的前提下，通過設(shè)置四個(gè)選擇支，讓學(xué)生自行判斷結(jié)論是否正確，創(chuàng)設(shè)問題情境使命題更具有新意.根據(jù)等量代換得到等量關(guān)系“20塊等重的條形石的重量+3個(gè)搬運(yùn)工的體重=21塊等重的條形石的重量+1個(gè)搬運(yùn)工的體重”，建立數(shù)學(xué)模型，這是解題的通法.實(shí)際上，“曹沖稱象”在人教版《義務(wù)教育教科書·語(yǔ)文》二年級(jí)中就有出現(xiàn)，故重視教材習(xí)題、理解編寫意圖、改編拓展延伸可使命題素材取之不盡，從而實(shí)現(xiàn)試題的校本性和原創(chuàng)性.此題的設(shè)置體現(xiàn)了思維的發(fā)散性，滲透了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程思想，考查了學(xué)生的模型觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

命題評(píng)價(jià)：此題以歷史故事為背景設(shè)計(jì)，體現(xiàn)了中華民族的智慧和勞動(dòng)人民的創(chuàng)造性思維.設(shè)置中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化試題，旨在潛移默化地教育學(xué)生應(yīng)該更加熱愛我們的國(guó)家，增強(qiáng)民族自信心，具有較好的德育教育價(jià)值.

三、復(fù)習(xí)教學(xué)建議

1.立足課程標(biāo)準(zhǔn)，重視回歸教材

教師要認(rèn)真研讀《標(biāo)準(zhǔn)》，比較其與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的異同，深刻領(lǐng)會(huì)綱領(lǐng)性文件的導(dǎo)向功能.在復(fù)習(xí)教學(xué)中，要增強(qiáng)方程與不等式的工具意識(shí)，關(guān)注教材習(xí)題的應(yīng)用價(jià)值，充分挖掘教材習(xí)題的問題本質(zhì)，對(duì)習(xí)題進(jìn)行變式、拓展和延伸，引領(lǐng)學(xué)生感悟教材的編寫意圖，切忌采用題海戰(zhàn)術(shù)，而是要讓學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)到“做一題、會(huì)一類、通一片”的效果，真正做到舉一反三.

2.夯實(shí)基礎(chǔ)教學(xué)，注重復(fù)習(xí)效率

基礎(chǔ)是能力提升的根基.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，重基礎(chǔ)是根本，抓能力是核心，要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和各種能力的培養(yǎng).方程與不等式作為代數(shù)部分的重要基礎(chǔ)知識(shí)，是學(xué)習(xí)函數(shù)、三角形以及其他幾何知識(shí)的前提.教師要注意夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，加強(qiáng)概念教學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延應(yīng)講清、講透，將相鄰概念進(jìn)行類比，注意引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上，掌握數(shù)學(xué)規(guī)律（包括法則、性質(zhì)、公式、定理、公理、數(shù)學(xué)思想方法等），重視對(duì)邏輯推理能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.關(guān)注素養(yǎng)導(dǎo)向，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)

在復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師要立足素養(yǎng)導(dǎo)向，關(guān)注命題趨勢(shì).中考總復(fù)習(xí)絕不是簡(jiǎn)單地重復(fù)學(xué)科知識(shí)，而是既要復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，又要有所拓寬和加深；既要照顧中等生和學(xué)困生，又要關(guān)注“吃不飽”的優(yōu)等生.教師要注重方程與不等式與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用，挖掘知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)，加強(qiáng)知識(shí)的橫向關(guān)聯(lián)；要深化知識(shí)的縱向聯(lián)系，構(gòu)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)框架，夯實(shí)學(xué)科知識(shí)體系；要關(guān)注數(shù)學(xué)模型的建立，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，感受數(shù)學(xué)來源于生活，又應(yīng)用于生活，體會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界.

4.注重通性通法，加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)

在解題教學(xué)中，要注重對(duì)解題思路的分析，研究解題依據(jù)，厘清解題思路，使學(xué)生對(duì)解題有方向感，對(duì)思路有靈感.例如，對(duì)于“方程與不等式”專題，可通過掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)之間的聯(lián)系，如方程、不等式與函數(shù)之間的密切關(guān)系，嘗試提升問題設(shè)計(jì)的深度，引導(dǎo)學(xué)生掌握解題的通性通法.在教學(xué)中，教師要注重給予學(xué)生學(xué)法指導(dǎo).在最后的復(fù)習(xí)階段，可以適量做一些綜合題，目的在于掌握其問題本質(zhì)，溝通代數(shù)與幾何的聯(lián)系，提高學(xué)生的綜合解題能力.再如，學(xué)習(xí)函數(shù)要突出掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，函數(shù)的解析式可定量地描述圖形間的聯(lián)系與變化，用方程可描述圖形中線段、角之間的等量關(guān)系.這樣，數(shù)形結(jié)合就在代數(shù)與幾何之間架起了一座橋梁.

5.重視知識(shí)形成，深化銜接教學(xué)

教師不能讓學(xué)生“囫圇吞棗”地接受新知識(shí)，而是要引導(dǎo)學(xué)生“知其然，知其所以然”.在教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的理解，重視知識(shí)的形成過程，認(rèn)識(shí)演繹方程與不等式的異同，詮釋他們與函數(shù)圖象的相關(guān)性.初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，既擔(dān)負(fù)著義務(wù)教育的基本功能，也擔(dān)負(fù)著為高中輸送優(yōu)秀生源的教學(xué)重任.教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，不能只停留在完成基本的教學(xué)計(jì)劃，而應(yīng)具備初、高中六年一體化的教學(xué)格局，要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法，合理拓展方程與不等式的相關(guān)內(nèi)容，為學(xué)生高中階段的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂、數(shù)學(xué)方法是解題的鑰匙.

綜觀2022年全國(guó)各地中考試題，緊扣《標(biāo)準(zhǔn)》而命制，方程與不等式仍作為重要的解題工具，滲透數(shù)學(xué)思想方法，立足教材習(xí)題，挖掘問題本質(zhì)，探究知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，在保持命題風(fēng)格穩(wěn)定的前提下，不乏出現(xiàn)創(chuàng)新特色的好試題.有關(guān)方程與不等式方面的綜合考查，題量合理，難易適中，形式多變，凸顯工具意識(shí)，注重實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)挖掘了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的教育價(jià)值，真正貫徹了“雙減”政策，落實(shí)了立德樹人的根本任務(wù).

四、典型模擬題

答案：C.

解：去分母，得3=2x-(3x+3).①

去括號(hào)，得3=2x-3x+3.②

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得-x=6.③

化系數(shù)為1，得x=-6.④

以上步驟中，開始出錯(cuò)的一步是（ ）.

（A）① （B）② （C）③ （D）④

答案：B.

3.如圖10，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+b與直線y=-3x+6相交于點(diǎn)A，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是（ ）.

圖10

答案：B.

4.周末，小東到超市購(gòu)買碳素筆和筆記本兩種學(xué)習(xí)用品，已知每盒碳素筆30元，每本筆記本20元，共用了300元錢（兩種物品都買），小東的購(gòu)買方案共有（ ）.

（A）3種 （B）4種 （C）5種 （D）6種

答案：B.

5.已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x+y=10，且a＜x＜m-15有三個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是_______.

答案：2≤a＜3.

6.已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+c(a≠0)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是(1.2，0)，則關(guān)于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0的根是______.

答案：x1=1.2，x2=-3.2.

7.已知關(guān)于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，則m的值為______.

答案：-3.

8.已知x1，x2，x3，…，xn中每一個(gè)數(shù)值只能取2，0，-1中的一個(gè)，且滿足x1+x2+…+xn=-19，，求的值.

答案：17.

9.某中學(xué)新建一幢5層的教學(xué)大樓，每層樓有6間教室，進(jìn)出這幢大樓共有4道門，其中兩道大小相同的正門，兩道大小相同的側(cè)門.在安全檢查中，對(duì)4道門進(jìn)行了模擬測(cè)試：當(dāng)同時(shí)開啟一道正門和兩道側(cè)門時(shí)，2分鐘內(nèi)可以通過540名學(xué)生；當(dāng)同時(shí)開啟兩道正門和一道側(cè)門時(shí)，3分鐘內(nèi)可以通過990名學(xué)生.

（1）求平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門各可以通過多少名學(xué)生.

（2）在測(cè)試中發(fā)現(xiàn)，緊急情況時(shí)因?qū)W生擁擠，出門的效率降低25%.安全檢查規(guī)定，在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)通過這4道門安全撤離.假設(shè)這幢教學(xué)大樓每間教室有45名學(xué)生，試判斷建造的這4道門是否符合安全規(guī)定？試說明理由.

答案：（1）平均每分鐘一道正門和一道側(cè)門分別通過130名、70名學(xué)生；（2）符合安全規(guī)定，理由略.