回歸數(shù)學(xué)本源,發(fā)展核心素養(yǎng)——2023 年高考新課標(biāo)全國(guó)I 卷第7 題和20 題的啟示

廣東省梅州市五華縣教師發(fā)展中心(514400) 宋淮南

本文通過(guò)對(duì)2023 年高考新課標(biāo)全國(guó)I 卷第7 題和20 題的分析,結(jié)合《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》、《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求和教材、教師用書進(jìn)行分析,旨在強(qiáng)調(diào)在教學(xué)中應(yīng)回歸數(shù)學(xué)的本源,促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展.

1 試題的呈現(xiàn)與分析

1.1 2023 年高考新課標(biāo)全國(guó)I 卷第7 題 記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,設(shè)甲: {an}為等差數(shù)列;乙:為等差數(shù)列,則( )

A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件

B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件

C. 甲是乙的充要條件

D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

1.1.1 解答過(guò)程

解: 甲: {an} 為等差數(shù)列, 設(shè)其首項(xiàng)為a1, 公差為d, 則, 因此為等差數(shù)列, 則甲是乙的充分條件; 反之, 乙:為等差數(shù)列, 即為常數(shù),設(shè)為t,即,則Sn=nan+1-t·n(n+1),有Sn-1= (n-1)an-t·n(n-1),n≥2, 兩式相減得:an=nan+1-(n-1)an-2tn,即an+1-an=2t,對(duì)n=1也成立,因此{(lán)an}為等差數(shù)列,則甲是乙的必要條件,所以甲是乙的充要條件,C 正確.

1.1.2 解答反思

本題以等差數(shù)列為出發(fā)點(diǎn)考查充要條件的推證,要求考生判別充分性和必要性,然后分別進(jìn)行證明,解決問(wèn)題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的概念和特點(diǎn)進(jìn)行推理論證,重點(diǎn)考查邏輯推理素養(yǎng).

1.2 2023 年高考新課標(biāo)全國(guó)I 卷第20 題 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,且d＞1. 令,記Sn,Tn分別為數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和.

(1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通項(xiàng)公式;

(2)若{bn}為等差數(shù)列,且S99-T99=99,求d.

1.2.1 解答過(guò)程

解: (1)∵3a2=3a1+a3,∴3d=a1+2d,解得a1=d,∴S3= 3a2= 3(a1+d) = 6d,又,即2d2-7d+3=0,解得d=3 或(舍去),∴an=a1+(n-1)·d=3n.

(2)解法1: ∵{bn}為等差數(shù)列,∴2b2=b1+b3,即,即,解得a1=d或a1= 2d, ∵d＞1, ∴an＞0, 又S99-T99= 99, 由等差數(shù)列性質(zhì)知, 99a50-99b50= 99,即a50-b50=1,∴,即,解 得a50= 51 或a50= -50(舍 去) 當(dāng)a1= 2d時(shí),a50=a1+49d= 51d= 51, 解得d= 1, 與d＞1 矛盾,無(wú)解; 當(dāng)a1=d時(shí),a50=a1+ 49d= 50d= 51, 解得.

1.2.2 解答反思

對(duì)于第(1)問(wèn),考生需要利用等差數(shù)列的基本量列方程求解(體現(xiàn)了方程的思想的應(yīng)用).

對(duì)于第(2)問(wèn),因?yàn)閧bn}為等差數(shù)列,則b1,b2,b3三者構(gòu)成等差數(shù)列,體現(xiàn)了從一般到特殊的思想,從而減少運(yùn)算的難度和推理過(guò)程,易得到首項(xiàng)和公差的關(guān)系,再利用等差數(shù)列的性質(zhì),然后分類討論解題(體現(xiàn)了分類討論的思想),須多次化簡(jiǎn)和因式分解解方程,學(xué)生要有較強(qiáng)計(jì)算能力(考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)).

1.2.3 (2) 解法2: 因?yàn)閧bn} 為等差數(shù)列, 則(關(guān)于n的一次型) , 所以a1-d=0 或d=a1-d即a1=d或a1=2d,下同解法1.

當(dāng)an=d(n+1)時(shí),所以. 又S99-T99= 99,由等差數(shù)列性質(zhì)知, 99a50-99b50= 99, 即a50-b50= 1,,51d2-d-50 = 0,所以(不合,舍去)或d=1(不合,舍去)

1.2.4 解答反思

解法2 和解法3 均是根據(jù){an}、{bn}都是等差數(shù)列,從而an、bn均是關(guān)于關(guān)于n的一次型(體現(xiàn)了函數(shù)的思想),進(jìn)而到達(dá)簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的. 也需要考生通過(guò)觀察式子的特點(diǎn),會(huì)把式子中的分子n2+n分解成n(n+1),從中展現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的素養(yǎng).

2 符合高考評(píng)價(jià)體系

該試題命制落實(shí)中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系中“一核四層四翼”的考查要求,突出強(qiáng)調(diào)對(duì)等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列性質(zhì)、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式等基礎(chǔ)知識(shí)的深入理解和靈活掌握,注重考查學(xué)科知識(shí)的綜合應(yīng)用能力,促進(jìn)考教銜接,引導(dǎo)學(xué)生提高在校學(xué)習(xí)效率,避免機(jī)械、無(wú)效的學(xué)習(xí).

3 依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)要求

教師應(yīng)認(rèn)真研究課程標(biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確把握課標(biāo)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的要求,促進(jìn)學(xué)生素養(yǎng)的提升. 實(shí)際上“課標(biāo)”對(duì)等差數(shù)列方面的內(nèi)容也提出這樣的要求.

3.1 理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.

3.2 探索并掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式,理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式的關(guān)系.

3.3 體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.

4 緊扣教材教師用書

用好教材中的“邊空”、“思考”、“探究”等欄目,有利于提升學(xué)生的邏輯推理和探究能力,對(duì)教材、教師用書中的典型例(習(xí))題和課標(biāo)中的教學(xué)與評(píng)價(jià)案例進(jìn)行研究,有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力與創(chuàng)新能力.

4.1 教材中的“思考”的欄目

4.1.1 教材選擇性必修第二冊(cè)第21 頁(yè)“邊空”提出的問(wèn)題: 對(duì)于等差數(shù)列{an}的相關(guān)量a1,an,d,n,Sn,已知幾個(gè)量就可以確定其他量? 這里強(qiáng)調(diào)基本量和基本法,滲透了方程的思想.

4.1.2 教材選擇性必修第二冊(cè)第14 頁(yè)設(shè)置了思考欄目,思考:

觀察等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,你認(rèn)為它與我們熟悉的哪一類函數(shù)有關(guān)?

由于an=a1+ (n- 1)d=dn+ (a1-d) 所以當(dāng)d0 時(shí), 等差數(shù)列{an} 的第n項(xiàng)an是一次函數(shù)f(x) =dx+ (a1-d)(x∈R) 當(dāng)x=n的函數(shù)值, 即an=f(n).

探究等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系,體會(huì)數(shù)列是一類特殊的函數(shù),體現(xiàn)函數(shù)的思想.

4.2 教材、教參中例(習(xí))題

4.2.1 教材選擇性必修第二冊(cè)第25 頁(yè)(習(xí)題4.2 綜合運(yùn)用)第7 題: 已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

(2)設(shè)Tn為數(shù)列的前前n項(xiàng)和,若S4=12,S8=40,求Tn.

4.2.2 普通高中教科書教選擇性必修第二冊(cè)師教學(xué)用書第85 頁(yè)(本章學(xué)業(yè)水平測(cè)試題第13 題)

設(shè)數(shù)列差{an}滿足a1+3a2+···+(2n-1)an=n.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

本題主要通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題情境評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)遞推數(shù)列、數(shù)列的裂項(xiàng)求和等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的了解程度,通過(guò)運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化的思想和裂項(xiàng)相消的方法評(píng)價(jià)學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

4.2.3 2022 年高考新課標(biāo)全國(guó)I 卷第17 題 記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知是公差為的等差數(shù)列.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

從中可以看出,2022 年高考和2023 年高考數(shù)列題在這里都可以找到他的原型,只要重視對(duì)這些問(wèn)題的探究,學(xué)生就比較容易解決這兩年高考的數(shù)列題.

5 結(jié)束語(yǔ)

我們應(yīng)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、結(jié)合高考評(píng)價(jià)體系實(shí)施教學(xué),創(chuàng)設(shè)良好的問(wèn)題情境培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 采用啟發(fā)式、探究式等方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、歸納、類比、遷移等活動(dòng),讓學(xué)生獲得基本活動(dòng)體驗(yàn).重視基本概念、定理的教學(xué). 科學(xué)使用教材,充分利用教材中的“探究”、“思考”等欄目引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考與探究,挖掘教材、教參等的典型例(習(xí))題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木?、變?提高學(xué)生的綜合能力. 重視基本概念的理解與掌握, 強(qiáng)化定理、公式、結(jié)論的推導(dǎo),加強(qiáng)通性通法的應(yīng)用,這樣才更有利于讓高中數(shù)學(xué)的教學(xué)回歸到數(shù)學(xué)本源,學(xué)生的核心素養(yǎng)才能得到更好的發(fā)展.