“微積分”課程思政元素有效融合路徑的研究與探索

于戰(zhàn)華，姜 薇

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)〔威海〕 理學(xué)院，山東 威海 264209）

近年來(lái)，為了培養(yǎng)學(xué)生的世界觀、人生觀和價(jià)值觀，把知識(shí)傳授與思想品德教育相融合的教育理念逐步受到世界各國(guó)教育界的重視。在我國(guó)，高等院校積極開(kāi)展課程思政建設(shè)，其主要形式是將思想教育融入各門(mén)課程中去，與思想政治理論課同向，潛移默化地影響學(xué)生的思想意識(shí)和行為舉止，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授、價(jià)值塑造和能力培養(yǎng)的有機(jī)統(tǒng)一。美國(guó)和日本等國(guó)家更注重在通識(shí)教育類(lèi)課程和人文社會(huì)科學(xué)類(lèi)課程中融入思想政治教育，使思想政治教育與人文素質(zhì)教育、傳授科學(xué)知識(shí)與培養(yǎng)道德素養(yǎng)有機(jī)融合到一起，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得了大量道德知識(shí)，提高了道德判斷能力，培養(yǎng)了國(guó)民精神。在德國(guó)，思想道德教育更是滲透在倫理學(xué)、神學(xué)、教育學(xué)、法學(xué)等課程中，融于專(zhuān)業(yè)學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)，貫穿于教育的全過(guò)程。

2020年5月，中國(guó)教育部正式發(fā)布了《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，強(qiáng)調(diào)要重點(diǎn)建設(shè)一批提高大學(xué)生思想道德修養(yǎng)、人文素質(zhì)、科學(xué)精神、憲法法治意識(shí)、國(guó)家安全意識(shí)和認(rèn)知能力的公共基礎(chǔ)課程［1］?！拔⒎e分”課程是高等院校理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)大一本科生的重要的數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，形成創(chuàng)新思維具有重要作用，同時(shí)“微積分”課程具有學(xué)時(shí)長(zhǎng)、覆蓋范圍廣的特點(diǎn)，具備進(jìn)行課程思政的優(yōu)勢(shì)，而且大一學(xué)生剛?cè)氪髮W(xué)，思想還不成熟，這也正是進(jìn)行課程思政的黃金期［2］。

目前，很多中國(guó)學(xué)者對(duì)于“微積分”課程思政的研究做了大量的研究工作。在理論層面，彭雙階等針對(duì)包含“微積分”的大學(xué)數(shù)學(xué)類(lèi)課程，給出了課程思政的課堂教學(xué)實(shí)現(xiàn)的建議和方法［3］。張若軍等從哲學(xué)的角度分析了“微積分”課程思政的可行性［4］。在具體實(shí)施層面，潘璐璐等以函數(shù)曲線(xiàn)的凹凸性為例給出了“微積分”課程思政的邏輯與方法［5］。朱婧等給出了新冠病毒感染背景下“微積分”課程思政的教學(xué)探索與實(shí)踐［6］。

一、學(xué)生學(xué)習(xí)“微積分”關(guān)注的主要問(wèn)題及對(duì)策

由于“微積分”中的概念、定理等理論比較抽象，現(xiàn)行的“微積分”教材又是經(jīng)過(guò)高度的抽象與概括，側(cè)重于理論體系的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，這就導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)“微積分”時(shí)會(huì)自然而然地關(guān)注微積分中的概念、定理和公式等理論是怎么來(lái)的，怎么理解，怎么應(yīng)用，但“微積分”課堂教學(xué)受到班級(jí)人數(shù)多、教學(xué)內(nèi)容多、考核方式統(tǒng)一單調(diào)等客觀因素的限制，導(dǎo)致教師在實(shí)際教學(xué)中無(wú)法以學(xué)生關(guān)注的問(wèn)題為導(dǎo)向開(kāi)展課堂教學(xué)。教師為了保證教學(xué)進(jìn)度，完成教學(xué)任務(wù)，在課堂教學(xué)中，側(cè)重于知識(shí)的傳授，缺少對(duì)于微積分理論的實(shí)際產(chǎn)生背景的介紹和實(shí)質(zhì)內(nèi)涵的講解，同時(shí)很少與學(xué)生交流討論，多數(shù)情況下采用“滿(mǎn)堂灌”的授課方式，學(xué)生在課堂教學(xué)中被動(dòng)地接受知識(shí)，很少有自己的想法和見(jiàn)解，不能深入理解微積分理論的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵。而且“微積分”課程對(duì)于學(xué)生的考核方式基本上是全校統(tǒng)一，以考試為主，試題多是計(jì)算題和證明題，應(yīng)用型問(wèn)題和探究型問(wèn)題基本沒(méi)有，學(xué)生只要記住公式，熟練掌握做題的方法和套路，就能取得較好的成績(jī)，因此教師在課堂教學(xué)時(shí)講解的例題以計(jì)算題、證明題為主，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)思維僵硬，不能創(chuàng)新性地運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題。教師的課堂教學(xué)受到這些客觀因素的限制，多數(shù)情況下不能很好地解決學(xué)生所關(guān)注的問(wèn)題，從而導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為“微積分”課程在教學(xué)內(nèi)容上存在著三點(diǎn)不足：（1）教學(xué)內(nèi)容單調(diào)枯燥，缺少來(lái)源背景的介紹；（2）教學(xué)內(nèi)容抽象，難以理解，不能引起學(xué)習(xí)興趣；（3）缺少實(shí)際應(yīng)用案例，講解的例題側(cè)重于計(jì)算題和證明題。針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)“微積分”時(shí)關(guān)注的主要問(wèn)題，在客觀限制性因素不變的情況下，根據(jù)多年的“微積分”教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于課堂教學(xué)提出如下幾點(diǎn)對(duì)策。

（一）介紹微積分理論的來(lái)源背景

“微積分”的很多概念、定理和公式來(lái)源于客觀實(shí)際，在課堂教學(xué)中介紹這些概念、定理和公式的形成過(guò)程，可以豐富教學(xué)內(nèi)容，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生理解概念、定理和公式的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵。例如在講授定積分的定義時(shí)，向?qū)W生介紹定積分從萌芽于古代不規(guī)則土地面積的計(jì)算到牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分基本定理的歷史發(fā)展過(guò)程，既可吸引學(xué)生的課堂注意力，又有助于學(xué)生理解定積分計(jì)算的實(shí)質(zhì)“分割為無(wú)窮小元素求和”。同時(shí)概念、定理和公式的形成過(guò)程既是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，也是特殊到一般、具體到抽象的過(guò)程，向?qū)W生介紹概念、定理和公式的形成過(guò)程可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和數(shù)學(xué)思維。例如在講授微積分基本定理之前，介紹牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問(wèn)題：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路程求給定時(shí)刻的速度（微分法）；已知運(yùn)動(dòng)的速度求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程（積分法）。

（二）分析微積分理論的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵

與客觀實(shí)際聯(lián)系緊密的微積分理論通過(guò)介紹其形成過(guò)程，可以加深學(xué)生的理解。但部分微積分理論是經(jīng)過(guò)已有數(shù)學(xué)理論的提煉和邏輯推理得到的，盡管課本給出了其數(shù)學(xué)證明或說(shuō)明，但其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵學(xué)生還是難以理解和掌握。對(duì)于這部分理論，教師有諸多方法幫助學(xué)生理解。（1）教師可以適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用通俗化的語(yǔ)言進(jìn)行講解，把抽象的理論用學(xué)生易于理解和掌握的描述方式進(jìn)行解釋。例如數(shù)列極限定義xn=A的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的描述比較抽象，學(xué)生很難理解，教師在講解時(shí)可以將學(xué)生已有的極限的直觀感覺(jué)“xn=A就是n→∞時(shí)通項(xiàng)xn與A無(wú)限接近”進(jìn)行通俗化的解讀：“n→∞時(shí)通項(xiàng)xn與A無(wú)限接近”意味著A找不到一個(gè)自身的ε-鄰域?qū)⑵渑cxn隔離開(kāi)，所以對(duì)于A的任何一個(gè)ε-鄰域，通項(xiàng)xn總會(huì)從某項(xiàng)開(kāi)始進(jìn)入其內(nèi)部。這樣通俗化的解讀使學(xué)生更容易理解數(shù)列極限定義的數(shù)學(xué)語(yǔ)言的描述。（2）教師可以通過(guò)幾何圖形把抽象的理論可視化，方便學(xué)生理解。例如講解微分中值定理時(shí)，畫(huà)出羅爾中值定理的幾何圖，學(xué)生可以很直觀地看到在曲線(xiàn)上確實(shí)存在某些點(diǎn)的切線(xiàn)與連接曲線(xiàn)的兩個(gè)端點(diǎn)的割線(xiàn)平行，即都和坐標(biāo)軸平行，引導(dǎo)學(xué)生在坐標(biāo)系不變的情況下旋轉(zhuǎn)羅爾中值定理的幾何圖，可以觀察到這些切線(xiàn)和割線(xiàn)的平行關(guān)系保持不變，將其用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述就得到拉格朗日中值定理，再現(xiàn)了知識(shí)創(chuàng)作發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)于拉格朗日中值定理的理解。（3）教師可以合理設(shè)置問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考微積分理論的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵。例如在講解柯西中值定理時(shí)，教師可以提出問(wèn)題：如何對(duì)參數(shù)函數(shù)運(yùn)用拉格朗日中值定理？引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考，通過(guò)問(wèn)題的解決使學(xué)生體會(huì)到柯西中值定理的實(shí)質(zhì)就是對(duì)參數(shù)函數(shù)運(yùn)用拉格朗日中值定理，而不是對(duì)兩個(gè)函數(shù)分別運(yùn)用拉格朗日中值定理再相比得到的。（4）對(duì)于學(xué)生不能理解的、課本沒(méi)有說(shuō)明的、相對(duì)比較簡(jiǎn)單的微積分理論，教師可以直接講解它的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，“一語(yǔ)點(diǎn)醒夢(mèng)中人”。

（三）引入實(shí)際應(yīng)用案例

受考核方式等客觀因素的影響，在“微積分”課程中，微積分理論的應(yīng)用主要是側(cè)重于計(jì)算和證明，導(dǎo)致學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力較弱，這就需要教師在課堂教學(xué)中適當(dāng)?shù)匾胛⒎e分理論的實(shí)際應(yīng)用，例如在工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用，可以增長(zhǎng)學(xué)生的知識(shí)見(jiàn)識(shí)，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的重要性和基礎(chǔ)性。例如，在講解常微分方程的可分離變量方程時(shí)，可以介紹馬爾薩斯人口模型，通過(guò)求解，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到微積分理論在人口預(yù)測(cè)方面的理論指導(dǎo)作用，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。

二、“微積分”課程思政元素的有效融合路徑

多數(shù)專(zhuān)家和學(xué)者認(rèn)為課程思政的最佳開(kāi)展方式是將思政元素“潤(rùn)物無(wú)聲”“如鹽化水”般地融入課程知識(shí)體系中［7］。通過(guò)近幾年的教學(xué)實(shí)踐和工作實(shí)際，從學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中所關(guān)注的主要問(wèn)題出發(fā)，將思政元素融入問(wèn)題的解決過(guò)程中不失為一種好的方法，它既能使思政元素幫助學(xué)生加深對(duì)于所關(guān)注問(wèn)題的理解，促進(jìn)問(wèn)題的解決，又能使學(xué)生在微積分課堂教學(xué)中很自然地接受思政元素的熏陶，從而做到知識(shí)學(xué)習(xí)與思想政治教育的相互促進(jìn)、相輔相成。具體地針對(duì)學(xué)生所關(guān)注的問(wèn)題，思政元素可以從以下三個(gè)方面與微積分知識(shí)體系進(jìn)行融合。

（一）思政元素與微積分理論的來(lái)源背景相融合

微積分理論的來(lái)源背景蘊(yùn)含著大量的思政元素，如數(shù)學(xué)發(fā)展史和科學(xué)家的數(shù)學(xué)研究史等數(shù)學(xué)文化。在介紹微積分理論的來(lái)源背景中融入數(shù)學(xué)文化，既可以提高課堂吸引力，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又可以熏陶學(xué)生的思想品質(zhì)，幫助學(xué)生樹(shù)立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀。例如，在講解極限概念時(shí)，可以向?qū)W生介紹中國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，通過(guò)展示圓內(nèi)接多邊形的面積逼近圓的面積，既是對(duì)極限概念的直觀演示，同時(shí)讓學(xué)生了解在中國(guó)古代極限思想已經(jīng)形成，并用其解決實(shí)際問(wèn)題，從而說(shuō)明極限思想并不是從國(guó)外傳入，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感。在講解定積分的來(lái)源背景時(shí)，可以向?qū)W生介紹開(kāi)普勒運(yùn)用無(wú)窮分割法計(jì)算圖形面積的工作，使學(xué)生知道牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分學(xué)是許多科學(xué)家工作的結(jié)晶，讓學(xué)生明白盡管多數(shù)人的工作是默默無(wú)聞的，但只要努力工作，貢獻(xiàn)正能量，就會(huì)推動(dòng)社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展。

（二）思政元素與微積分理論的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵相融合

微積分理論蘊(yùn)含著豐富的哲學(xué)思想，在講解微積分理論的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵時(shí)，融入具有相同哲學(xué)內(nèi)涵和思想內(nèi)涵的思政元素，可以加深學(xué)生對(duì)于微積分理論的理解。同時(shí)微積分理論又是所融入的思政元素的一個(gè)具體表現(xiàn)，使所融入的思政元素形象化、具體化，避免了思政元素的空洞無(wú)力，這樣引入的思政元素對(duì)于學(xué)生而言更具有說(shuō)服力，更能對(duì)學(xué)生的思想產(chǎn)生沖擊，引起共鳴。例如，在講解定積分的微元法時(shí)，可以融入量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系，將微元法的第一步求子區(qū)間[x,x+dx]對(duì)應(yīng)的局部量ΔQ的近似值dQ看作是量變過(guò)程，則微元法的第二步計(jì)算區(qū)間[a,b]上的總量Q=dQ可以看作是量變積累到一定程度引起質(zhì)變的過(guò)程，這樣的融合講解既加深了學(xué)生對(duì)于微元法的理解，明白微元法的實(shí)質(zhì)是“先求無(wú)窮小元素對(duì)應(yīng)局部量的近似值，再求和”的過(guò)程，又使學(xué)生對(duì)于量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系有了一個(gè)形象具體的認(rèn)識(shí)。同時(shí)，通過(guò)說(shuō)明局部量ΔQ與其近似值dQ之差應(yīng)為dx的高階小量，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)dx的高階小量在上[a,b]的積分為0，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到“不是所有的量變都能引起質(zhì)變”，進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)于量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系的理解。

（三）思政元素與實(shí)際應(yīng)用案例相融合

挖掘和講授與國(guó)民生活與科技發(fā)展相關(guān)的微積分實(shí)際應(yīng)用案例，既可以增長(zhǎng)學(xué)生的知識(shí)見(jiàn)識(shí)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，還可以潛移默化地影響學(xué)生的世界觀、人生觀和價(jià)值觀，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用科技推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的思想意識(shí)，使學(xué)生尊重科學(xué)、崇尚科學(xué)，主動(dòng)學(xué)習(xí)科學(xué)家的愛(ài)國(guó)奉獻(xiàn)精神，勇?lián)腥A民族偉大復(fù)興的歷史使命。例如，講授第一型曲面積分的計(jì)算時(shí)，可以引入“求解通信衛(wèi)星的電波覆蓋的面積與地球表面積之比”的實(shí)際應(yīng)用案例，通過(guò)案例求解，強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)第一型曲面積分的計(jì)算公式的掌握，使學(xué)生見(jiàn)識(shí)到第一型曲面積分在航天領(lǐng)域的重要應(yīng)用，同時(shí)在課堂上簡(jiǎn)單地和學(xué)生分享我國(guó)航天領(lǐng)域發(fā)展現(xiàn)狀，讓學(xué)生知道中國(guó)近年來(lái)在航天領(lǐng)域取得的一系列非凡成就，如北斗導(dǎo)航工程、嫦娥探月工程、火星探測(cè)工程等，這些都是我國(guó)科技創(chuàng)新的結(jié)晶，而科技創(chuàng)新的關(guān)鍵是創(chuàng)新人才的培養(yǎng)，鼓勵(lì)學(xué)生努力使自己成為科技創(chuàng)新人才，為祖國(guó)的發(fā)展貢獻(xiàn)自己的力量。在講解常微分方程組的求解時(shí)，可以引入傳染病模型的計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生找到傳染病感染的拐點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法解決實(shí)際問(wèn)題，推動(dòng)社會(huì)發(fā)展。

結(jié)語(yǔ)

課程思政不同于思想政治理論課，應(yīng)以課程知識(shí)傳授為主，思想教育為輔，使學(xué)生在學(xué)習(xí)課程知識(shí)的同時(shí)，潛移默化地接受思想教育的熏陶。課程思政引入的思政元素應(yīng)自然融合于課程知識(shí)體系之中，以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)課程知識(shí)為目標(biāo)，以切實(shí)融入學(xué)生的思想為目的。具體到理論性較強(qiáng)的“微積分”課程，可以從學(xué)生關(guān)注的問(wèn)題出發(fā)，將思政元素融入微積分理論的來(lái)源背景、實(shí)質(zhì)內(nèi)涵和實(shí)際應(yīng)用之中，從而形成了以問(wèn)題為導(dǎo)向、以學(xué)生為中心的“微積分”課程思政的理論體系。