平拋運動中的“擋板”問題探究

■河南省鄭州市第十一中學(xué) 饒中金

縱觀歷年來的高考試題可以發(fā)現(xiàn),不少的平拋運動問題中都涉及“擋板”,這類問題以平拋運動為模型,利用各種“擋板”加以限制,意在考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具處理物理問題的能力。下面分類討論平拋運動中的“擋板”問題的求解策略,供同學(xué)們參考。

一、平拋運動中的平直類“擋板”問題

做平拋運動的質(zhì)點與豎直墻壁、水平地面、斜面等平直類“擋板”碰撞時,求解質(zhì)點在落點處的動能或速度的極值等問題的基本方法是:先利用質(zhì)點做平拋運動的規(guī)律和功能關(guān)系結(jié)合“擋板”方程的限制條件,寫出質(zhì)點在落點處動能的函數(shù)表達式,再利用數(shù)學(xué)知識分析極值問題。

例1如圖1所示,足夠長的豎直擋板MN到O點的距離為l,可視為質(zhì)點的小球從O點以水平初速度v0(大小可以改變)沿水平方向射出,小球擊打在擋板上的P點(未畫出)。求小球打到P點時的最小動能。

圖1

解析：以水平向右為x軸正方向,豎直向下為y軸正方向,建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)P點坐標(biāo)為(x,y),則x=,因此小球做平拋運動的軌跡方程為小球做平拋運動的初動能為,小球運動到P點時的動能又有x=l,則Ek=,當(dāng),即y=(對應(yīng))時,小球打到P點時的動能最小,且Ekmin=mgl。

圖2

點評:本題屬于平拋運動中的豎直“擋板”問題,在坐標(biāo)系中擋板的方程比較簡單,直接利用平拋運動規(guī)律及動能定理,結(jié)合數(shù)學(xué)知識即可求出動能的極值。需要注意的是并不是質(zhì)點在所有的擋板上落點處的動能都存在極值,比如做平拋運動的小球落到水平面上時,小球的動能就不存在最大值。

二、平拋運動中的曲面類“擋板”問題

做平拋運動的質(zhì)點與各種弧形“擋板”碰撞時,求解質(zhì)點在落點處的動能或速度的極值等問題的基本方法仍是:先利用質(zhì)點做平拋運動的規(guī)律和功能關(guān)系結(jié)合“擋板”方程的限制條件,寫出質(zhì)點在落點處動能的函數(shù)表達式,再利用數(shù)學(xué)知識分析極值問題。

例2如圖3所示,在粗糙水平臺階上靜置一質(zhì)量m=0.5 kg的小物塊,它與水平臺階表面之間的動摩擦因數(shù)μ=0.5,且與臺階邊緣O點的距離s=5 m。在臺階右側(cè)固定了一個以O(shè)點為圓心的圓弧形擋板,并以O(shè)點為原點建立平面直角坐標(biāo)系xOy?，F(xiàn)用F=5 N 的水平恒力拉動小物塊,一段時間后撤去拉力F,小物塊最終水平拋出并擊中擋板。取重力加速度g=10 m/s2。

圖3

(1)若小物塊恰能擊中擋板的上邊緣P點,P點的坐標(biāo)為(1.6 m,0.8 m),求其離開O點時的速度大小。

(2)為使小物塊擊中擋板,求拉力F作用的距離范圍。

(3)改變拉力F的作用時間,使小物塊擊中擋板的不同位置,求擊中擋板時小物塊動能的最小值。(結(jié)果可保留根式)

解析：(1)設(shè)小物塊離開O點時的速度大小為v0,根據(jù)平拋運動規(guī)律得解得小物塊從O點運動到P點所用的時間t=0.4 s,又有x=v0t,解得v0=4 m/s。

(2)為了能夠擊中擋板,小物塊必須能夠運動到O點,根據(jù)動能定理得Fx1-μmgs=0,解得x1=2.5 m。為了能夠擊中擋板,小物塊到達O點時的速度不能超過4 m/s,同理得,解得x2=3.3 m。因此拉力F作用的距離范圍為2.5 m＜x≤3.3 m。

(3)設(shè)小物塊擊中擋板的位置坐標(biāo)為(x,y),小物塊離開O點時的速度大小為v,則x=vt,y=,x2+y2=R2。由P點的坐標(biāo)為(1.6 m,0.8 m)得R2=3.2 m2。擊中擋板時小物塊的動能,將R2=3.2 m2,mg=5 N 代入得,當(dāng),即時,Ek取最小值,且

點評:本題(1)問直接考查平拋運動的基本規(guī)律,比較基礎(chǔ);(2)問讓求使得小物塊擊中擋板,拉力F作用的距離范圍,主要考查動能定理的應(yīng)用;(3)問讓求做平拋運動的小物塊在受圓弧形擋板限制的條件下,擊中擋板時動能的最小值,需要根據(jù)題給P點的坐標(biāo)寫出擋板的曲線方程,進而利用動能的函數(shù)表達式求出小物塊在落點處動能的最小值。

例3(2021年高考湖南卷)如圖4所示,豎直平面內(nèi)一足夠長光滑傾斜軌道與一長為L的水平軌道通過一小段光滑圓弧連接,水平軌道右下方有一段弧形軌道PQ。質(zhì)量為m的小物塊A與水平軌道之間的動摩擦因數(shù)為μ。以水平軌道末端O點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸的正方向水平向右,y軸的正方向豎直向下,弧形軌道P端的坐標(biāo)為(2μL,μL),Q端在y軸上。重力加速度為g。

圖4

(1)若小物塊A從傾斜軌道上距x軸高度為2μL的位置由靜止開始下滑,求小物塊A經(jīng)過O點時的速度大小。

(2)若小物塊A從傾斜軌道上不同位置由靜止開始下滑,經(jīng)過O點落在弧形軌道PQ上的動能均相同,求軌道PQ的曲線方程。

(3)將質(zhì)量為λm(λ為常數(shù)且λ≥5)的小物塊B置于O點,小物塊A沿傾斜軌道由靜止開始下滑,與小物塊A發(fā)生彈性碰撞(碰撞時間極短),要使A和B兩物塊均能落在弧形軌道PQ上,且小物塊A落在B落點的右側(cè),求小物塊A下滑的初始位置距x軸高度的取值范圍。

解析：(1)若小物塊A從傾斜軌道上距x軸高度為2μL的位置由靜止開始下滑,設(shè)小物塊A經(jīng)過O點時的速度大小為v0,根據(jù)動能定理得mg·2μL-μmgL=mv20,解得

(2)若小物塊A從傾斜軌道上某點由靜止開始下滑,設(shè)它經(jīng)過O點時的速度大小為vx,小物塊A經(jīng)過O點后做平拋運動,在弧形軌道PQ上的落點坐標(biāo)為(x,y),合速度大小為v,則,整理得根據(jù)P點坐標(biāo)為(2μL,μL),小物塊A經(jīng)過O點落在弧形軌道PQ上的動能均相同可知,小物塊A落到P點時的動能即為落到弧形軌道PQ上任一點的動能,即,則,解得軌道PQ的曲線方程為

(3)設(shè)小物塊A下滑的初始位置高度為h,小物塊A在與B碰撞前的速度大小為vA,根據(jù)動能定理得解得設(shè)碰撞后小物塊A的速度大小為vA1,小物塊B的速度大小為vB,根據(jù)動量守恒定律得mvA=-mvA1+λmvB,根據(jù)機械能守恒定律得,解得碰撞后小物塊A向左運動,沿傾斜軌道上升后,設(shè)它再返回O點時的速度大小為vA2,則,變形得,要使小物塊A落在B落點的右側(cè),需要滿足vA2＞vB,即解得將vA=代入解得根據(jù)(2)中所得可知,當(dāng)小物塊落在P點時有v2x=2μgL,要使A和B兩物塊均能落在弧形軌道PQ上,由vA2＞vB可知,只要小物塊A能落在弧形軌道PQ上,小物塊B就一定能落在弧形軌道PQ上,需要滿足即,解得因此所求高度h的取值范圍為

點評:本題(1)問考查動能定理的應(yīng)用;(2)問涉及平拋運動受到橢圓形擋板限制,并給出了“落在弧形軌道PQ上的動能均相同”的條件,反過來要求考生根據(jù)已知條件去求解擋板的曲線方程,設(shè)問角度很新穎;(3)問考查碰撞模型,對考生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力要求比較高。

例4如圖5所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點在豎直平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系xOy,位于第Ⅳ象限內(nèi)的擋板形狀滿足方程(單位:m),小球從第Ⅱ象限內(nèi)半徑R=0.5 m 的四分之一光滑圓弧軌道上某處由靜止開始下滑,通過O點后開始做平拋運動,擊中擋板上的P點時速度最小,取重力加速度g=10 m/s2,下列說法中正確的是( )。

圖5

A.P點的坐標(biāo)為

B.小球經(jīng)過O點時的速度大小為3 m/s

C.小球擊中P點時的速度大小為5 m/s

D.小球經(jīng)過O點時對軌道的壓力等于自身重力的3倍

解析：設(shè)小球經(jīng)過O點時的速度為v0,P點的坐標(biāo)為(x,-h),則解得小球經(jīng)過O點時的動能為小球擊中P點時的動能為因為P點在拋物線上,所以滿足關(guān)系式即因此,當(dāng)即時,小球擊中P點時的速度取最小值,且vmin=5 m/s,此時,選項A、B 錯誤,C 正確。根據(jù)得H=0.5 m=R,說明小球正好是從圓弧軌道的最高點開始下滑的。設(shè)小球經(jīng)過O點時受到的軌道壓力為N,則,解得N=3mg。根據(jù)牛頓第三定律可知,小球經(jīng)過O點時對軌道的壓力N＇=N=3mg,選項D正確。

答案：CD

點評:本題給出了擋板的拋物線方程,以及小球擊中擋板上P點時的動能存在極小值,按照基本方法求解即可。同學(xué)們在求解本題的過程中容易忽略兩個細(xì)節(jié)問題:(1)忽略對小球在落點取動能最小值時對應(yīng)的小球從圓弧軌道上下滑的初始高度的判斷,本題中小球在落點取動能最小值對應(yīng)著小球恰好從圓弧軌道的最高點下滑,若題目中給定的半徑R=0.4 m 或R=0.6 m,結(jié)果又會怎樣呢? 請同學(xué)們認(rèn)真思考。(2)選項D 中求小球經(jīng)過O點時對軌道的壓力,需要先以小球為研究對象求出小球受到的支持力,再應(yīng)用牛頓第三定律得出小球?qū)壍赖膲毫Α?/p>

1.某同學(xué)設(shè)計了一個滑梯游戲裝置,其簡化示意圖如圖6所示,一個光滑圓弧軌道AO固定在水平桌面上,O點在桌面右側(cè)邊緣上,以O(shè)點為圓心的光滑圓弧軌道BD豎直固定在桌子的右側(cè),C點為軌道BD的中點。若航天員利用該游戲裝置分別在地球表面和火星表面進行模擬實驗,將小球放在軌道AO上某點,讓它由靜止下滑,小球越過O點后飛出,落在軌道BD上。忽略空氣阻力,已知地球表面的重力加速度大小為g,火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的,火星的半徑約為地球半徑的。在地球表面或火星表面上,下列說法中正確的是( )。

圖6

A.若小球恰能打到C點,則擊中C點時的速度方向與圓弧面垂直

B.小球釋放點越低,小球落到軌道BD上時的動能就越小

D.在地球表面和火星表面進行模擬實驗時,若都從軌道AO上同一位置釋放小球,則小球?qū)⒙湓谲壍繠D上的同一點

2.如圖7所示,以O(shè)點為坐標(biāo)原點建立平面直角坐標(biāo)系xOy,x軸正方向水平向右,y軸正方向豎直向下,實線為橢圓弧擋板,擋板的方程滿足,P點為擋板的上端點?，F(xiàn)從O點沿x軸正方向水平拋出一小球,取重力加速度g=10 m/s2,則下列說法中正確的是( )。

圖7

A.若拋出小球的速度為5 m/s,則小球能落到擋板上

B.小球落到擋板上時,速度改變量的大小可能為5 m/s

C.小球落到擋板上的不同位置,擊中擋板時的速度大小一定不同

D.小球落到擋板上時,速度方向與水平方向之間的夾角不可能小于

3.如圖8所示,足夠長傾斜擋板的傾角為θ,O點位于斜面底端正上方高為d處,可視為質(zhì)點的小球從O點以水平初速度v0(大小可以改變)沿水平方向射出,小球落在擋板上的P點(未畫出)。求小球落到P點時的最小動能。

圖8

參考答案：1.CD 2.BD