求解電荷量的四種方法賞析

■福建省漳州市第三中學(xué) 黃輝健

合理運(yùn)用電流的定義式、電容的定義式、電磁感應(yīng)定律、歐姆定律,以及動(dòng)量定理可以求得電荷量這一物理量。下面采用四種方法來(lái)求電荷量,供同學(xué)們參考。

一、利用電流的定義式和電磁感應(yīng)定律求電荷量

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,求時(shí)間t內(nèi)通過(guò)閉合回路的電荷量Q,可以聯(lián)立公式E=,解得

1.若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B不變,線圈的面積S變化,則求解電荷量的表達(dá)式為Q=

2.若線圈的面積S不變,磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B變化,則求解電荷量的表達(dá)式為Q=

3.若磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B與線圈的面積S均變化,則求解電荷量的表達(dá)式為Q=

例1如圖1所示,虛線MN左側(cè)空間存在垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。紙面內(nèi)有一個(gè)圓心角θ=120°的扇形金屬線框OCD,半徑為r,線框圍成的回路電阻為R,頂角O在虛線MN上。當(dāng)金屬線框繞頂角O在紙面內(nèi)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),下列說(shuō)法中正確的是( )。

圖1

解析：在線框轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中,線圈進(jìn)入磁場(chǎng)的時(shí)間,線框中有電流的時(shí)間選項(xiàng)A 錯(cuò)誤。線框切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),感應(yīng)電流選項(xiàng)B 錯(cuò)誤。線框進(jìn)入磁場(chǎng)的過(guò)程中,通過(guò)線框某截面的電荷量,選項(xiàng)C 錯(cuò)誤。線框持續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,線框中電流的有效值滿足I2有RT=I2R·,解得I有=,選項(xiàng)D 正確。

規(guī)律總結(jié)：在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,因磁通量變化而產(chǎn)生感應(yīng)電流,求解通過(guò)導(dǎo)體某截面的電荷量,則可直接運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。若感應(yīng)電流是交變電流,則需注意交變電流的峰值、有效值、瞬時(shí)值和平均值這四值的區(qū)別和聯(lián)系。

二、利用電容的定義式和歐姆定律求電荷量

電容器的充放電問(wèn)題涉及電荷量的儲(chǔ)存與釋放,電容器存儲(chǔ)的電荷量由電容器兩端的電壓決定,電壓越大電容器儲(chǔ)存的電荷量也越大,計(jì)算電容器存儲(chǔ)的電荷量的公式為Q=CU,計(jì)算電容器存儲(chǔ)的電荷量的變化量的公式為ΔQ=CΔU。

例2在如圖2所示的電路中,電源的電動(dòng)勢(shì)E=10 V,內(nèi)阻忽略不計(jì),R1、R2、R3、R4均為阻值為20 Ω 的定值電阻,電容器的電容C=30 mF。初始狀態(tài)下開(kāi)關(guān)S 是斷開(kāi)的,現(xiàn)將開(kāi)關(guān)S閉合,則在閉合開(kāi)關(guān)S 后的較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi),通過(guò)電阻R4的電荷量是多少?

圖2

解析：當(dāng)開(kāi)關(guān)S斷開(kāi)時(shí),電源與電阻R1、R2串聯(lián),電阻R3、R4和電容器串聯(lián)后與R2并聯(lián),電容器所在支路可視為斷路,因此電阻R3、R4兩端的電壓為零,電容器兩端的電壓等于電阻R2兩端的電壓,且上極板電勢(shì)較高,帶正電,則電容器存儲(chǔ)的電荷量Q1==0.15 C。將開(kāi)關(guān)S 閉合后,電阻R1、R2串聯(lián)后與R3并聯(lián),電阻R4和電容器串聯(lián)后并聯(lián)在電阻R1兩端,電容器兩端的電壓等于電阻R1兩端的電壓,且上極板電勢(shì)較低,帶負(fù)電,則電容器存儲(chǔ)的電荷量Q2==0.15 C。在閉合開(kāi)關(guān)S 后的較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi),電容器的正負(fù)極發(fā)生變化,通過(guò)電阻R4的電荷量ΔQ=Q1+Q2=0.3 C。

規(guī)律總結(jié)：在含電容器的電路中,計(jì)算電容器存儲(chǔ)的電荷量,需要牢固掌握電路的串、并聯(lián)關(guān)系,熟練運(yùn)用歐姆定律和電容的定義式。

三、利用動(dòng)量定理求電荷量

如圖3所示,若導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌以速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng),則可以聯(lián)立公式E=BLv,I=,Q=It,求得通過(guò)導(dǎo)體棒的電荷量;若導(dǎo)體棒沿導(dǎo)軌做變速直線運(yùn)動(dòng),則可以運(yùn)用動(dòng)量定理BILΔt=BLQ=mΔv求得通過(guò)導(dǎo)體棒的電荷量

圖3

例3如圖4所示,兩平行金屬導(dǎo)軌P1Q1M1和P2Q2M2固定放置,其中P1Q1和P2Q2段為半徑r=0.8 m 的四分之一光滑圓弧軌道,O1和O2為對(duì)應(yīng)圓弧軌道的圓心,Q1、Q2在O1、O2正下方且為圓弧軌道和水平軌道的平滑連接點(diǎn),Q1M1和Q2M2段為足夠長(zhǎng)的粗糙水平軌道,并處于豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1 T,導(dǎo)軌間距L=1 m。兩導(dǎo)體棒1、2始終垂直于兩導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好,導(dǎo)體棒1、2的質(zhì)量均為m=1 kg,電阻均為R=1 Ω,導(dǎo)軌電阻不計(jì),導(dǎo)體棒1、2與水平軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2。初始時(shí)刻,導(dǎo)體棒2靜止在水平軌道上,與Q1Q2連線間的距離x1=3 m,導(dǎo)體棒1從與圓心等高的P1P2連線處由靜止釋放。當(dāng)導(dǎo)體棒1剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí),在導(dǎo)體棒2中點(diǎn)處施加一個(gè)與導(dǎo)軌平行且水平向右的恒力F=4 N,經(jīng)過(guò)時(shí)間t=0.5 s兩導(dǎo)體棒的速度相等。已知導(dǎo)體棒1、2在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中不會(huì)發(fā)生碰撞,取重力加速度g=10 m/s2。求:

圖4

(1)導(dǎo)體棒1 剛到達(dá)Q1Q2連線處時(shí)對(duì)導(dǎo)軌的壓力大小。

(2)0～0.5 s時(shí)間內(nèi)通過(guò)導(dǎo)體棒2 某截面的電荷量。

解析：(1)導(dǎo)體棒1從P1P2連線處下滑至Q1Q2連線處的過(guò)程中,根據(jù)動(dòng)能定理得,解得v0=4 m/s。導(dǎo)體棒1剛到達(dá)Q1Q2連線處時(shí),根據(jù)牛頓第二定律得根據(jù)牛頓第三定律得F壓=F支,解得F壓=30 N。

(2)導(dǎo)體棒1進(jìn)入磁場(chǎng)后,由導(dǎo)體棒1、2組成的系統(tǒng)所受合外力等于零,根據(jù)動(dòng)量守恒定律得mv0=2mv1,對(duì)導(dǎo)體棒1應(yīng)用動(dòng)量定理得--μmgt=mv1-mv0,通過(guò)導(dǎo)體棒2某截面的電荷量q=,解得q=1 C。

規(guī)律總結(jié)：在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,若研究對(duì)象在磁場(chǎng)力的作用下做變速運(yùn)動(dòng),則可以運(yùn)用動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律求解電荷量。

四、利用平均電流法求電荷量

在電磁感應(yīng)現(xiàn)象中,閉合電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流往往是隨時(shí)間變化的,求解電荷量的關(guān)鍵是計(jì)算感應(yīng)電流的平均值。

1.若閉合電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I隨時(shí)間t呈線性變化,即I=kt+b,則可以利用電流的平均值求解電荷量。

2.若閉合電路中產(chǎn)生的感應(yīng)電流I隨時(shí)間t呈非線性關(guān)系,當(dāng)利用I=求得的I是定值時(shí),可以代入公式q=It計(jì)算電荷量;當(dāng)利用I=求得的I是非定值時(shí),則可以利用I-t圖像與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積表示電荷量計(jì)算。

例4如圖5所示,兩足夠長(zhǎng)的光滑導(dǎo)軌固定在絕緣水平面上,導(dǎo)軌間距最窄處為一狹縫O,以O(shè)為原點(diǎn),水平向右為正方向建立x軸,兩導(dǎo)軌與x軸間的夾角均為α=37°,一阻值R=100 Ω 的電阻和電容C=4 000μF的不帶電電容器分別與導(dǎo)軌左端相連。x＞0的區(qū)域內(nèi)分布著垂直于紙面向內(nèi)的磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小沿y軸不變,沿x軸的變化滿足B=T,0＜x≤0.4 m;B=1 T,x＞0.4 m。導(dǎo)軌上一金屬棒與x軸垂直,在外力F作用下從O點(diǎn)開(kāi)始以速度v=0.5 m/s向右勻速運(yùn)動(dòng),金屬棒在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中與導(dǎo)軌始終保持良好接觸,不計(jì)金屬棒和導(dǎo)軌的電阻,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。求:

圖5

(1)金屬棒運(yùn)動(dòng)到x1=0.2 m 處時(shí),通過(guò)電阻R的電流。

(2)金屬棒從x1=0.2 m 處運(yùn)動(dòng)到x2=0.8 m 處的過(guò)程中,外力F與x的關(guān)系。

(3)金屬棒從x1=0.2 m 處運(yùn)動(dòng)到x2=0.8 m 處的過(guò)程中,通過(guò)金屬棒某截面的電荷量。

解析：(1)金屬棒運(yùn)動(dòng)到x1=0.2 m 處時(shí),磁感應(yīng)強(qiáng)度B1=2 T,金屬棒的有效切割長(zhǎng)度l=0.3 m,則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv=0.3 V,感應(yīng)電流

(2)在0.2 m≤x≤0.4 m 區(qū)域內(nèi),磁感應(yīng)強(qiáng)度,有效切割長(zhǎng)度則感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv=0.3 V,感應(yīng)電流I=3×10-3A,金屬棒受到的安培力F安=BIl=1.8×10-3N。在0.4 m＜x≤0.8 m區(qū)域內(nèi),感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),通過(guò)電阻的電流,通過(guò)電容器的電流1.5×10-3A,金屬棒受到的安培力F安=根據(jù)平衡條件可知,外力F與x的關(guān)系為F=1.8×10-3N,0.2 m≤x≤0.4 m;F=(5x+1)(N),0.4 m＜x≤0.8 m。

(3)在0.2 m≤x≤0.4 m 區(qū)域內(nèi),通過(guò)金屬棒某截面的電荷量q1=It1=1.2×10-3C。在0.4 m＜x≤0.8 m 區(qū)域內(nèi),通過(guò)電阻的電流I1隨時(shí)間均勻變化,通過(guò)電容器的電流I2保持不變,則通過(guò)金屬棒某截面的電荷量q2=2+I2t2=4.8×10-3C。

規(guī)律總結(jié)：在0.4 m＜x≤0.8 m 區(qū)域內(nèi),運(yùn)用電磁感應(yīng)定律和歐姆定律求得的通過(guò)電阻的電流I1隨位移x呈正比關(guān)系,可以采用平均電流法求解電荷量。