構(gòu)造『等時(shí)圓』 妙解經(jīng)典題

■河南省新鄉(xiāng)市第一中學(xué) 寧長(zhǎng)興

“等時(shí)圓”模型是以實(shí)際生活為依據(jù)的真實(shí)情景模型,它與日常生活生產(chǎn)聯(lián)系緊密。以“等時(shí)圓”模型為載體的試題,要求同學(xué)們?cè)谑炀氄莆談蜃兯僦本€運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)上,靈活建構(gòu)“等時(shí)圓”模型,實(shí)現(xiàn)問題的突破。下面舉例分析,供同學(xué)們參考。

一、“等時(shí)圓”模型的建立

如圖1所示,設(shè)圓中某一條弦與水平方向之間的夾角為α,圓的直徑為d。一質(zhì)點(diǎn)沿這條光滑弦做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)牛頓第二定律得加速度a=gsinα,根據(jù)幾何關(guān)系得位移s=dsinα,根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律得運(yùn)動(dòng)時(shí)間,因此所有小球從圓的頂端沿光滑弦軌道由靜止下滑到弦軌道與圓的交點(diǎn)或者從圓上的各個(gè)位置沿光滑弦軌道由靜止下滑到圓的底端所用的時(shí)間都相等。

圖1

二、利用“等時(shí)圓”模型規(guī)律求解經(jīng)典題

例1如圖2所示,P為一半徑為R的圓周的最低點(diǎn),光滑細(xì)桿PA放在圓周上。在光滑桿上套一個(gè)小環(huán),讓小環(huán)以某一初速度從最低點(diǎn)P拋出沿桿運(yùn)動(dòng),當(dāng)它抵達(dá)A點(diǎn)時(shí),速度恰好為零,求小環(huán)沿桿從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間。

圖2

解析：小環(huán)沿桿從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)做勻減速直線運(yùn)動(dòng),根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知,小環(huán)從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)速度減小為零所需的時(shí)間與小環(huán)從A點(diǎn)由靜止下滑到P點(diǎn)所需的時(shí)間相等。根據(jù)“等時(shí)圓”模型的規(guī)律可知,小環(huán)從A點(diǎn)由靜止下滑到P點(diǎn)所需的時(shí)間

點(diǎn)評(píng):本題以小環(huán)沿光滑細(xì)桿上滑為背景,考查勻減速直線運(yùn)動(dòng)模型。根據(jù)題述情景,將勻變速直線運(yùn)動(dòng)模型轉(zhuǎn)化為“等時(shí)圓”模型,就可以化腐朽為神奇,快速求得時(shí)間。

例2如圖3所示,在設(shè)計(jì)三角形的屋頂時(shí),為了使雨水能盡快地流下,并認(rèn)為雨水是由靜止開始從屋頂上A點(diǎn)無(wú)摩擦地流下的。試分析在屋頂寬度(2L)一定的條件下,雨水流下所用時(shí)間最短時(shí),雨水離開屋頂時(shí)的速率。

圖3

解析：如圖4所示,過屋頂上A點(diǎn)作垂線AF與水平線BD垂直,垂足為F,并以L為半徑、O為圓心,作與AF、BF相切的圓,轉(zhuǎn)化為“等時(shí)圓”模型。根據(jù)“等時(shí)圓”模型的規(guī)律可知,從圓周上各點(diǎn)向最低點(diǎn)B引弦,則雨水從圓周上各點(diǎn)沿弦下滑到最低點(diǎn)B經(jīng)過的時(shí)間相等。從垂線AF引傾角不同的屋頂AB、CB、EB、…,則在不同傾角的屋頂中,只有CB是圓的弦,而其他的均為圓的割線,雨水沿弦CB流下所用的時(shí)間最短。根據(jù)幾何關(guān)系可知,弦CB與水平方向之間的夾角為45°,即CF=BF=L。根據(jù)機(jī)械能守恒定律得,解得雨水離開屋頂時(shí)的速率

圖4

點(diǎn)評(píng):本題以雨水沿屋頂下流為背景,考查勻加速直線運(yùn)動(dòng)模型。根據(jù)題述情景,實(shí)現(xiàn)斜面模型到“等時(shí)圓”模型的轉(zhuǎn)化,則可巧妙找到時(shí)間最短對(duì)應(yīng)的屋頂傾角。

1.過空間任一點(diǎn)A可作無(wú)限多個(gè)斜面,若將若干個(gè)小物體從A點(diǎn)分別沿傾角各不相同的光滑斜面同時(shí)滑下,則在同一時(shí)刻這些小物體所在位置構(gòu)成的面是( )。

A.球面 B.拋物面

C.水平面 D.無(wú)法確定

2.如圖5所示,位于豎直面內(nèi)的圓環(huán)軌道與水平面相切于M點(diǎn),與豎直墻相切于A點(diǎn),豎直墻上另一點(diǎn)B與M點(diǎn)的連線和水平面之間的夾角為60°,C是圓環(huán)軌道的圓心。已知在同一時(shí)刻,甲、乙兩球分別從A、B兩點(diǎn)由靜止開始沿光滑傾斜直軌道運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn),丙球由C點(diǎn)自由下落到M點(diǎn)。則( )。

圖5

A.甲球最先到達(dá)M點(diǎn)

B.乙球最先到達(dá)M點(diǎn)

C.丙球最先到達(dá)M點(diǎn)

D.三個(gè)球同時(shí)到達(dá)M點(diǎn)

參考答案：1.A 2.C