利用向量法求空間角的大小

■陜西省禮泉縣第一中學(xué) 魏文宏

立體幾何作為綜合考查同學(xué)們的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的重要載體,是高考數(shù)學(xué)必考內(nèi)容之一。近幾年來(lái),立體幾何試題難度相對(duì)穩(wěn)定,隨著課改的不斷推進(jìn),特別強(qiáng)調(diào)在“以能力立意”逐漸轉(zhuǎn)向“以素養(yǎng)立意”為命題原則的背景下,立體幾何試題穩(wěn)中有變,近幾年從難到易,再由易到難,今后將更加突出考查同學(xué)們的空間想象能力、推理論證能力及運(yùn)算求解能力,下面我們主要研究空間角的命題。

命題角度一、求異面直線的夾角

例1如圖1所示,圓錐底面半徑為3,OP為圓錐的高,已知圓錐的側(cè)面積為15π,D為PA的中點(diǎn),∠AOC=

圖1

(1)求圓錐的體積;

(2)求異面直線CD與AB所成角。

解析:(1)設(shè)圓錐曲線的母線為l,又圓錐的底面半徑為3,所以r=3,所以S側(cè)=πrl=3πl(wèi)=15π,所以l=5,即PA=PB=5,所以圓錐的高h(yuǎn)=OP==4,所以圓錐的體積V=×9×4=12π。

(2)方法一:如圖2 所示,取OA的中點(diǎn)E,連接DE,CE,AC。因?yàn)镈E是△AOP的中位線,所以DE∥OP。因?yàn)镺P垂直于底面,所以DE垂直于底面,所以DE⊥AB,易知CA=CO,因?yàn)镋為OA的中點(diǎn),所以CE⊥OA,即AB⊥CE。因?yàn)镃E∩DE=E,CE,DE?平面CDE,所以AB⊥平面CDE。又CD?平面CDE,所以AB⊥CD,即異面直線AB與CD所成角為

圖2

圖3

圖4

方法點(diǎn)評(píng):兩條異面直線所成角的求法:(1)平移法:利用平移直線法求解的實(shí)質(zhì)就是將空間兩條直線所成角轉(zhuǎn)化為平面三角形的內(nèi)角去求解。(2)向量法有兩種:一是建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)求解;二是利用基向量結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)求解。(3)余弦定理法:關(guān)鍵是找到兩條異面直線中的一條在包含另一條直線的平面內(nèi)的射影。

命題角度二、求線面角

設(shè)直線l的方向向量為m,平面α的一個(gè)法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,則0≤θ≤,sinθ=|cos|=

例2如圖5 所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,BC∥AD,∠BAD=90°,PA=AD=4,AB=2BC=2。

圖5

圖6

圖7

方法點(diǎn)評(píng):利用向量求線面角的方法:(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)。(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角。用向量法破解此類(lèi)線面所成角問(wèn)題的關(guān)鍵:①用定理,利用平行或垂直的判定定理,明確寫(xiě)出所證明的推理過(guò)程,注意推理的嚴(yán)謹(jǐn)性;②建系,找出(或作出)兩兩垂直的三條直線,建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;③求向量,先分別求出幾何體相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),利用“終減起”,求出直線的方向向量,利用賦值法求出平面的法向量等;④用公式,求出兩向量夾角的余弦值;⑤得結(jié)論,根據(jù)向量夾角與線面角的關(guān)系,將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間線面角。用幾何法破解此類(lèi)線面所成角問(wèn)題的關(guān)鍵是:①會(huì)轉(zhuǎn)化,即把線面所成角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到面的距離d與斜線段長(zhǎng)m的問(wèn)題;②求距離,常利用等體積、等面積法等,求d;③用公式,線面所成角的正弦值為

命題角度三、求二面角的三角函數(shù)值

設(shè)向量m為平面α的一個(gè)法向量,向量n為平面β的一個(gè)法向量,平面α與平面β所成的二面角為θ,則0≤θ≤π,cosθ=cos

例3如圖8 所示,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,點(diǎn)D在邊BC上,E為B1C1的中點(diǎn)。

圖8

(1)如果D為BC的中點(diǎn),求證:平面BA1E∥平面C1DA;

解析:(1)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,因?yàn)镈,E分別為BC,B1C1的中點(diǎn),所以EC1■BD,所以四邊形BDC1E為平行四邊形,所 以BE∥DC1。又因?yàn)锽E?平面C1DA,DC1?平面C1DA,所以BE∥平面C1DA。同理可證A1E∥平面C1DA。又A1E∩BE=E,A1E,BE?平面BA1E,所以平面BA1E∥平面C1DA。

圖9

方法點(diǎn)評(píng):利用向量法確定二面角大小的關(guān)鍵是:先分別求出二面角的兩個(gè)半平面的法向量,然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小。

總之,高考試題源于教材,又高于教材,許多高考題是教材的改編,立體幾何內(nèi)容的備考復(fù)習(xí)必須回歸教材,落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法與基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì),熟悉空間角的概念是解決此類(lèi)問(wèn)題的前提,包括涉及的最值范圍問(wèn)題,也是轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的二次函數(shù)性質(zhì)及基本不等式求解。利用空間向量解決空間角問(wèn)題時(shí)要注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性、計(jì)算的準(zhǔn)確性,在平時(shí)的訓(xùn)練中,我們可以靈活選擇運(yùn)用向量法和幾何法從不同角度解決,通過(guò)對(duì)比體會(huì)向量法的優(yōu)勢(shì)。