立體幾何中空間角的易錯(cuò)題剖析

■河南省信陽市固始縣信合外國(guó)語高級(jí)中學(xué) 殷武娟

易錯(cuò)點(diǎn)1.忽略異面直線所成角的范圍

例1(2023 年四川省宜賓市第三中學(xué)校高二期中(理))如圖1所示,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=120°,E為BB′的中點(diǎn),則異面直線CE與C′A所成角的余弦值為( )。

圖1

錯(cuò)解:選A。如圖2 所示,直三棱柱ABC-A′B′C′向上方補(bǔ)形為直三棱柱ABCA″B″C″,其中A′,B′,C′分別為各棱的中點(diǎn),取B′B″的中點(diǎn)D′,可知CE∥C′D′,異面直線CE與C′A所成角即為C′D′與C′A所成角。設(shè)CB=2,則C′D′=,C′A=2,AD′=,所以cos∠AC′D′=

圖2

易錯(cuò)點(diǎn)2.混淆線面角和平面的法向量與直線方向向量夾角的關(guān)系致錯(cuò)

例2(2023屆百師聯(lián)盟高三上學(xué)期11月份聯(lián)考)如圖3,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,O為BC的中點(diǎn),PB=PC=,PD=BC=2AB=2。

圖3

(1)求證:平面PBC⊥平面ABCD。

(2)求直線AD與平面PCD所成角的正弦值。

錯(cuò)解:(1)證明過程略。

(2)由(1)知,PO⊥平面ABCD,取AD的中點(diǎn)Q,連接OQ,易知OQ,OC,OP兩兩互相垂直。

圖4

易錯(cuò)點(diǎn)3.忽略兩平面法向量的夾角與二面角平面角的關(guān)系致錯(cuò)

例3(2023 屆吉林省長(zhǎng)春市高三上學(xué)期11 月份一模)如圖5所示的幾何體是由棱臺(tái)ABC-A1B1C1和棱錐DAA1C1C拼接而成的組合體,其底面四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2 的菱形,且∠BAD=60°,BB1⊥平面ABCD,BB1=B1C1=1。求二面角A1-BDC1的余弦值。

圖5

圖6

錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中誤認(rèn)為兩平面法向量的夾角就等于二面角的平面角,實(shí)際上二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)。

正解:前面同錯(cuò)解。

由圖可知二面角A1-BD-C1為銳角,故二面角A1-BD-C1的余弦值為

易錯(cuò)點(diǎn)4.混淆直線與平面的夾角和二面角的平面角致錯(cuò)

圖7

圖8

錯(cuò)因分析:錯(cuò)解中誤認(rèn)為兩平面法向量的夾角的余弦值等于二面角的平面角的正弦值,混淆線面角和二面角的求法。

正解:(2)前面同錯(cuò)解。