立體幾何試題精選

■湖北省巴東縣第三高級中學 廖慶偉

1.如圖1所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1。

圖1

(1)求證:BF⊥DE;

(2)當B1D為何值時,平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最大?

2.如圖2 所示,在三棱錐D-ABC中,二面角D-AB-C是直二面角,AB⊥BD,且AB=BD,AC=BC,P為CD上一點,且BP⊥平面ACD。E,F分別為棱DA,DC上的動點,且=λ。

圖2

(1)求證:AC⊥BC;

(2)若平面EFB與平面ABC所成角的余弦值為,求λ的值。

3.在如圖3所示的多面體中,平面ABCD是邊長為2 的正方形,平面PDCQ⊥平面ABCD,PD⊥DC,E,F,G分別為棱BC,AD,PA的中點。

圖3

(1)求證:EG∥平面PDCQ;

(2)已知二面角P-BF-A的余弦值為,求四棱錐P-ABCD的體積。

4.如圖4所示,已知四邊形ABCD為平行四邊形,點E在AB上,AE=2EB=2,且DE⊥AB。以DE為折痕把△ADE折起,使得點A到達點F的位置,且∠FEB=60°。

圖4

(1)求證:平面BFC⊥平面BDC;

(2)若直線DF與平面BCDE所成角的正切值為,求點C到平面DEF的距離。

5.如圖5 所示,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,PD的中點為F,AB的中點為G。請從下面的兩個條件中任選一個,補充在下面的橫線上,并作答。

圖5

(1)判斷直線AF與平面PCG是否平行。若平行,給出證明;若不平行,請說明理由。

(2)若____,求二面角F-AC-B的余弦值。

6.如圖6 所示,在正四棱錐S-ABCD中,SA=4,AB=2,E為 棱SC上 的 動點。

圖6

(1)若E為棱SC的中點,求證:SA∥平面BDE;

(2)若E滿足SE=3EC,求異面直線SA與BE所成角的余弦值。

7.如圖7所示,在四棱錐P-ABCD中,平面ABCD⊥平面PCD,底面ABCD為梯形,AB∥CD,AD⊥DC,且AB=1,AD=DC=DP=2,∠PDC=120°。

圖7

(1)求證:AD⊥PC;

(2)從①平面PAB與平面ABC所成的銳二面角,②二面角P-BD-C,③二面角P-BC-D這三個條件中任選一個,補充在橫線上,并作答。求____的余弦值。

8.如圖8 所示,在多面體ABCDEF中,底面四邊形ABCD是正方形,ED⊥平面ABCD,平面FBC⊥平面ABCD,BF⊥CF,DE=AD=2。

圖8

(1)求多面體ABCDEF的體積的最大值;

(2)當多面體ABCDEF的體積取最大值時,求直線DF與平面EBC所成角。

9.如圖9所示,在幾何體ABCDFE中,四邊形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF=2BE=2,EF=3。

圖9

(1)求證:平面ACF⊥平面BEFD;

(2)若二面角A-EF-C是直二面角,求直線AE與平面ABCD所成角的正切值。

10.如圖10 所示,已知AB是圓O的直徑,且長為4,C是圓O上異于A,B的一點,點P到A,B,C的距離均為。設二面角P-AC-B與二面角P-BC-A的大小分別為α,β。

圖10

圖11

參考答案:

圖12

2.(1)因為平面DAB⊥平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,AB⊥BD,且BD?平面ABD,所以BD⊥平面ABC。又AC?平面ABC,所以BD⊥AC。又BP⊥平面ACD,AC?平面ACD,所以BP⊥AC。又因為BP∩BD=B,BP,BD?平面BCD,所以AC⊥平面BCD。又BC?平面BCD,所以AC⊥BC。

圖13

(2)因為平面PDCQ⊥平面ABCD,平面PDCQ∩平 面ABCD=CD,PD⊥DC,PD?平面PDCQ,所以PD⊥平面ABCD。

圖14

圖15

圖16

圖17

圖18

6.(1)連接AC交BD于點O,連接OE,因為四棱錐S-ABCD為正四棱錐,所以四邊形ABCD為正方形,所以O為AC的中點。因為E為棱SC的中點,所以OE∥SA。因為OE?平面BDE,SA?平面BDE,所以SA∥平面BDE。

圖19

7.(1)因為平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面PCD=CD,AD?平 面ABCD,AD⊥DC,所以AD⊥平面PCD。又PC?平面PCD,所以AD⊥PC。

(2)在平面PCD內過點D作DH⊥DC,交PC于H。如圖20,以D為坐標原點,DA,DC,DH所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系Dxyz,則D(0,0,0),P(0,-1),A(2,0,0),N(2,1,0),C(0,2,0)。

圖20

圖21

圖22

9.(1)因為四邊形ABCD是菱形,所以AC⊥BD。因為BE⊥平面ABCD,所以BE⊥AC。因為BD∩BE=B,所以AC⊥平面BEFD,所以平面ACF⊥平面BEFD。

(2)設AC與BD的交點為O,由(1)得AC⊥BD,以O為坐標原點,OA,OB所在直線分別為x軸和y軸,過點O作垂直于平面ABCD的直線為z軸,建立如圖23所示的空間直角坐標系O-xyz,因為BE⊥平面ABCD,所以BE⊥BD,因為DF∥BE,所以DF⊥BD,所以BD2-EF2+(DF-BE)2=8,所以BD=。

圖23

故直線AE與平面ABCD所成角的正切值為。

10.(1)連接PO,OC。因為PA=PB,O為AB的中點,所以PO⊥AB。因為C是圓O上異于A,B的一點,AB是圓O的直徑,所以AC⊥BC,從而AO=CO。又因為PA=PC,PO=PO,所以△PAO≌△PCO,所以∠POC=∠POA,即PO⊥AC。因 為AO,CO?平面ABC,AO∩CO=O,所以PO⊥平面ABC。如圖24,分別取AC,BC的中點M,N,連接PM,OM,PN,ON,則在圓O中,OM⊥AC。由PO⊥平面ABC,得PO⊥AC。又PO∩OM=O,故AC⊥平面PMO,所以AC⊥PM。

圖24

所以∠PMO=α。同理,∠PNO=β。

圖25

圖26