“田”格等比定理

陸敬山

(上海市崇明中學(xué) 202150)

“田”字格是一種常見(jiàn)圖形，它普遍存在于凸四邊形之中.例如凸四邊形ABCD中，點(diǎn)P1,P2分別為對(duì)邊AB,CD上的點(diǎn)，點(diǎn)Q1,Q2為另一組對(duì)邊BC,AD上的點(diǎn)，P1P2與Q1Q2交于點(diǎn)O,(如圖1)，田字格就是指這類圖形，圖中包含了三對(duì)橫向線段AQ2，Q2D，P1O，OP2，BQ1，Q1C，三對(duì)縱向線段AP1，P1B，DP2，P2C，Q2O，OQ1，本文所說(shuō)的“田”格等比定理就是以這幾對(duì)線段成等比關(guān)系作為條件或作為結(jié)論的定理，如未特別說(shuō)明，文中的四邊形是指平面上的凸四邊形.

圖1

1 接受啟發(fā)，雛形初現(xiàn)

如圖2所示，有一條公共邊的兩個(gè)三角形拼接到一起，兩條截線相交，且交點(diǎn)落在公共邊所在直線上，線段之間會(huì)有怎樣的比例關(guān)系，實(shí)際上問(wèn)題來(lái)到了四邊形中，進(jìn)而又想到了圖1中的“田”字格.

圖2

受到梅涅勞斯定理的啟發(fā)，發(fā)現(xiàn)下面的問(wèn)題：

本問(wèn)題中是MP與QN交于一點(diǎn)T，且點(diǎn)T落在DB的延長(zhǎng)線上，如果是MN與PQ交于四邊形內(nèi)部一點(diǎn)O(如圖3)，添加什么樣的比例關(guān)系？又能得出怎樣的結(jié)論？

圖3

(1)直線MP,NQ,BD三線互相平行或交于一點(diǎn).

圖4

所以MP∥BD,NQ∥BD.

從而MP∥NQ∥BD.

所以MP不平行于BD,NQ不平行于BD.

因?yàn)門(mén),T′都為線段DB的外分點(diǎn)，從而T,T′重合，即PM,BD,CN三線共點(diǎn).

故直線MP,NQ,BD三線互相平行或交于一點(diǎn).

(2)如果ABCD為平行四邊形，則結(jié)論(2)顯然成立.

如果ABCD不是平行四邊形，可假設(shè)AB不平行于CD,如圖4，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交PM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，再過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交PN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，連接RQ及SQ，在△DRQ及△CSQ中，DR∥AB,CS∥AB.

所以DR∥CS，∠RDQ=∠SCQ.

從而△DRQ∽△CSQ.即∠DQR=∠CQS.

所以結(jié)論2成立.本文將問(wèn)題2稱為田格等比定理的預(yù)備定理.

2 千呼萬(wàn)喚始出來(lái)

證明如圖4，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交PM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，再過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交PN的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，連接RQ及SQ，則可得△APM∽△DRM,△BPN∽△CSN.

所以RQ∥MO,QS∥ON.

所以R，Q，S三點(diǎn)共線.

所以RS∥MN.

注本人將問(wèn)題3稱為田格等比定理，其中AB不平行于CD是必要的，如果AB∥CD，則R，D，Q三點(diǎn)共線，S，C，Q也三點(diǎn)共線，△QPD及△QSC不存在，定理不成立.

3 理定而后可道

首先定義等分網(wǎng)格圖：在四邊形ABCD中，點(diǎn)列P1，P2，P3，…，Pn-1.順次將ABn等分，點(diǎn)列Q1，Q2，Q3，…，Qn-1順次將DCn等分，M1，M2，M3，…，Mm-1順次將ADm等分，N1，N2，N3，…，Nm-1順次將邊BCm等分，則連線PiQi及MjNj(i=1，2，3，…，n-1,j=1，2，3，…，m-1)連同四邊形ABCD組成的圖形稱為四邊形ABCD的等分網(wǎng)格圖(如圖5).由田格等比定理可得出下面推論：

圖5

在平面n×m等分網(wǎng)格圖ABCD中，設(shè)PiQi與MjNj(i=1，2，3，…，n-1,j=1，2，3，…，m-1)的交點(diǎn)為Oij,則Oij為PiQi的第j個(gè)m等分點(diǎn)，且為MjNj的第i個(gè)等分點(diǎn).

所以推論的結(jié)論成立.

4 打鐵還需自身硬

師者，所以傳道授業(yè)解惑也.作為一名中學(xué)數(shù)學(xué)教師，要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，自身必須扎實(shí)過(guò)硬和技高一籌，而定理的發(fā)現(xiàn)一般是經(jīng)歷嚴(yán)密的邏輯推理過(guò)程，甚至是曲折且漫長(zhǎng)，但長(zhǎng)期的堅(jiān)持不懈定能助長(zhǎng)學(xué)生的推理習(xí)慣，本文就是將田格等比定理的生成過(guò)程詳盡闡述并展現(xiàn).大家知道邏輯推理能力的提升更是核心素養(yǎng)培育的任務(wù)之一，希望更多師者投身到研究中來(lái)，努力提升自身的核心素養(yǎng).