高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)解題策略及其教學(xué)方法探微

馬愛平

【摘要】導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，也是高考數(shù)學(xué)的必考知識(shí)點(diǎn)，教師應(yīng)關(guān)注導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)活動(dòng)，強(qiáng)化對(duì)導(dǎo)數(shù)解題策略及其教學(xué)方法的研究，以實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生導(dǎo)數(shù)解題能力的培養(yǎng).文章結(jié)合高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，提出了一些導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)策略，以期幫助高中數(shù)學(xué)教師明確教學(xué)方向，提高高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)的效果.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；解題策略；教學(xué)方法

在高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，導(dǎo)數(shù)是至關(guān)重要的組成部分，且高考數(shù)學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)大量導(dǎo)數(shù)題型，這就要求教師在教學(xué)中向?qū)W生全面講解導(dǎo)數(shù)知識(shí)、培養(yǎng)其解題能力.但由于導(dǎo)數(shù)部分知識(shí)抽象性較強(qiáng)，且涉及的公式較為繁雜，學(xué)生經(jīng)常會(huì)在學(xué)習(xí)與解題中產(chǎn)生一些問題.針對(duì)該情況，教師應(yīng)深化解題策略教學(xué)，并立足實(shí)際探究更加科學(xué)的教學(xué)方法.

一、導(dǎo)數(shù)解題策略在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

從導(dǎo)數(shù)本身的含義出發(fā)，加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)解題策略教學(xué)，可以幫助學(xué)生深入理解導(dǎo)數(shù)的概念與意義，掌握“基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則”“簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)”等知識(shí)點(diǎn)，強(qiáng)化公式記憶，高效實(shí)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)初級(jí)教學(xué)目標(biāo).而從導(dǎo)數(shù)的功能來說，導(dǎo)數(shù)與高中數(shù)學(xué)函數(shù)、方程、不等式、向量等教學(xué)內(nèi)容有著極高的關(guān)聯(lián)性，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決相關(guān)問題，可以化繁為簡(jiǎn)，在有效提高解題效率的基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生養(yǎng)成從不同角度分析問題的良好習(xí)慣.所以，無論對(duì)導(dǎo)數(shù)本身來說，還是幫助學(xué)生挖掘函數(shù)、方程等問題的全新解題思路，教師都應(yīng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，進(jìn)一步提高導(dǎo)數(shù)解題策略的教學(xué)力度.

二、高中數(shù)學(xué)常見導(dǎo)數(shù)題型與解題策略

雖然導(dǎo)數(shù)與高中數(shù)學(xué)函數(shù)等核心內(nèi)容聯(lián)系緊密，但是在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)時(shí)，很多學(xué)生難以獨(dú)立地在導(dǎo)數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)之間建立起聯(lián)系，明確其關(guān)聯(lián)性.這就要求教師研究解題策略和教學(xué)時(shí)，先幫助學(xué)生明確導(dǎo)數(shù)知識(shí)與其他內(nèi)容的聯(lián)系，再根據(jù)知識(shí)關(guān)聯(lián)性向?qū)W生說明導(dǎo)數(shù)被應(yīng)用于解決不同數(shù)學(xué)問題時(shí)的具體解題策略.教師可以先發(fā)揮專業(yè)優(yōu)勢(shì)，歸納高中數(shù)學(xué)常見的導(dǎo)數(shù)題型及解題策略，再深化例題教學(xué)，篩選典型例題，帶領(lǐng)學(xué)生剖析其解題策略.

（一）導(dǎo)數(shù)與曲線切線方程問題

當(dāng)函數(shù)表達(dá)式、曲線切線方程、函數(shù)某處極值已知，但函數(shù)表達(dá)式中存在未知數(shù)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過極值與切線方程逆推函數(shù)未知數(shù)，從而求得其表達(dá)式.之后，根據(jù)其導(dǎo)數(shù)關(guān)系式，代入?yún)^(qū)間范圍，判斷函數(shù)極值.最后，基于極值關(guān)系，求出函數(shù)最值.師生合理分析例題，總結(jié)解題策略，使學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際情況，逆用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值解題策略，解決復(fù)雜的函數(shù)問題.

三、基于解題策略的高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)方法

（一）培養(yǎng)高中生良好讀題能力與習(xí)慣

高中生讀題習(xí)慣的良好與否在一定程度上影響著他們的解題能力，以往高中生之所以會(huì)在導(dǎo)數(shù)解題中出現(xiàn)大量錯(cuò)誤，正是因?yàn)闆]有形成良好的解題習(xí)慣，在未讀懂題意時(shí)就盲目地進(jìn)行解題.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為促進(jìn)學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)解題策略，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生良好的讀題能力與習(xí)慣，先讓學(xué)生會(huì)讀題、讀懂題，再讓學(xué)生會(huì)解題、能解題并解答出正確答案.再者，究“讀題”本質(zhì)也是一種解題策略，而且是最基本的解題策略，學(xué)生只有在該策略實(shí)踐中獲得準(zhǔn)確捕捉解題信息的能力，才能實(shí)現(xiàn)更理想的解題學(xué)習(xí)目標(biāo).

（2）思考函數(shù)f（x）是否在R上單調(diào)遞減，若是，請(qǐng)說明a的取值范圍.若不是，請(qǐng)闡述你的觀點(diǎn)；

（3）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

教師應(yīng)先提醒學(xué)生對(duì)不同小問的問題規(guī)律展開分析，再提醒他們將每一小問視為獨(dú)立的問題.這是因?yàn)?，題目中的三個(gè)小問看似存在聯(lián)系，實(shí)際上每一個(gè)小問中的前提條件都是通過假設(shè)給出的，若學(xué)生盲目地認(rèn)為三個(gè)小問之間存在聯(lián)系，將前一個(gè)小問的解題結(jié)果與后一個(gè)小問的前提條件混淆，極易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤、陷入思維誤區(qū).

學(xué)生在教師提醒下形成“在解答函數(shù)題遇到不同小問時(shí)，一定要對(duì)不同小問是否存在內(nèi)在聯(lián)系展開嚴(yán)謹(jǐn)分析，避免將通過假設(shè)條件求解的結(jié)果應(yīng)用在無關(guān)聯(lián)小問的解題過程中”的意識(shí)，建立正確的讀題思維，掌握最基本的解題策略，能夠在面對(duì)導(dǎo)數(shù)解題任務(wù)時(shí)更謹(jǐn)慎、細(xì)致地對(duì)問題展開思考和分析.

（二）注重對(duì)導(dǎo)數(shù)綜合習(xí)題的有效運(yùn)用

一般來說，通過課堂有效學(xué)習(xí)和日常解題練習(xí)，面對(duì)基礎(chǔ)導(dǎo)數(shù)習(xí)題，高中生可以較為輕松地解答出正確答案.但是在面對(duì)綜合性較強(qiáng)的習(xí)題時(shí)，學(xué)生易產(chǎn)生新的困惑，如在解答中混淆解題步驟，在關(guān)鍵步驟應(yīng)用錯(cuò)誤的公式等.為規(guī)避這一問題，高中數(shù)學(xué)教師在導(dǎo)數(shù)解題策略教學(xué)中，應(yīng)注重對(duì)綜合性習(xí)題的有效運(yùn)用，在選擇并運(yùn)用合適例題的基礎(chǔ)上，逐步引導(dǎo)學(xué)生分析解題步驟和思維，并借此機(jī)會(huì)培養(yǎng)其正確的綜合性解題意識(shí)、向其講解解答綜合性題目的有效策略.

本題綜合性較強(qiáng)，既考查學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)公式掌握情況，又考驗(yàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)極值導(dǎo)數(shù)解題策略掌握情況與知識(shí)的應(yīng)用能力.教師可以按照如下方法組織教學(xué)：

教師以學(xué)生為主體，指導(dǎo)他們獨(dú)立分析題目并捕捉關(guān)鍵解題信息，確定解題策略.

生2：在求解出未知數(shù)后，通過求導(dǎo)計(jì)算確定函數(shù)單調(diào)性，再通過單調(diào)區(qū)間分析極值，可以輕松求解出函數(shù)極值.

教師先對(duì)學(xué)生分析結(jié)論表示認(rèn)可，再鼓勵(lì)他們進(jìn)入解題實(shí)踐狀態(tài)、解答題目.同時(shí)，在學(xué)生解題過程中適當(dāng)提問，幫助其理清解題思路，明確解題策略.

師：你們的思維很清晰，答案也正確.那么，在這次解題中，你發(fā)現(xiàn)了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)極值題目的哪些解題策略呢？（問題指向?qū)忸}策略的總結(jié)）

生1：想要準(zhǔn)確求解函數(shù)極值，首先應(yīng)確定其定義域.

生2：在求解定義域的基礎(chǔ)上，還應(yīng)通過判斷f′（x）正負(fù)關(guān)系確認(rèn)函數(shù)單調(diào)性.

生3：只有知道了函數(shù)單調(diào)性，知道函數(shù)在定義域內(nèi)的增減順序，才能準(zhǔn)確判斷其極大值、極小值位置和數(shù)量、數(shù)值.

生4：極值不唯一，并非有極大值就要有極小值，一個(gè)函數(shù)也不一定只有一個(gè)極大（小）值.

學(xué)生積極分享自己在教師指導(dǎo)下的綜合性解題探究過程中發(fā)現(xiàn)、掌握的重要解題策略，總結(jié)思維實(shí)現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題教學(xué)中的滲透，學(xué)生通過及時(shí)總結(jié)進(jìn)一步夯實(shí)對(duì)解題策略的掌握，得以將解題能力提升至新的層次.

（三）重視并發(fā)揮典型錯(cuò)題的教學(xué)價(jià)值

學(xué)生的成長(zhǎng)過程，是一個(gè)不斷試錯(cuò)、改錯(cuò)的過程.在高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題策略教學(xué)中，學(xué)生出現(xiàn)的共性問題是至關(guān)重要的教學(xué)資源，可以為教師落實(shí)解題策略教學(xué)提供關(guān)鍵參考.所以，教師應(yīng)深入剖析學(xué)生出現(xiàn)的共性問題，歸納其典型錯(cuò)誤，再利用典型錯(cuò)題，完善高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題策略教學(xué).教師可以特別設(shè)置“錯(cuò)題反思課”，分類出示典型錯(cuò)題，先引導(dǎo)學(xué)生分析錯(cuò)因，再對(duì)錯(cuò)題進(jìn)行講解.最后，將課堂主體地位交還給學(xué)生，使其自主總結(jié)典型錯(cuò)題糾錯(cuò)方法，說明在實(shí)際問題情境中，如何有效規(guī)避類似錯(cuò)誤.這樣，學(xué)生最大限度地體驗(yàn)了“錯(cuò)題分析”“糾錯(cuò)改正”的過程，強(qiáng)化錯(cuò)題記憶，避免出現(xiàn)“在同一個(gè)地方摔倒兩次”的情況.

例5 從邊長(zhǎng)為2a的正方形鐵片四個(gè)角各截去一小塊邊長(zhǎng)為x的小正方形，再將四邊向上折起，做成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體鐵盒，要求長(zhǎng)方體的高x與底面正方形的邊長(zhǎng)比值不超過常數(shù)t.若使鐵盒容積V有最大值，則x應(yīng)滿足哪些條件？

通過分析典型例題，學(xué)生明確“忽視分類討論”常見錯(cuò)因，總結(jié)需要分類討論的題型特點(diǎn)，可有效杜絕重復(fù)出錯(cuò)，使導(dǎo)數(shù)解題策略教學(xué)有效性得到更穩(wěn)固的保障.

結(jié) 語

綜上，文章以人教A版高中數(shù)學(xué)教材為參考，著眼于導(dǎo)數(shù)知識(shí)，基于學(xué)生在解題中經(jīng)常出現(xiàn)的問題分析了優(yōu)化教學(xué)的具體方法，提出了培養(yǎng)高中生良好讀題能力與習(xí)慣、明確導(dǎo)數(shù)知識(shí)與其他內(nèi)容的聯(lián)系等教學(xué)建議.高中數(shù)學(xué)教師在導(dǎo)數(shù)教學(xué)過程中，可以上述建議為參考，在遵循主導(dǎo)性與主體性相結(jié)合的教學(xué)原則基礎(chǔ)上優(yōu)化導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)，深化對(duì)高中導(dǎo)數(shù)解題策略教學(xué)方法的分析，培養(yǎng)并提高高中生導(dǎo)數(shù)解題能力.

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