思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

陳妍

【摘要】思維導(dǎo)圖是利用圖表視覺形象化地表達知識的工具，借助思維導(dǎo)圖并結(jié)合問題串組織教學(xué)，能夠讓學(xué)生有效進行自主探索，實現(xiàn)思維過程的教學(xué)，進而幫助學(xué)生構(gòu)建完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，最終體會數(shù)學(xué)的精神.文章從以“舊”探“新”、設(shè)計活動、精選例題三個角度出發(fā)，并通過三個案例說明思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略，最后提出實現(xiàn)思維過程教學(xué)、實現(xiàn)“兩次倒轉(zhuǎn)”的教學(xué)機制、豐富學(xué)生基本活動經(jīng)驗的應(yīng)用策略，以供參考.

【關(guān)鍵詞】思維導(dǎo)圖；遷移；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用

【基金項目】福建省中青年教師教育科研項目（基礎(chǔ)教育研究專項）《新課程背景下培育學(xué)生深度學(xué)習(xí)新教材的有效途徑研究》；項目編號：JSZJ21067；（福建教育學(xué)院資助）

引 言

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常遇到學(xué)生反饋這樣的問題，明明上課都聽得懂但做作業(yè)時就屢屢碰壁，沒有思路.這是因為學(xué)生對知識僅停留在淺層的認(rèn)識上，只知道有這樣的一個概念、一條定理，并沒有真正理解知識的本質(zhì)，難以將知識串聯(lián)起來.數(shù)學(xué)知識是需要學(xué)生經(jīng)歷一系列豐富的教學(xué)活動習(xí)得的，當(dāng)遇到問題時則需要借助于過往積累的活動經(jīng)驗解決.

一、思維導(dǎo)圖概述

思維導(dǎo)圖最初作為一種高效記筆記和提高記憶的學(xué)習(xí)工具，以放射思維為基礎(chǔ)通過繪制導(dǎo)圖模擬人腦神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，導(dǎo)圖結(jié)構(gòu)包括中心主題與層級結(jié)構(gòu)，圖中關(guān)鍵詞類似于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的神經(jīng)元，由它可引發(fā)出各類關(guān)聯(lián).思維導(dǎo)圖依靠文字、符號、圖像鏈接和傳遞對應(yīng)的信息，實現(xiàn)知識點整理及知識間銜接.思維導(dǎo)圖引入教學(xué)，給學(xué)生提供了一個思維可視化的學(xué)習(xí)環(huán)境，用連線展示概念間的關(guān)系，描繪了知識與學(xué)習(xí)發(fā)生過程的一種映射.

二、思維導(dǎo)圖融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐案例

現(xiàn)階段，在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的過程中，教育更推崇以教師為主導(dǎo)，以學(xué)生為主體的教學(xué)模式，在教師的引領(lǐng)下，學(xué)生開展有目的的自主學(xué)習(xí)活動.筆者嘗試在教學(xué)中引入思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生積累課堂活動經(jīng)驗：給學(xué)生布置預(yù)習(xí)任務(wù)，以“舊”知識為生長點探索“新”知識，繪制思維導(dǎo)圖建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，從而讓學(xué)生了解整體知識網(wǎng)絡(luò)；在知識教學(xué)環(huán)節(jié)中，教師借思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生厘清探索路徑發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)；在解題教學(xué)過程中，教師整理解決問題的方法，同時串聯(lián)知識間的關(guān)系.下面筆者以人教A版必修第二冊中，第八章關(guān)于“垂直”關(guān)系的幾個教學(xué)環(huán)節(jié)為例，談?wù)劷柚季S導(dǎo)圖，豐富學(xué)生課堂學(xué)習(xí)經(jīng)驗的設(shè)計理念.

（一）以“舊”探“新”，幫助學(xué)生積累獨立認(rèn)識新知識的經(jīng)驗

案例1 “直線與平面垂直”課堂引入的情境創(chuàng)設(shè)

課前任務(wù)：預(yù)習(xí)課本“空間直線與平面垂直”內(nèi)容，完成本節(jié)思維導(dǎo)圖.

課堂引入問題：類比之前直線與平面平行的知識的學(xué)習(xí)過程，關(guān)于直線與平面的垂直，需要研究哪幾方面的內(nèi)容？

提問：研究方法是什么？

評注：學(xué)生通過預(yù)習(xí)生成的導(dǎo)圖，導(dǎo)圖里除了串聯(lián)著本章的知識，還有一些思維形成的過程，學(xué)生可以根據(jù)自己的情況將它補充完整.以“單元—課時”知識整體性思想讓學(xué)生閱讀“空間直線與平面垂直”整節(jié)內(nèi)容，完成思維導(dǎo)圖.通過繪制思維導(dǎo)圖培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成預(yù)習(xí)閱讀課本的習(xí)慣，也給學(xué)生積累了獨立認(rèn)識新知識的經(jīng)驗，然后帶著對新知識一些初淺的印象和問題進入課堂.通過思維導(dǎo)圖的鋪墊，喚醒學(xué)生之前關(guān)于“平行”內(nèi)容的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，借助經(jīng)驗繼續(xù)探索新知識.

（二）設(shè)計活動，幫助學(xué)生積累抽象問題本質(zhì)的經(jīng)驗

案例2 “直線與平面垂直”定義的生成

圖2為筆者關(guān)于概念生成這一教學(xué)環(huán)節(jié)繪制的“點的思維”導(dǎo)圖，“點的思維”指的是學(xué)生對某個特定知識點進行探索而產(chǎn)生的思維，這里即是對概念學(xué)習(xí)的一種思維.在引導(dǎo)教學(xué)的過程中結(jié)合問題鏈展開學(xué)習(xí).

問題：旗桿與地面有怎樣的位置關(guān)系？

追問1：大家都認(rèn)為旗桿與地面是垂直的，那如何理解“垂直”呢，大家認(rèn)識中的垂直是怎樣的或者說不垂直是怎樣的？

追問2：如何給直線和平面垂直下定義？（啟發(fā)：在研究直線和平面平行時，我們將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去分析和處理，在探索直線和平面垂直時，我們同樣可以采用類似“平面化”的思想進行研究）.

學(xué)生動手實驗：將鉛筆當(dāng)作旗桿，白紙為地面，當(dāng)鉛筆矗立在白紙上時，它與紙面上的直線有什么關(guān)系？（引導(dǎo)學(xué)生在過鉛筆與白紙的交點上畫直線，并利用三角板測量鉛筆與這些交線夾角.通過實驗學(xué)生都發(fā)現(xiàn)鉛筆所在的直線與這些交線都是垂直的）.

追問3：如何用符號語言描述直線與平面垂直的定義？

追問4：如果直線l與平面α垂直，l與平面α內(nèi)的任意一條直線有什么關(guān)系？

評注：學(xué)生直觀感知中的“垂直”和定義的內(nèi)涵存在一定的距離，通過先前的預(yù)習(xí)學(xué)生認(rèn)識了定義，但還是無法理解“直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直”這一性質(zhì).教師以旗桿為例，設(shè)計鉛筆垂直紙面，類比遷移之前的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題輔助學(xué)生分析和處理，讓學(xué)生通過動手操作，理解“任意直線”的含義.經(jīng)歷從實際生活的空間中抽象出幾何定義，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象核心素養(yǎng).三種語言的互相轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生體會“用數(shù)學(xué)的語言表達世界”.

（三）精選例題，幫助學(xué)生建立已知與未知轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗

案例3 “立體幾何”教學(xué)的研討過程

例題 如圖3，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求證：BC⊥平面PAB.

解后提問：例題中涉及線線垂直、線面垂直、面面垂直，大家是否能將這些垂直與前面學(xué)的平行關(guān)系整理出知識結(jié)構(gòu)圖？（學(xué)生整理如圖5）

這樣，通過思維導(dǎo)圖羅列題目條件及解決問題的思路，確定最后的目標(biāo)，使學(xué)生解題的思維過程得到顯化，加深了學(xué)生對解題的印象.數(shù)學(xué)問題往往需要學(xué)生將幾個知識點結(jié)合起來一起思考，借習(xí)題回顧知識，培養(yǎng)學(xué)生梳理知識結(jié)構(gòu)圖，通過前面定義與判定定理兩個“點的思維”的探究學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識點間的關(guān)系，延伸獲得“線的思維”導(dǎo)圖，即把知識點由此及彼地聯(lián)系起來進行思考.

三、思考與啟示

（一）實現(xiàn)思維過程教學(xué)

數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征，決定了數(shù)學(xué)具有發(fā)展學(xué)生理性思維的工具屬性.學(xué)習(xí)是一種從未知的情境出發(fā)探索問題解決方案的過程，也是一種復(fù)雜思維的互動過程.思維的發(fā)生絕不是從死記硬背、機械模仿開始的，它是“反思—問題生成—探究、批判—解決問題”的過程，要想獲得好的學(xué)習(xí)效果，那么免不了有一場深刻的思維活動.

首先，思維過程的教學(xué)能夠完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).學(xué)習(xí)效果與認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完整性是成正比的，簡單來說認(rèn)知結(jié)構(gòu)就是人腦中的知識結(jié)構(gòu)，在皮亞杰的認(rèn)識論中，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展是主客體相互作用的結(jié)果.《中國高考評價體系》中也提到了高考需考查學(xué)生的綜合性，綜合性要求學(xué)生具有完整的知識網(wǎng)絡(luò)，且能將不同模塊間的知識邏輯連接成整體.本節(jié)課筆者嘗試借助思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，課前學(xué)生通過預(yù)習(xí)了解知識整體結(jié)構(gòu)，課上教師從定義講解再到定理講解最后到應(yīng)用，設(shè)計由“點的思維”逐漸延伸到“線的思維”，結(jié)合問題鏈的形式引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中顯化思維生成導(dǎo)圖，最終將知識再次串聯(lián)起來.

其次，思維過程的教學(xué)能夠引導(dǎo)學(xué)生進行知識遷移.在一系列思維互動過程中，促使學(xué)生通過一次次的研究，感悟更具一般性的思想方法，慢慢學(xué)會解決數(shù)學(xué)問題的相似套路，最終形成數(shù)學(xué)的思維方式.比如本節(jié)課中，引導(dǎo)學(xué)生遷移類比直線與平面平行這一“點的思維”的研究套路，經(jīng)歷“直觀感知—猜想結(jié)論—操作確認(rèn)”的學(xué)習(xí)過程.

最后，思維過程的教學(xué)能夠讓學(xué)生體會知識背后的數(shù)學(xué)文化.數(shù)學(xué)知識源于對現(xiàn)實世界的抽象，揭示事物的本質(zhì)與規(guī)律，它不僅僅有運算推理，還有數(shù)學(xué)的思想、眼光、語言、精神.比如本節(jié)課在抽象定義環(huán)節(jié)中，雖然學(xué)生能夠直觀地感受到直線與平面垂直的關(guān)系，但將直觀感知轉(zhuǎn)化為定義還是有很大難度的，因此教師引導(dǎo)學(xué)生動手操作、觀察世界，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，逐步發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)，體會了定義生成的純粹性與完備性.

（二）實現(xiàn)“兩次倒轉(zhuǎn)”的教學(xué)機制

學(xué)生從課本中習(xí)得知識的過程，本身就具有高起點性，不需要體驗漫長的探索和試錯經(jīng)歷，打開課本就能得到前人對一系列現(xiàn)象抽象表達的成果.讓學(xué)生對知識直接從認(rèn)識開始，這就是學(xué)習(xí)的“第一次倒轉(zhuǎn)”，有目的地指向現(xiàn)成成果的學(xué)習(xí)，通過預(yù)習(xí)完成教師設(shè)計的任務(wù)及繪制思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生在“第一次倒轉(zhuǎn)”能對知識有初淺的意識，帶著這些初淺的意識進入教師主導(dǎo)的課堂，開啟教學(xué)的“第二次倒轉(zhuǎn)”.為了讓“第二次倒轉(zhuǎn)”能真正解決學(xué)生從認(rèn)識開始接觸高深知識遇到的困難，就要求教師在教學(xué)中要充分考慮學(xué)生與知識的心理距離和學(xué)習(xí)感受，順應(yīng)學(xué)生思維，讓學(xué)生能在教師的啟發(fā)下積極主動地參與學(xué)習(xí)活動，以知識的發(fā)生、發(fā)展過程為載體，適時適點地利用問題引發(fā)學(xué)生思維活動，讓課堂教學(xué)真正實現(xiàn)思維過程的教學(xué).

（三）豐富學(xué)生基本活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)就是源于對現(xiàn)實世界的抽象，抽象需要借助已有的經(jīng)驗對客觀事物的本質(zhì)進行概括歸納.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》里提到的“四基”中，就有一項是為學(xué)生提供必備的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，為促使學(xué)生自主探索、主動學(xué)習(xí)提供可能.然而，獲得新知識經(jīng)驗主要還是源于課堂，這就要求教師應(yīng)在充分了解學(xué)生知識儲備、思維過程、心理情緒等的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計具有明確指向性的課堂活動，調(diào)動學(xué)生參與的熱度.課堂上的學(xué)生絕不是一張白紙，教師應(yīng)注重知識與學(xué)生個體經(jīng)驗的相互轉(zhuǎn)化，利用生活中的一些例子與學(xué)生過往習(xí)得的知識，喚醒學(xué)生的經(jīng)驗，讓學(xué)生自覺融入課堂，使經(jīng)驗成為溝通學(xué)生學(xué)習(xí)與課本知識的橋梁.除了以真實情境融入課堂，教師還可以設(shè)計一系列開放的任務(wù)和動手操作的活動，讓學(xué)生合作交流，在不間斷的反思、質(zhì)疑和實踐中，利用已經(jīng)掌握的知識與積累的經(jīng)驗處理各類煩瑣、陌生的問題，從而獲得解決新問題的經(jīng)驗，提升了直觀想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

結(jié) 語

章建岳博士提到過：“只有思維過程的教學(xué)才能真正落實學(xué)生的‘四基和‘四能.”利用思維導(dǎo)圖將數(shù)學(xué)知識、方法、思想以圖形方式串聯(lián)起來，不僅能輔助學(xué)生的記憶，更能將思維外顯表達出來.因此，教師應(yīng)盡力化解教材內(nèi)容與學(xué)生思維、心理的矛盾，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真正發(fā)生、深度發(fā)生.

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