數(shù)形結(jié)合探截面 多元變通啟思維
——以一道希望杯題目一題多解探究為例

湛江市寸金培才學(xué)校(524033)莫家明

一、原題呈現(xiàn)

題目已知正四面體ABCD的棱長為6,點E,F分別是ΔABC、ΔACD的中心,點M在AB上,且AM=1,過M,E,F的平面截四面體ABCD,求截面的周長.

分析此題出自第三十屆“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽高一決賽第23 題.題目主要考查學(xué)生的空間想象能力“如何畫出截面”和運算能力“算截面的周長”,此題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的直觀想象和數(shù)學(xué)運算.

二、題目解析

如何根據(jù)條件求幾何體截面,需要一定的空間想象能力.這對于部分學(xué)生而言是難點.學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了點線面之間的從屬關(guān)系三條公理,在引導(dǎo)學(xué)生如何求截面問題上,教師通常利用求正方體的截面作為初始研究對象.由于截面至少與正方體的三個面相交,至多與六個面相交,所以截面的形狀只能是三角形、四邊形、五邊形、六邊形四種.截面與正方體每一個面的交線由兩個公共點決定,所以只要找到截而與正方體某個面的兩個公共點,就能作出截面與該面的交線[1].

根據(jù)求正方體截面可以延伸到求其他幾何體的截面,做出截面的方法思路是一致的:研究立體截面的圖形必須充分應(yīng)用平面圖形的性質(zhì),它的主要依據(jù)是關(guān)于點、線、面之間的從屬關(guān)系的三條公理[2]:

公理1如果一條直線上有兩個點在一個平面上,則這條直線上所有的點都在這個平面上.

公理2過不在一直線上的三點能且只能作一個平面.

公理3如果兩個平面有一個公共點,則它們相交于經(jīng)過這一點的一條公共直線.

由于過不共線的三個點有且只能確定一個平面,所以題目經(jīng)?？疾煨问绞沁^正方體上三點求正方體的截面! 對于正方體表面上的任意三點,可以分成一下兩類情況:

(一)其中有兩點在同一個面上

例如圖1,三點M,N,E在正方體ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱C＇D＇,CC＇,AA＇上,求過這三點的平面在正方體表面上的截痕.

問題分析:

1.顯然M,N兩點在同一個面上,首先連接MN

2.其次根據(jù)兩平行平面的性質(zhì),它們和第三個平面的交線平行.在題目中可以看成過三點M,N,E的平面截平面CC＇D＇D和平面AA＇B＇B的交線MN和EF,且MN//EF,可以過點E作MN的平行線EF求出截面與棱AB的交點F.

3.由空間想象或畫圖不難知道,在棱A＇D＇和棱BC上存在截點使過M,N,E三點的平面在正方體ABCD - A＇B＇C＇D＇完整表示出來.如何準確求出截點是難點.

根據(jù)公理3:如果兩個平面有一個公共點,則它們相交于經(jīng)過這一點的一條公共直線.假設(shè)A＇D＇上的截點為J,由于直線EJ和直線MN共面,EJ ?平面ADD＇A＇,MN ?平面DCC＇D＇,平面ADD＇A＇∩平面DCC＇D＇=D＇D,所以直線EJ和直線MN的交點在直線DD＇上.

延長線段NM和線段DD＇相交于點I,連接EI交于棱A＇D＇于點J,同理可以求出截面在棱BC的截點G.作圖過程如上圖2.連接線段JM,線段GN,過三點M,N,E在正方體ABCD-A＇B＇C＇D＇的截面JMNGFE,如下圖3.

圖2

圖3

(二)其中任意兩點都不在同一個平面內(nèi)(即不在同一個側(cè)面或底面內(nèi))

例如圖4,三點R,S,T在正方體ABCD-A＇B＇C＇D＇的棱C＇D＇,CC＇,AA＇上,求過這三點的平面在正方體表面上的截痕.

圖4

運用公理3,過R點,作RQ//D＇D,設(shè)直線RS和QA延長交于點M,則點M就是截面與平面ABCD的公共點.連接MT交線段AB于點N,點N即為所求.接下來問題就轉(zhuǎn)化成了以上第一種情況.

作法過程如下:

圖5

連接線段SO,線段PT,過三點S,R,T在正方體ABCD-A＇B＇C＇D＇的截面ORPTNS,如圖6.

圖6

在求正方體截面的基礎(chǔ)上可以延伸到求本題求正四面體的截面,正四面體的截面至少與正四面體的三個面相交,至多與四個面相交,所以截面的形狀只能是三角形、四邊形,情況如圖7:

圖7

根據(jù)題目要求,可以判斷出題目的條件類似圖7 右下圖的情況,要解決這道題目,必須作出截面,再求解截面的周長.接下來筆者將用不同的方法求截面.

三、不同解題思路呈現(xiàn)

(一)求截面

根據(jù)求正方體截面的分析求截面時關(guān)鍵的一步在于延長在同一平面的兩點連線,找與兩平面交線的交點.

方法一如圖8,根據(jù)公理3:如果兩個平面有一個公共點,則它們相交于經(jīng)過這一點的一條公共直線.連接ME并延長交BC于點N,交CA延長線于點G,可知點G是平面ABC和平面ACD的公共點.連接GF并延長交AD于點Q,交CD于點P,連接MQ,NP,所以四邊形MNPQ就是正四面體過點M,E,F的截面

圖8

方法二如圖9,取AC的中點G,連接BG,DG.由點E,F分別是ΔABC,ΔACD的中心,知點E,F,分別在BG,DG上,且EF//BD.顯然M,E,B不共線所以點B不在過點M,E,F的截面內(nèi),于是BD平行于過點M,E,F的截面,連接ME并延長,交BC于點N,從點N作NP//BD交CD于點P,連接PF并延長,交AD于點Q,連接MQ,因為EF//BD,NP//BD,所以EF//NP,故EF和NP共面,又直線MN,PQ都在平面ENPF內(nèi),所以四邊形MNPQ就是正四面體過點M,E,F的截面

FGR組母血與臍血TG、TC、LDL-C、HDL-C水平均明顯低于對照組，差異均有統(tǒng)計學(xué)意義(P<0.05)。FGR組臍血TG、TC水平明顯低于母血TG、TC水平，差異均有統(tǒng)計學(xué)意義(P<0.05)。而臍血LDL-C、HDL-C水平與母血差異無統(tǒng)計學(xué)意義(P>0.05)。

圖9

方法三如圖10,過點A作AJ⊥BC交線段BC于點J,在AJ上取ΔABC的中心E,過點A作AK⊥CD交線段CD于點K,在AK上取ΔACD的中心F,在AD上取點N,使AM=AN=1,延長ME交BC于點P,延長NF交CD于點Q,連接MN,PQ,四邊形MNPQ就是正四面體過點M,E,F的截面

圖10

分析根據(jù)截面所在的平面性質(zhì),作平行,延長求交點是求截面的一般方法.學(xué)生在求截面的過程,通常因為空間想象力弱和沒有掌握截面的相關(guān)性質(zhì)不能作出截面.

(二)求周長

在圖9 中,截面作出以后要求四邊形MNPQ的周長,不難分析出MN=QP.四邊形MNPQ的周長=MN+MQ+NP+PQ,此題的難點之一為求NP或MQ的長度.在此不妨作ΔABC的正視圖,轉(zhuǎn)化為以下問題:

如圖11,已知AM=1,E為邊長為6 的等邊ΔABC的中心,求MN的長.

圖11

解法一:利用相似三角形的性質(zhì)

問題分析:利用正三角形中心即重心的性質(zhì)是突破此題的關(guān)鍵點.重心是三角形三邊中線的交點.重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1.求出EG,AE,進而利用勾股定理求出ME,利用ΔMOB∽ΔABG,相似的比例關(guān)系求出MN(以圖8 的截面為例).

反思在不能直接求出MN長度時,可以試圖將MN分離成ME+EN,ME在ΔMEI上,EN在ΔENG上,利用重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2:1 可以求出EG,AE,進而利用勾股定理求出ME.顯然ΔMEI∽ΔENG,利用比例關(guān)系可以求出EN,GN.無論是哪一種思路,用相似的性質(zhì)求解問題離不開MN所相關(guān)線段在的三角形分析問題,掌握題目所給條件:正三角形中心,問題就會迎刃而解.

圖12

圖13

解法二:建立平面坐標系求解

問題分析:以建系的角度看,難點在如何求N點的坐標.由于N點為直線AC與直線MN的交點.求出直線AC與直線MN的解析式,聯(lián)立求交點即可(以圖8 的截面為例).

反思 此解法的亮點之處在于取AB中點O為原點,以O(shè)A為x軸正方向,OC為y軸正方向建立坐標系,可以將M點的坐標表示為(2,0),便于后續(xù)求解直線方程.如果BC中點G為原點,BC為x軸正方向,GC為y軸正方向建立坐標系,M點的坐標是后續(xù)計算會相對復(fù)雜一些.因此在建系的過程中,應(yīng)該選取能將已知點盡可能表示得簡單化.

解法三:利用向量求解

反思如果題目中明確線段有一定的數(shù)量關(guān)系,不妨利用向量的知識點將和表示和,再運用共線求出BN的長度.

圖14

圖15

解法四:利用三角函數(shù)求解

問題分析:根據(jù)題目中已知AM=1,BM=5,∠ABC=60°,由于點E為正三角形的中心,中心即為重心,為三角形三邊中線的交點,根據(jù)正三角形性質(zhì),三線合一.目的要求MN和CN,不妨嘗試連接BE,BE平分∠ABC,∠MBE=∠NBE=30°.在ΔMBE中,根據(jù)余弦定理可求出ME的長,接著求出sin ∠MEB.在ΔMBE中,根據(jù)正弦定理可求BN和ME的關(guān)系,進而利用余弦定理可求解MN和BN的長(以圖8 的截面為例).

反思 利用三角函數(shù)求解,連接BE是關(guān)鍵,分析邊角之間的關(guān)系并熟練運用三角函數(shù).

解法五:利用三角形重心推論求解

圖16

圖17

反思此性質(zhì)并不常見,不過利用此性質(zhì)可以求出NP,BD的比例關(guān)系,與方法三有異曲同工之妙!

四、解題反思

總結(jié)此題考查學(xué)生的空間想象能力“如何利用題目條件作出截面”和運算能力“算截面的周長”.首先,作出截面需要學(xué)生具有立體幾何想象,其中作出截面的過程離不開嚴格的幾何證明.其次,平面幾何中線段的求解主要的思路為:(1)利用相似三角形的比例關(guān)系;(2)勾股定理;(3)向量法;(4)建立平面直角坐標系;(5)三角函數(shù)等.各種解法都是對數(shù)學(xué)核心知識的運用,體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì),數(shù)學(xué)教學(xué)要理解數(shù)學(xué)本質(zhì),改進教學(xué)方式,以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境,啟發(fā)學(xué)生思考,引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì).提倡獨立思考,自主學(xué)習(xí),合作交流等多種學(xué)習(xí)方式,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,促進學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展[3].

縱觀以上5 種不同解法,可以說一種更比一種妙! 實際上一題多解更夠很好的幫助學(xué)生構(gòu)建更加完善的知識體系,通過讓學(xué)生比較分析,會進一步認清哪些只是較為一般的解法,哪些是比較有創(chuàng)新的思路,哪種解法更簡單等,這樣能夠使得大家的思維更開闊、更清晰,從而靈活地把握知識間的橫向關(guān)系與縱向聯(lián)系,提高在解決問題中的能力,培養(yǎng)學(xué)生審慎的解題習(xí)慣,發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性[4].