對(duì)話(huà)教學(xué)，提升解題能力

［摘? 要］ 學(xué)生的解題能力是高中數(shù)學(xué)課堂需要培養(yǎng)的能力之一，高三數(shù)學(xué)解題教學(xué)是課堂教學(xué)的主要方式. 在教學(xué)中，通過(guò)解題方法指導(dǎo)、解題思想滲透，建構(gòu)知識(shí)間的邏輯關(guān)系，形成解題模型，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).

［關(guān)鍵詞］ 對(duì)話(huà)教學(xué)；解題能力；數(shù)學(xué)本質(zhì)

作者簡(jiǎn)介：吳麗華（1984—），本科學(xué)歷，一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作.

高三課堂教學(xué)的重要形式之一是解題教學(xué)，通過(guò)試題講評(píng)，復(fù)習(xí)高中數(shù)學(xué)知識(shí)、解題方法，在解題過(guò)程中同時(shí)滲透數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的解題能力. 解題教學(xué)并不是單純地講解試題，而是建構(gòu)知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)重構(gòu)，升華數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，達(dá)到理解數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)涵的目的. 但在實(shí)際的解題教學(xué)中，雖然教師講解了大量試題，學(xué)生做了大量習(xí)題，結(jié)果卻收效甚微，學(xué)生獨(dú)自解題時(shí)依然困難重重，一籌莫展，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐漸失去了興趣和信心. 教師感覺(jué)知識(shí)點(diǎn)太多，太凌亂，無(wú)法面面俱到；學(xué)生則非?？鄲溃ㄙM(fèi)了大量時(shí)間做題，自己上課能聽(tīng)懂，獨(dú)自卻不會(huì)做，以致考試成績(jī)沒(méi)有明顯提升. 究其原因主要有這樣幾點(diǎn)：（1）沒(méi)有認(rèn)清解題教學(xué)的目的，不能理解試題考查的本質(zhì)，對(duì)問(wèn)題沒(méi)有全面理解；（2）不能全面整合試題的有效信息，導(dǎo)致解題受阻；（3）解題思路缺乏直觀(guān)認(rèn)識(shí)，難以建構(gòu)已知條件與問(wèn)題之間的聯(lián)系；（4）缺乏解題方法之間的聯(lián)系和問(wèn)題的預(yù)判經(jīng)驗(yàn)；（5）做題時(shí)間耗費(fèi)太多，影響了學(xué)習(xí)信心和精力，導(dǎo)致求知欲不足.

基于以上認(rèn)識(shí)，筆者聯(lián)系教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行一些嘗試和思考，從對(duì)話(huà)教學(xué)的角度進(jìn)行高三解題教學(xué)，讓學(xué)生在對(duì)話(huà)中暴露解題思路的缺陷，從而有針對(duì)性地開(kāi)展交流和指導(dǎo)，讓學(xué)生以不同的視角去發(fā)現(xiàn)題目中的信息并進(jìn)行交流，尋找解題的通道，找到解決問(wèn)題的方法，確定解題的最優(yōu)路線(xiàn)，進(jìn)而收獲成功的喜悅. 在解題教學(xué)中不僅要關(guān)注解題過(guò)程，更要關(guān)注解題后的反思引導(dǎo)，使學(xué)生在交流解題心得的過(guò)程中，提高解題技巧，提升解題效果，培養(yǎng)核心素養(yǎng). 下面筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐和思考，以三角形中的最值問(wèn)題的解題教學(xué)為例，與大家共同探討如何有效提升解題教學(xué)的實(shí)效性.

研究背景

三角形中的最值問(wèn)題是?？碱}型，通常三角形的邊、角或面積是最值考查熱點(diǎn)，而且這類(lèi)問(wèn)題復(fù)雜，在考試中常與函數(shù)、不等式等知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，問(wèn)題的綜合性強(qiáng)，知識(shí)點(diǎn)涵蓋范圍廣，解題的難度大，屬于中高檔題型或壓軸題型，因此有必要對(duì)這類(lèi)問(wèn)題深入研究，幫助學(xué)生理清這類(lèi)問(wèn)題的解答思路.

學(xué)生解題能力的提高單純依靠大量做題和講題是收效甚微的，關(guān)鍵是要提高學(xué)生的思維水平，讓學(xué)生能夠從知識(shí)的內(nèi)涵中理解命題的意圖和考查規(guī)律，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和特征，從而總結(jié)規(guī)律，迅速解題. 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的歷史背景和由來(lái)過(guò)程，全方位地理解知識(shí)，同時(shí)在課堂教學(xué)中通過(guò)互動(dòng)交流，讓學(xué)生轉(zhuǎn)換角色，主動(dòng)對(duì)話(huà)，在對(duì)話(huà)中找到相關(guān)要素，尋求解題思路，理解知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，建構(gòu)知識(shí)間的聯(lián)系，從中體會(huì)和領(lǐng)悟解題方法，發(fā)展思維品質(zhì)，提升核心素養(yǎng).

教學(xué)片段

1. 講知識(shí)，說(shuō)過(guò)程，與數(shù)學(xué)家對(duì)話(huà)

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)離不開(kāi)數(shù)學(xué)史，教師可以結(jié)合知識(shí)背景融入教材內(nèi)容講解知識(shí)，使學(xué)生了解知識(shí)產(chǎn)生的背景，有機(jī)融合歷史知識(shí)與課程內(nèi)容，深刻了解知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程，理解知識(shí)的內(nèi)涵. 通過(guò)營(yíng)造濃厚的數(shù)學(xué)文化氛圍，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)產(chǎn)生與應(yīng)用的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力.

在學(xué)習(xí)三角形知識(shí)時(shí)，教師可以結(jié)合三角形的歷史背景進(jìn)行講解.

師：研究三角學(xué)的本質(zhì)就是研究圓，三角函數(shù)的實(shí)質(zhì)表示勻速圓周運(yùn)動(dòng). 現(xiàn)代三角學(xué)的開(kāi)創(chuàng)者叫歐拉，他第一個(gè)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)可以用單位圓中的有向線(xiàn)段表示，所示稱(chēng)為圓函數(shù)，他還對(duì)三角形進(jìn)行了定性定量的研究，從而得出了正弦定理、余弦定理，解釋了三角形的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系，確定與構(gòu)成了三角形的理論性質(zhì). 三角形以三個(gè)頂點(diǎn)的位置、邊長(zhǎng)和角的大小等表示其形狀，因此研究三角形的相關(guān)問(wèn)題都是以邊、角等綜合考慮的.

例題1：若△ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sinA+sinB=2sinC，求cosC的最小值.

例題2：在銳角三角形ABC中，sinA=2sinBsinC，求tanAtanBtanC的最小值.

師：同學(xué)們看看這兩道題，都是三角形中的最值問(wèn)題，對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，能談?wù)勀愕目捶▎幔?/p>

2. 想意圖，理思路，與命題者對(duì)話(huà)

試題的背后是命題者對(duì)知識(shí)的深度思考和知識(shí)內(nèi)涵的精確把握，命題者以試題為載體，以解決問(wèn)題為考查手段，達(dá)到檢測(cè)學(xué)生對(duì)重點(diǎn)知識(shí)的掌握情況的意圖［1］. 教學(xué)中要提高學(xué)生對(duì)命題意圖的把握，全面了解考查的目的和方法；要發(fā)展學(xué)生的深度思維，實(shí)現(xiàn)高效學(xué)習(xí)，使其能夠快速準(zhǔn)確地掌握解題規(guī)律，掌握解題方法.

生1：解決三角形的邊、角和面積的最值問(wèn)題，需要用到的知識(shí)包括正弦、余弦定理以及基本不等式等.

師：同學(xué)們有沒(méi)有思考過(guò)，這類(lèi)問(wèn)題為什么會(huì)經(jīng)常成為考點(diǎn)呢？

生2：三角形中的最值問(wèn)題考查的角度比較多，使用的解題方法非常豐富，可以從性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系等多個(gè)角度切入，突出了高中的核心數(shù)學(xué)知識(shí)，如三角函數(shù)、基本不等式等. 因此這類(lèi)問(wèn)題受到出題者的歡迎.

……

本環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生思考命題者的意圖并表達(dá)出來(lái)，深入了解試題考查的知識(shí)點(diǎn)和考查的目標(biāo)，從而把握命題規(guī)律，了解命題的一般方法，有助于學(xué)生順著命題者的意圖把握試題結(jié)構(gòu)，找到突破試題的關(guān)鍵，建構(gòu)試題模型，掌握解題方法，提高分析和解決問(wèn)題的能力.

3. 定目標(biāo)，說(shuō)方法，與試題條件對(duì)話(huà)

教學(xué)目標(biāo)是引領(lǐng)課堂的方向，教學(xué)過(guò)程要圍繞教學(xué)目標(biāo)展開(kāi)，才能使整個(gè)課堂具有靈魂. 在教學(xué)目標(biāo)的引領(lǐng)下，教師要始終關(guān)注學(xué)習(xí)的主體對(duì)象，反思教學(xué)過(guò)程中要把學(xué)生引向哪里，學(xué)生怎樣才能到達(dá)，最終到達(dá)了沒(méi)有.

例題3：在△ABC中，B=，求cosA+cosC的最大值.

師：同學(xué)們觀(guān)察這道題，能否思考一下這道題的類(lèi)型、解答方法和本質(zhì)？說(shuō)一說(shuō)你的想法.

生3：這道題的類(lèi)型是三角形中的最值問(wèn)題，應(yīng)用的知識(shí)是余弦定理. 因?yàn)楸绢}的前提是在△ABC中，所以通過(guò)三角形的內(nèi)角和定理可知C=－A，利用兩角差的余弦公式進(jìn)行分解，再通過(guò)輔助角公式可得cosA+cosC=cosA+cos－A=sinA+，其中A∈0，，因此當(dāng)A=時(shí)，cosA+cosC的最大值為1.

師：非常好，生3求出了最大值，那么有沒(méi)有同學(xué)有其他方法呢？

生4：這道題還可以將關(guān)于A的三角函數(shù)變成關(guān)于C的三角函數(shù)，從而求出最大值. 具體過(guò)程如下：cosA+cosC=cos－C+cosC=sinC，其中C∈0，，所以當(dāng)C=時(shí)，cosA+cosC的最大值為1.

師：這個(gè)方法也非常好. 誰(shuí)能給大家解釋一下這兩種方法的根本思想是什么？歸納一下解這類(lèi)題的規(guī)律.

生5：這兩種方法的根本思路就是消元. 題中有三元，分別是A，B，C，等式關(guān)系有兩個(gè)，分別為B=和A+B+C=π，因此可以根據(jù)條件B=和A+B+C=π，通過(guò)消元或變?cè)D(zhuǎn)化為一元的三角函數(shù)求最值.

師：講解得非常透徹. 理解了上述三角形中的最值問(wèn)題的本質(zhì)后，讓我們回歸例題1和例題2，檢測(cè)一下同學(xué)們的掌握情況.

生6：同例題3一樣，這兩道題都有三元，分別是A，B，C，都有兩個(gè)等量關(guān)系，分別是A+B+C=π和sinA+sinB=2sinC，A+B+C=π和sinA=2sinBsinC，因此也可以利用消元或變?cè)姆椒ㄟM(jìn)行解決.

解決問(wèn)題并不一定直達(dá)目標(biāo)，解決過(guò)程可以是階段性和循序漸進(jìn)的，只有在已知條件與結(jié)論之間搭建起通道，才能找到問(wèn)題的突破口，切入解題關(guān)鍵. 教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生與試題條件和結(jié)論對(duì)話(huà)，理解問(wèn)題的本質(zhì)，與同伴進(jìn)行交流，在質(zhì)疑、尋找、認(rèn)可的過(guò)程中捕捉問(wèn)題的顯性和隱性條件，通過(guò)挖掘問(wèn)題的內(nèi)涵，尋求解決之道.

4. 談想法、理本質(zhì)，與數(shù)學(xué)思想對(duì)話(huà)

數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)方法和知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，理解數(shù)學(xué)思想，才能真正掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的精髓. 數(shù)學(xué)思想體系的建立，可使學(xué)生以更高的視角理解知識(shí)，掌握解題方法，理解問(wèn)題本質(zhì)；可使學(xué)生熟練運(yùn)用解題方法，不再只是通過(guò)單純的模仿和簡(jiǎn)單的重復(fù)進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)解題能力的提高和思維水平的發(fā)展［2］.

師：通過(guò)我們已學(xué)的代數(shù)知識(shí)，相信同學(xué)們已經(jīng)知道了方程的變?cè)獋€(gè)數(shù)、條件等式的個(gè)數(shù)以及條件不等式之間的關(guān)聯(lián)性，決定著方程解的范圍以及解的存在性. 通過(guò)變?cè)倪x擇與轉(zhuǎn)化，優(yōu)化需要研究的方程，是研究方程的基本思路和方法. 解決三角形中的最值問(wèn)題的基本思路是通過(guò)變?cè)⑾娃D(zhuǎn)化等方法，簡(jiǎn)化問(wèn)題后再解決問(wèn)題.

生7：老師，我發(fā)現(xiàn)了另一種變?cè)椒? 設(shè)例題1中△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，利用正弦定理把題干中的等式化簡(jiǎn)為a+b=2c，再利用余弦定理，用a，b，c表示cosC，從而通過(guò)變?cè)拖M(jìn)行求解.

師：非常好，下面請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)解題.

生8：從變?cè)慕嵌冗M(jìn)行分析，例題2可以利用三角形的內(nèi)角和定理以及兩角和的正弦公式，將已知條件sinA=2sinBsinC轉(zhuǎn)化為tanB+tanC=2tanBtanC，則A，B，C三元就可以變?yōu)閠anA，tanB，tanC三元了.

生9：例題2也可以轉(zhuǎn)化為問(wèn)題“已知在銳角三角形ABC中，tanB+tanC=2tanBtanC，求－tanBtanC的最小值”，也就是說(shuō)可以把例題2的三元看成是tanB+tanC和tanBtanC兩元.

（全班熱烈鼓掌，大家都贊同生8和生9的解法）

通過(guò)三角形中的最值問(wèn)題的解答分析，使學(xué)生在思考過(guò)程中感受到了一般函數(shù)在此類(lèi)問(wèn)題中的應(yīng)用，從解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法中，總結(jié)出了解決此類(lèi)問(wèn)題的通式通法，達(dá)到了提高解題效率、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的目的. 同時(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)，通過(guò)觀(guān)察解題步驟、梳理解題方法、檢查解題思路、探究解題本質(zhì)，在潛移默化中提升了學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

5. 談感悟、促提升，與知識(shí)整體對(duì)話(huà)

數(shù)學(xué)教學(xué)不能僅僅就單個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行講解，要關(guān)注知識(shí)間的聯(lián)系，幫助學(xué)生從整體上把握知識(shí)，形成整體性的認(rèn)識(shí). 教師從數(shù)學(xué)知識(shí)形成和發(fā)展的淵源和背景出發(fā)進(jìn)行闡釋?zhuān)瑤椭鷮W(xué)生理解知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和不同領(lǐng)域間的區(qū)別，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率，發(fā)展學(xué)生思維的靈活性和深刻性，提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 試題講解既是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)方法的講解，更是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的再認(rèn)識(shí)，通過(guò)厘清和轉(zhuǎn)換知識(shí)間的邏輯關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)更高層次的理解，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的本質(zhì).

師：這類(lèi)問(wèn)題如果我們想要有更加清晰的認(rèn)識(shí)，可以再看一個(gè)數(shù)學(xué)模型：三角形的一個(gè)角和對(duì)邊固定，求解三角形中的最值問(wèn)題.

例題4：已知△ABC的三個(gè)角分別為A，B，C，其對(duì)邊分別是a，b，c，a的值為2，并且角A等于，求△ABC面積的最大值.

生10：根據(jù)剛才的解題方法來(lái)看，這道題共有六元，分別為三個(gè)角和三條邊，由此需要的等式條件就更多了.

生11：這道題是三角形中的最值問(wèn)題，因此角可以利用隱性條件——三角形的內(nèi)角和——進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而邊則可以利用正弦、余弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而通過(guò)消元或換元轉(zhuǎn)換成只有邊或角的最值問(wèn)題. 我選擇邊的角度進(jìn)行求解（解題過(guò)程略）.

由于數(shù)學(xué)知識(shí)具有相互聯(lián)系和整體的關(guān)聯(lián)性，因此教師要幫助學(xué)生挖掘試題中的隱含知識(shí)和本質(zhì)，從而構(gòu)成一個(gè)更深層次的知識(shí)體系，讓學(xué)生能夠更加積極主動(dòng)地探求知識(shí)，逐步構(gòu)建起自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò). 學(xué)生是課堂學(xué)習(xí)的主體，只有將學(xué)生的發(fā)展作為教學(xué)目標(biāo)，才能使學(xué)生通過(guò)對(duì)話(huà)，理解問(wèn)題的本質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力.

綜上所述，課堂教學(xué)要從知識(shí)的整體性出發(fā)，以符合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的教學(xué)方式為基礎(chǔ)，以符合學(xué)生思維順序的教學(xué)活動(dòng)為根本，科學(xué)組織課堂教學(xué)，使學(xué)生在活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)智慧，在解決問(wèn)題中不斷提高解題能力. 對(duì)話(huà)教學(xué)可以使學(xué)生形成主動(dòng)學(xué)習(xí)的意識(shí)，在積極交流、主動(dòng)質(zhì)疑、深入探究中形成自我對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí). 教師要積極引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)品質(zhì)，真正將數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)化為自身的能力和素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］ 喻平.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素析取的實(shí)證研究［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016，25（06）：1-6.

［2］ 蘇華強(qiáng). 關(guān)注模型教學(xué)，拓展解題方法——“胡不歸問(wèn)題”在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（12）：50-52.