小學(xué)階段“尺規(guī)作圖”功能定位、內(nèi)容邏輯及教學(xué)建議

劉加霞

【編者按】在傳統(tǒng)觀念里，利用圓規(guī)與無刻度直尺開展的尺規(guī)作圖直到中學(xué)階段才會出現(xiàn)。但《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在第二學(xué)段的“內(nèi)容要求”中便提出“會用直尺和圓規(guī)作一條線段等于已知線段”，正式將與尺規(guī)作圖有關(guān)的內(nèi)容前置到小學(xué)階段，這對于教師教學(xué)是一個不小的挑戰(zhàn)。尺規(guī)作圖在小學(xué)階段出現(xiàn)有何深意？需要在哪些方面加以落實？對于學(xué)生幾何直觀、推理意識等素養(yǎng)的提升作用如何顯現(xiàn)等，這些問題都值得大家展開探討。

【摘 要】在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，整體設(shè)計與有效實現(xiàn)“尺規(guī)作圖”的育人價值首先要厘清它的功能定位、邏輯層次，然后再基于小學(xué)生的認(rèn)知需求與難點，創(chuàng)設(shè)能夠引發(fā)學(xué)生思考的問題情境，教師適時并恰當(dāng)?shù)厥痉蹲鲌D。

【關(guān)鍵詞】尺規(guī)作圖 功能定位 內(nèi)容邏輯 教學(xué)建議

一、小學(xué)階段增加尺規(guī)作圖的功能定位

雖然尺規(guī)作圖的實質(zhì)并不在畫圖，而是一種嚴(yán)格的邏輯分析與論證的鍛煉與修養(yǎng)”［1］，但在小學(xué)階段尺規(guī)作圖的目標(biāo)定位并不在于此?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中小學(xué)階段的“用直尺和圓規(guī)作圖”內(nèi)容不同于歐幾里得《幾何原本》中的尺規(guī)作圖?！稁缀卧尽肥且晕鍡l“作圖公法”為基礎(chǔ)，每一步都必須以定義、公設(shè)或已被證明的命題為依據(jù)進(jìn)行。尺規(guī)作圖一直是構(gòu)建幾何學(xué)演繹體系的基礎(chǔ)，是認(rèn)識幾何概念及其關(guān)系的基礎(chǔ)，但需要重新審視該內(nèi)容在小學(xué)課程中的功能定位。

1.提供了認(rèn)識圖形的新途徑，把握圖形的本質(zhì)特征。

尺規(guī)作圖為小學(xué)生認(rèn)識幾何圖形提供了另一條路徑。認(rèn)識圖形的特征主要有兩種途徑：靜態(tài)抽象、動態(tài)畫圖。圖形的認(rèn)識主要是對圖形的抽象［2］，即學(xué)生經(jīng)歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，是從整體感知的角度抽象并認(rèn)識圖形的特征與關(guān)系。認(rèn)識圖形還可以從要素構(gòu)成角度，經(jīng)歷圖形的邊與角的動態(tài)生成過程。例如，認(rèn)識“圓”，可以對圓形實物進(jìn)行靜態(tài)抽象（描出圓形實物的輪廓形成圓），再折疊圓形紙片感悟圓的“萬能對稱性”；也可以用標(biāo)準(zhǔn)或非標(biāo)準(zhǔn)圓規(guī)（甚至只用直尺）在畫圓過程中經(jīng)歷圓的生成過程，感悟“圓，一中同長”這一本質(zhì)。兩種途徑都能把握圓的本質(zhì)與特征。小學(xué)階段所學(xué)圖形主要通過靜態(tài)抽象、直觀操作（例如折疊、測量）實物來認(rèn)識，較為符合學(xué)生的認(rèn)知特點。但作（畫）圖的過程能讓學(xué)生經(jīng)歷由“點”到“線”，再到“圖形”的全過程，這一過程往往揭示圖形的本質(zhì)特征，動態(tài)畫圖也是小學(xué)生認(rèn)識圖形的重要渠道。

通過尺規(guī)作圖的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅更深刻地認(rèn)識圖形特征，更是培養(yǎng)他們幾何直觀、空間觀念、推理意識的重要載體。對很多學(xué)生來說，看似簡單的尺規(guī)作圖在實際操作過程中存在難度，需要他們具備較強的空間想象能力與推理能力。正因為“有難度”才更能激發(fā)學(xué)生強烈的探究愿望，但不排除部分學(xué)生因“不知從哪兒入手作圖”“沒有強烈的作圖動機”而放棄思考與完成作圖任務(wù)，育人目標(biāo)難以實現(xiàn)。

2.初步認(rèn)識尺規(guī)的基本功能，促進(jìn)構(gòu)造性思維的發(fā)展。

幾何作圖是將想象的幾何概念構(gòu)造（存在性）出來的基本途徑。作圖的過程實質(zhì)是“構(gòu)圖”的過程：首先構(gòu)造出圖形的核心要素“點”與“線”。例如，學(xué)生在用尺規(guī)畫等長線段的過程中，逐步理解作圖的根本，初步感悟“構(gòu)圖”的基本要素：“規(guī)”的核心是能構(gòu)造出無數(shù)條“看不見”的、共用同一個端點的等長線段?！翱吹靡姟钡氖菆A規(guī)的針尖確定不動的圓心，“帶鉛筆”的一腳確定無數(shù)個到圓心距離都相等的點，“點動形成弧線”?！俺摺钡暮诵氖前褍牲c連起來構(gòu)成線段，其背后的道理是線段的長度是由兩個端點的距離決定的，將抽象的“距離”可視化為有長度的“線段”。尺規(guī)作圖的本質(zhì)就是“找到兩點”再連線，即可作出滿足要求的線段或圖形。

尺規(guī)作圖讓學(xué)生經(jīng)歷幾何圖形的從“無”到“有”的構(gòu)造過程，形成認(rèn)識的視覺過程，建立相應(yīng)的幾何表象與空間知覺等，都有助于學(xué)生認(rèn)識圖形的組成元素及其位置關(guān)系，對圖形的結(jié)構(gòu)特征形成直觀感知與理解，探究并發(fā)現(xiàn)圖形各要素之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與空間觀念，體現(xiàn)出構(gòu)造性思維，為邏輯推理積累經(jīng)驗。

3.滲透并讓學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)精神的力量。

歐幾里得幾何建立了最簡單、最直觀、最能為學(xué)生所接受的數(shù)學(xué)模型：點、線、面、三角形、圓，又能讓學(xué)生通過操作尺規(guī)親身體驗數(shù)學(xué)推理的力量。柏拉圖認(rèn)為直線和圓是最簡潔、最清楚的圖形，因此只有直線、圓以及由它們得出的圖形才是最清楚的；直線和圓的對稱性反映了部分與部分之間的統(tǒng)一性，而將這種統(tǒng)一性推而廣之，便可探尋到整個宇宙的奧秘［3］，看似簡單的尺規(guī)作圖蘊含著幾何學(xué)的精髓。

以“尺規(guī)作圖活動育德”應(yīng)該指的是智者的，與理想、信念、行動相關(guān)的，令世人稱頌并仿效的那些閃爍著人倫光輝的事跡。［4］教學(xué)中，教師可通過講故事的方式介紹古希臘數(shù)學(xué)家以及《幾何原本》，讓學(xué)生感受其中的尺規(guī)作圖竟會如此嚴(yán)謹(jǐn)，像古希臘“三大不能”作圖問題竟然不能用尺規(guī)作圖解決。初步感知這些富于挑戰(zhàn)性的問題是促進(jìn)數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，感悟數(shù)學(xué)家們不畏困難、不言放棄的探究精神，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的積極情感。作為數(shù)學(xué)文化啟蒙的載體，尺規(guī)作圖對數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展價值，以及它所蘊含的數(shù)學(xué)美學(xué)價值、數(shù)學(xué)理性精神等應(yīng)該盡早在教學(xué)中滲透，讓學(xué)生初步感悟數(shù)學(xué)來源于生活也超越生活，數(shù)學(xué)是一種精神力量。

二、小學(xué)階段尺規(guī)作圖內(nèi)容的邏輯層次

《課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的尺規(guī)作圖共有19處，分為基本作圖與復(fù)合作圖，有16處的尺規(guī)作圖源自《幾何原本》［5］，其中基本作圖有5個，復(fù)合作圖是有限次地運用基本作圖方法作出其他圖形。小學(xué)階段的作圖內(nèi)容較少，但由于是第一次進(jìn)入小學(xué)，需要首先弄清楚其內(nèi)容的邏輯層次與作圖本質(zhì)。

1.小學(xué)階段尺規(guī)作圖的內(nèi)容及其邏輯層次。

在小學(xué)階段，“用直尺和圓規(guī)作圖”主要包括：（1）作一條線段等于已知線段（感知線段長度與兩點間距離的關(guān)系，增強幾何直觀。（2）將三角形的三條邊畫到一條直線上（直觀感受三角形的周長）。（3）作三角形，直觀感受三角形中任意兩邊之和大于第三邊。

這三個作圖內(nèi)容可以分為兩類：第一類是“作等長線段”，通過作圖認(rèn)識三角形周長是其簡單運用，屬于基本作圖內(nèi)容。第二類是“已知三條線段，作三角形”，即給出幾組線段（每組三條），有的能構(gòu)成三角形，有的不能，能構(gòu)成三角形的要用直尺和圓規(guī)畫出來，該任務(wù)屬于復(fù)合作圖內(nèi)容。通過作圖“理性地”認(rèn)識圖形的周長與三角形的三邊關(guān)系。作圖任務(wù)比“度量邊長再相加（或用線圍一圍再測量線的長度）”“拼擺三根小棒”等直觀操作活動更抽象，但尋找“點”的過程充滿探究意蘊。第二類作圖能凸顯尺規(guī)作圖的本質(zhì)：用圓規(guī)尋找滿足條件的兩點，用直尺連接兩點形成滿足條件的圖形。它比直觀操作任務(wù)難很多，也比第一類作圖任務(wù)更難。

2.《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“作等長線段”與《幾何原本》相關(guān)命題的差異。

小學(xué)階段的“作與已知線段等長的線段”，無論是“過已知一點作等長線段”，還是“已知兩條不等長的線段，在較長的線段上取與較短線段等長的線段”，其作圖內(nèi)容與方法跟《幾何原本》第一卷命題1.2、命題1.3都不同。小學(xué)階段的“作等長線段”是在已知直線上“截取”線段，即已存在直線，在其上用圓規(guī)截取與已知線段等長的線段。該作圖任務(wù)表面上好像是命題1.3，但作圖方法并不相同。《課程標(biāo)準(zhǔn)》中對“作等長線段”的內(nèi)容表述與作法較為簡單且直觀：根據(jù)《幾何原本》公理4確保了圓規(guī)兩腳間的距離等于已知線段a的長度，根據(jù)公設(shè)3作圓，再根據(jù)作圖公法4（線圓有交點）找到點B，線段AB即為所求。

“作等長線段”關(guān)涉《幾何原本》［6］第一卷的前三個命題。命題1.1：在一個已知有限直線上作一個等邊三角形。設(shè)AB是已知有限直線，要求在AB上作一等邊三角形（作法省略）。命題1.2：由一個已知點（作為端點）作一線段等于已知線段。設(shè)A是已知點，BC是已知線段，要求由A（作為端點）作一線段等于BC。具體作法為：（1）從點A到點B連直線（公設(shè)1）。（2）在AB上作等邊三角形ABD（命題1.1）。（3）延長DA、DB成直線DE、DF（公設(shè)2）。（4）以B為圓心，BC為距離作圓CGH（公設(shè)3）。（5）以D為圓心，DG為距離作圓GLK（公設(shè)3）。（6）由于點B為圓心，所以BC=BG；點D為圓心，所以DG=DL，而DA=DB，因此，余量AL等于余量BG（公理3）。（7）而BG=BC，因此AL、BC都等于BG，等于同量的量彼此相等，因此AL=BC（公理1）。如圖1所示。

圖1

命題1.3：已知兩條不相等的線段，試由大的上邊截取一條線段使它等于另外一條。設(shè)AB、C是兩條不相等的線段，且AB大于C，要求由較大的AB上截取一段等于C。具體作法如圖2所示。

命題1.3與《課程標(biāo)準(zhǔn)》所給方法的最大不同是：首先“根據(jù)命題1.2作出與C等長的線段AD”，然后再以A為圓心，AD為半徑作圓A（公設(shè)3）與線段AB相交于點E，AE=AD（定義15），而AD=C，所以AE=C（公理1），而《課程標(biāo)準(zhǔn)》所給方法是“簡化版”，更為直觀。

由前述分析可知，《課程標(biāo)準(zhǔn)》中的“作等長線段”不同于《幾何原本》中的作圖方法，也不同于傳統(tǒng)課程中用有刻度直尺畫出給定長度的線段。以往課程中的“畫5厘米長的線段”凸顯的仍然是“度量思想”，這條線段是由5條“1厘米線段”不改變線段方向前提下首尾相連構(gòu)成的，強調(diào)直觀操作不強調(diào)推理；《課程標(biāo)準(zhǔn)》提出的作法則有較為簡單的推理成分（例如根據(jù)公設(shè)3、公理4、作圖公法4），作圖直觀易于學(xué)生理解。《幾何原本》中的作法則是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^程，每一步操作都必須有定義、公理、公設(shè)或已知命題作為作圖依據(jù)。義務(wù)教育階段的作圖方法不能完全按照《幾何原本》。

三、小學(xué)階段落實尺規(guī)作圖育人目標(biāo)的教學(xué)建議

1.創(chuàng)設(shè)有必要展開尺規(guī)作圖的問題情境。

好的問題情境是激發(fā)學(xué)生好奇心、增強探究意愿的前提。問題情境既可以是現(xiàn)實生活情境，也可以是脫離現(xiàn)實的純數(shù)學(xué)情境。例如，學(xué)習(xí)“作等長線段”時有的教師創(chuàng)設(shè)了如下情境。［7］

教師首先播放了鞏立姣在東京奧運會鉛球比賽中的錄像，引出本節(jié)課的第一個學(xué)習(xí)活動：出示三位同學(xué)投鉛球的軌跡圖和“能入選校隊的標(biāo)準(zhǔn)長度”（如圖3），請學(xué)生判斷：誰能夠達(dá)到入選校隊的標(biāo)準(zhǔn)。

學(xué)生用無刻度的直尺和圓規(guī)有多種方法解決“誰能入選校隊”問題，其關(guān)鍵步驟是用直尺或圓規(guī)“搬動”一條線段與另外的線段“重合”來比較長短，而本質(zhì)就是命題1.3——在較長線段上截取較短線段。

在解決該問題過程中，學(xué)生逐步感悟圓與線段的本質(zhì)。圓的本質(zhì)——一中同長，進(jìn)而理解為何現(xiàn)實生活中鉛球場地上畫了很多圓弧，同一圓弧到中心點的距離都相同、不同圓弧到中心點的距離不同，便于快速判斷選手的比賽成績。線段的本質(zhì)——有限長度，可比較長度或累加，讓學(xué)生體會到用圓規(guī)可以將不同長度的線段“重疊”（或首尾累加），更便于比較長短（或求線段之和），進(jìn)而感悟到“作等長線段”的現(xiàn)實價值和數(shù)學(xué)意義。在解決現(xiàn)實問題基礎(chǔ)上再進(jìn)一步作圖并概要歸納作圖步驟，初步感悟這樣作圖的合理性。

小學(xué)階段尺規(guī)作圖的問題情境可以從現(xiàn)實問題導(dǎo)入，讓學(xué)生感悟作圖的必要性和多樣性。但是自古以來尺規(guī)作圖都是純數(shù)學(xué)問題，更要脫離現(xiàn)實情境解決純粹數(shù)學(xué)問題。例如，判斷三條邊能否構(gòu)成三角形，已知三條邊畫出三角形等，讓小學(xué)生也初步感受數(shù)學(xué)來源于生活更超越現(xiàn)實生活，純粹數(shù)學(xué)問題也能吸引他們不斷探究。

2.精準(zhǔn)把握學(xué)生作圖過程中的難點。

如前所述，尺規(guī)作圖的核心是找到滿足條件的“點”，然后“連點成線”再構(gòu)成所作的目標(biāo)圖，即使小學(xué)階段最為簡單的作圖也是如此。按照作圖公法的第三、四、五條可知，點產(chǎn)生于“線線相交、線圓相交、圓圓相交”，小學(xué)生作圖的難點是不知道“弧線與直線、弧線與弧線”相交成的點即是滿足條件的點。例如，在畫三角形時，學(xué)生知道以其中一條邊為底（已知兩點頂點），目標(biāo)是找到三角形的另一個頂點，但學(xué)生不知道或不理解“兩弧的交點就是三角形的第三個頂點”。學(xué)生習(xí)慣用直尺畫出兩組等長線段，不斷調(diào)試來尋找“交點（頂點）”（圖4），不能直接想到分別畫兩條圓弧相交（圖5），其難點是“看不見”圓規(guī)能畫出無數(shù)條長度相等但方向不同的線段。

教學(xué)時教師要在適當(dāng)時機“揭秘”（如圖6）：“看得見”的圓弧上的無數(shù)個點與圓心相連構(gòu)成等長線段。例如，教學(xué)中這樣處理。［8］

師：這組同學(xué)的方法（圖5）真巧妙，借助這兩條弧讓我們一下就找到了第三個頂點。為什么當(dāng)我們確定了這兩條弧的交點就確定了三角形的第三個頂點了呢？

生1：這條弧上的任意一點，到線段c的端點距離都是相等的。這條弧可以看作是這些點運動的軌跡。那這個交點就是線段a和線段b相交的位置。

生2：這條弧其實就是線段a所有的可能性，然后再把線段b也畫出來，那這兩條弧的交點就既滿足了線段a的長度又滿足了線段b的長度。

師：看來這個點可真神奇呀！同學(xué)們，比較一下這兩個小組的作品，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生3：我發(fā)現(xiàn)這些點連起來就是這條弧。

需要提及的是，在小學(xué)階段完全放手讓學(xué)生構(gòu)思作圖、實際作圖、歸納作圖步驟非常困難，必須有教師的適當(dāng)引導(dǎo)、啟發(fā)式追問，以及教師示范規(guī)范的作圖步驟。教材如何編寫這部分內(nèi)容也很有挑戰(zhàn)性，稍有不慎就容易變成“告知作圖步驟、學(xué)生模仿作圖”的狀況，這樣便背離了《課程標(biāo)準(zhǔn)》將該內(nèi)容“下放”到小學(xué)階段的初衷。如何避免“照葫蘆畫瓢”的現(xiàn)狀是教材編寫者與一線教師的挑戰(zhàn)。

3.讓學(xué)生初步體會尺規(guī)在數(shù)學(xué)發(fā)展中的價值。

在古代的生產(chǎn)、生活中，較直的樹枝就是“尺”，樹杈就是“規(guī)”，尺與規(guī)是實用性工具。加之線與圓是最基本的兩種圖形，因此，尺規(guī)能夠脫離實際、剝離實用屬性，完成一個從物或器躍升為概念的思想飛躍，使其成為《幾何原本》第一卷公設(shè)1～3的內(nèi)容，以它們?yōu)榍疤嵘韶S富的、具有邏輯關(guān)系的內(nèi)容，使得難以窮盡的各種間接想法得以實現(xiàn)。沒有刻度的尺和任意確定的圓或弧猶如人的左膀右臂，所畫之圖躍然平地、紙草或泥板之上，畫出來可以方便思考，不畫出來也能想出來，尺規(guī)所能，盡在腦中！［9］

歷史上罕有數(shù)學(xué)家未探究過尺規(guī)作圖，其簡便易行卻內(nèi)涵豐富，能夠激發(fā)人本能的好奇心與求知欲。例如，可以給小學(xué)生講述阿基米德無懼持刀的羅馬士兵仍專注于幾何作圖，尺規(guī)作圖三大“不能問題”看似簡單卻激發(fā)無數(shù)數(shù)學(xué)家來探究并推動數(shù)學(xué)發(fā)展；講述中國古代伏羲手執(zhí)“矩”，女媧手執(zhí)“規(guī)”，用來畫圓、直線與量直角，進(jìn)而演變?yōu)椤耙?guī)矩”一詞，表示行為要有規(guī)范；也可以介紹有的數(shù)學(xué)家提出運用“生銹圓規(guī)”（兩腳間固定不能叉開）仍可以完成很多作圖問題，同時介紹中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)等等。

（作者單位：北京教育學(xué)院數(shù)學(xué)與科學(xué)教育學(xué)院）

［1］梅向明，周春荔.尺規(guī)作圖話古今［M］.長沙：湖南教育出版社，2000：185.

［2］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：27.

［3］向坤，寧連華.從尺規(guī)作圖看古希臘數(shù)學(xué)觀及其對教育的啟示［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（01）：100-102.

［4］方運加.聊聊“尺規(guī)作圖”［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2021（11）：4-7.

［5］駱文娟.從《原本》與“課標(biāo)”談尺規(guī)作圖教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報，2022，61（12）：17-21.

［6］［古希臘］歐幾里得. 幾何原本［M］.蘭紀(jì)正，朱恩寬，譯. 梁宗巨，張毓新，徐伯謙，校.西安：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003：3-5.

［7］曹翰麟，賈福錄，范存麗等.任務(wù)導(dǎo)行，常思啟智——“用尺規(guī)作等長線段”教學(xué)實踐與思考［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)），2022（05）：8-10.

［8］張丹，劉延革，于國文等.尺規(guī)作圖成就思維的精彩——“畫一個三角形”教學(xué)實踐與思考［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)），2022（05）：11-13.

［9］方運加.聊聊“尺規(guī)作圖”［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中），2021（11）：4-7.