基于Delphi-AHP高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系的研究

許亞桃， 吳立寶

(1.淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 安徽 淮北 235000；2.天津師范大學(xué) 教育學(xué)部， 天津 300387)

0 引言

數(shù)學(xué)教學(xué)在長期實(shí)踐中存在著教師忽視學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)態(tài)度、評價形式單一等問題[1].數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)探究正是在此背景下，為了解決數(shù)學(xué)教育的問題，逐步發(fā)展起來的一種課程形態(tài)[2].在新課標(biāo)對數(shù)學(xué)建模提出新要求的背景下，提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)成為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的一大重點(diǎn)，相應(yīng)的關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價的論題也應(yīng)運(yùn)而生，主要包含兩方面內(nèi)容：一是開發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)測評框架.已有研究分別從凸顯“建模循環(huán)”的過程性評價、注重?cái)?shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)意義的結(jié)果性評價和兼顧數(shù)學(xué)建模過程與結(jié)果的整體表現(xiàn)三個方面評價學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力[3].二是調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)所處的水平.此類研究一般要求學(xué)生完成1～3道測試題，根據(jù)事先編制的評分標(biāo)準(zhǔn)對學(xué)生的答題過程進(jìn)行編碼與賦分，探討學(xué)生達(dá)到的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)水平層次[4].

已有研究多從學(xué)生數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)效果角度展開討論，鮮少將研究對象擴(kuò)展到數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)[5].本文從教學(xué)評價視角考察數(shù)學(xué)建模教學(xué)，以如何構(gòu)建高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系為著力點(diǎn)，圍繞如何劃分指標(biāo)體系的層級、如何確定指標(biāo)體系的權(quán)重、如何檢驗(yàn)指標(biāo)體系的合理性等問題，聚焦集中式教學(xué)，構(gòu)建高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系，旨在為高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供科學(xué)的評價工具，以期在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中發(fā)揮診斷指導(dǎo)作用，促進(jìn)教師數(shù)學(xué)建模教學(xué)能力的提升.

1 高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系的構(gòu)建

研究采用Delphi-AHP，沿著“初構(gòu)指標(biāo)體系→征求專家意見，修訂指標(biāo)體系→征詢權(quán)重意見，計(jì)算指標(biāo)權(quán)重→實(shí)施評價檢驗(yàn)”的路徑展開研究，確定高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)的內(nèi)涵與權(quán)重，形成科學(xué)的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系.

1.1 指標(biāo)體系的初構(gòu)

在發(fā)展性教學(xué)評價理論的指導(dǎo)下，研究根據(jù)集中式教學(xué)的特點(diǎn)、數(shù)學(xué)建模課題研究過程和數(shù)學(xué)建模教學(xué)的方法特征，設(shè)置“建模課題”“教學(xué)監(jiān)控”“建模過程” “合作學(xué)習(xí)”“成果展示”“學(xué)習(xí)效果”6個一級指標(biāo)及相應(yīng)的二級指標(biāo)，初步構(gòu)建高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系(見圖1).

圖1 初構(gòu)的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系

一級指標(biāo)設(shè)置的依據(jù)如下：

第一，集中式數(shù)學(xué)建模教學(xué)的特點(diǎn).朱浩楠[6]基于教學(xué)素材的組織形式，將數(shù)學(xué)建模教學(xué)分為分散式、集中式和探究式3種.集中式適用于整體性較強(qiáng)、難以分為若干對應(yīng)單一知識的子模型的課題，作為相對獨(dú)立的教學(xué)單元在若干集中課時內(nèi)教學(xué).此類型教學(xué)需要精心選擇合適的數(shù)學(xué)建模課題，課堂活動是在教師指導(dǎo)下的小組自主活動，教師給了學(xué)生更多的思考時間和自己動手解決問題的機(jī)會[7].教師的指導(dǎo)圍繞著數(shù)學(xué)建模過程展開，教師要注意觀察學(xué)生的表現(xiàn)，及時為有困難的學(xué)生和小組提供建模方法與思想上的指導(dǎo)與幫助，引導(dǎo)學(xué)生明確繼續(xù)研究的方向.因此，研究設(shè)置“建模課題”“教學(xué)監(jiān)控”“建模過程”為一級指標(biāo).另一方面，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的重點(diǎn)由關(guān)注教師的教轉(zhuǎn)向關(guān)注學(xué)生的學(xué)，且“集中式”的教學(xué)形式更加凸顯學(xué)生解決問題的過程.因此，研究認(rèn)為數(shù)學(xué)建模的教學(xué)效果更偏重于學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，故設(shè)置“學(xué)習(xí)效果”為一級指標(biāo).

第二，數(shù)學(xué)建模課題的研究過程.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(簡稱《課標(biāo)(2020)》)指出，數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動課題的研究過程包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)[8].學(xué)生需要經(jīng)歷數(shù)學(xué)建?；顒尤^程，撰寫研究報(bào)告或小論文，并進(jìn)行展示、交流，考查學(xué)生能夠清晰地提出一個與原始問題陳述保持一致的解決方案，并要求學(xué)生對整個建模過程進(jìn)行反思總結(jié).同時，基于新課標(biāo)對過程性、全方位評價的要求，設(shè)置“成果展示”為一級指標(biāo).

第三，數(shù)學(xué)建模教學(xué)的方法特征.《課標(biāo)(2020)》在評價建議中提到，數(shù)學(xué)建模活動的教學(xué)評價可以是個體活動，也可以是小組活動.但在梳理文獻(xiàn)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)者們一致認(rèn)為以小組形式展開合作學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)建模典型的學(xué)習(xí)方式.原因之一是數(shù)學(xué)建模的綜合性.它打破了數(shù)學(xué)嚴(yán)密的知識、技能體系的界限，強(qiáng)調(diào)以現(xiàn)實(shí)問題為核心，以問題求解的需要為導(dǎo)向，對學(xué)生學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)部與跨學(xué)科知識、工具、方法、資源進(jìn)行整合應(yīng)用，以有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生解決問題的能力、實(shí)踐能力和探究精神[9].原因之二是數(shù)學(xué)建模的開放性.研究問題的方向和方法具有一定發(fā)散性，數(shù)學(xué)模型也隨參數(shù)變動或參數(shù)的取值范圍而變化.對于剛接觸數(shù)學(xué)建模的學(xué)生來說，數(shù)學(xué)建模具有一定的復(fù)雜性，以小組形式開展課題研究，一方面能夠集思廣益、互相補(bǔ)充，激發(fā)學(xué)生思考，降低解決問題的難度，減少學(xué)生個體失敗的體驗(yàn)，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性；另一方面能夠促進(jìn)學(xué)生之間的溝通交流，培養(yǎng)社會交往技能.綜上，研究設(shè)置“合作學(xué)習(xí)”為一級指標(biāo).

1.2 指標(biāo)體系的修訂

1.2.1 組建專家咨詢小組

根據(jù)德爾菲法的要求，專家咨詢小組的確定要考慮專家的代表性和權(quán)威性.代表性方面，研究選取具有豐富的數(shù)學(xué)教育研究或教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的20位專家，包括高校數(shù)學(xué)教育研究人員6人(教授3人、副教授2人、講師1人)、數(shù)學(xué)教研員7人、一線數(shù)學(xué)教師7人(正高級教師2人，中學(xué)高級教師4人，中學(xué)中級教師1人).小組成員分別來自北京、天津、江蘇、山東、山西、四川、江西、甘肅等多個地區(qū).同時，由專家對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的熟悉程度及評價指標(biāo)的判斷依據(jù)，計(jì)算專家權(quán)威系數(shù)，作為專家權(quán)威性的標(biāo)準(zhǔn).

依據(jù)初步構(gòu)建的評價指標(biāo)體系編制《高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系專家意見征詢問卷》，以微信發(fā)送的方式進(jìn)行2輪專家意見征詢，要求專家組成員對特定項(xiàng)目進(jìn)行評分和排序，同時輔以文字性說明.

1.2.2 第一輪專家意見統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析

采用SPSS 26軟件，統(tǒng)計(jì)分析專家評分?jǐn)?shù)據(jù)，以中位數(shù)、平均值大于等于4[10]，滿分頻率大于等于50%[11]，標(biāo)準(zhǔn)差小于1，變異系數(shù)小于0.25[12]，作為滿足指標(biāo)條件的基本標(biāo)準(zhǔn).

(1)專家積極系數(shù)與權(quán)威系數(shù).

第一輪共發(fā)放問卷20份，回收有效問卷18份，專家積極系數(shù)為90%；專家權(quán)威系數(shù)均值為0.74，表明研究組建的專家征詢小組符合德爾菲法的要求[13].

(2)專家評分?jǐn)?shù)據(jù)分析.

6項(xiàng)一級指標(biāo)中位數(shù)為4.0～5.0，眾數(shù)大于等于4，平均值為4.39～4.67，總平均值為4.50；標(biāo)準(zhǔn)差為0.485～0.778，變異系數(shù)為0.104～0.177，變異系數(shù)均值為0.123，均小于0.25，說明專家評分結(jié)果較為集中.從滿分頻率來看，“建模過程”和“成果展示”兩項(xiàng)指標(biāo)頻率均為44.4%，低于基本標(biāo)準(zhǔn)50%，但兩項(xiàng)指標(biāo)的其他分值均為4分，即剩余55.6%的專家認(rèn)為兩項(xiàng)指標(biāo)“基本合理”.各指標(biāo)的|MO-M|均小于1，說明專家意見一致性較好.綜合考慮，保留全部一級指標(biāo).

表1 一級指標(biāo)第一輪專家評分統(tǒng)計(jì)結(jié)果

21項(xiàng)二級指標(biāo)的中位數(shù)為4.5～5.0，眾數(shù)均為5.0(指標(biāo)T22有兩個眾數(shù)4.0和5.0)，平均值為4.44～4.83，總平均值為4.67，均大于等于4；滿分頻率在50.0%～88.3%，大于等于基本標(biāo)準(zhǔn)50%.從離散趨勢來看，21項(xiàng)二級指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.383～0.786，變異系數(shù)為0.090～0.175，均值為0.119，表明專家對各項(xiàng)指標(biāo)的評價波動較小，協(xié)調(diào)程度高；|MO-M|為0.17～0.56，均小于1，說明專家意見趨于一致.整體來看，初步構(gòu)建的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系較為合理.

(3)專家修改意見分析.

專家修改意見包括一、二級指標(biāo)名稱的修改與增刪,指標(biāo)內(nèi)涵解釋的修改、補(bǔ)充與刪減兩部分.

指標(biāo)名稱.針對一級指標(biāo)，專家指出：“有些課題可以由學(xué)生自己選擇提出，由教師評判確定后作為建模課題”“對于能力強(qiáng)的學(xué)生，也可以自己確定建模選題，建模課題可以改為建模選題.”“學(xué)習(xí)效果這項(xiàng)比較虛，成果展示亦能體現(xiàn)學(xué)習(xí)效果.這項(xiàng)不易評價，測定不能實(shí)現(xiàn)，建議略去.”故研究將“建模課題”改為“建模選題”；刪除一級指標(biāo)“學(xué)習(xí)效果”.針對二級指標(biāo)中專家提出“建模過程、合作學(xué)習(xí)和成果展示更突出教學(xué)監(jiān)控的重要性”“合作學(xué)習(xí)中，教師的要求應(yīng)該更加明確”“怎樣保證組間同質(zhì)、組內(nèi)異質(zhì)”的論述，研究在一級指標(biāo)“教學(xué)監(jiān)控”下增加二級指標(biāo)“組織協(xié)調(diào)”.同時，“理解問題改為提出問題”“為了和上面的動賓結(jié)構(gòu)一致，合作成效建議改成有效合作”“成果解釋可改為成果闡述，因?yàn)槭且U述整個建模過程，而不是僅對模型進(jìn)行解釋，否則和檢驗(yàn)結(jié)果有重復(fù)之嫌；學(xué)術(shù)表達(dá)改為規(guī)范表達(dá)”.

專家對指標(biāo)內(nèi)涵解釋的意見主要集中在一級指標(biāo)下各二級指標(biāo)內(nèi)涵的歸屬與劃分和指標(biāo)內(nèi)涵的補(bǔ)充、刪減上.研究分別根據(jù)專家的意見做出相應(yīng)修改.

1.2.3 第二輪專家意見統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析

(1)專家積極系數(shù)與權(quán)威系數(shù).

第二輪專家意見征詢共發(fā)送問卷18份，回收有效問卷16份，專家積極系數(shù)89%；專家權(quán)威系數(shù)均值為0.81，說明專家能夠很好地把握指標(biāo)條目內(nèi)容，權(quán)威性較高.

(2)專家評分?jǐn)?shù)據(jù)分析.

表2的結(jié)果顯示，所有一級指標(biāo)的眾數(shù)和中位數(shù)均為5.0，平均值在4.38～4.63，總平均值為4.54，均大于4，滿分頻率在56.3%～75.0%，均大于50%.從離散程度來看，標(biāo)準(zhǔn)差為0.619～0.806，均小于1，變異系數(shù)在0.134～0.184，變異系數(shù)均值為0.155，均小于0.25，且各指標(biāo)的|MO-M|均小于1.以上數(shù)據(jù)表明，第二輪專家征詢意見較為集中，專家對各級指標(biāo)的認(rèn)同度和協(xié)調(diào)程度較高，且表現(xiàn)出較好的一致性.

表2 一級指標(biāo)第二輪專家評分統(tǒng)計(jì)結(jié)果

19項(xiàng)二級指標(biāo)的中位數(shù)和眾數(shù)均為5，平均值4.38～4.81，總平均值為4.67，均大于4；滿分頻率在68.8%～87.5%，高于基本標(biāo)準(zhǔn)50%，表明專家對各項(xiàng)二級指標(biāo)的評分較為集中，對各項(xiàng)指標(biāo)的認(rèn)同度較高.

從離散趨勢來看，19項(xiàng)二級指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差在0.479～0.806，均小于1，變異系數(shù)在0.102～0.184，變異系數(shù)均值為0.136，均小于0.25；各指標(biāo)的在0.19～0.62，|MO-M|均小于1.以上數(shù)據(jù)表明，專家對各項(xiàng)二級指標(biāo)的評價波動較小，協(xié)調(diào)程度高，專家意見趨于一致.同時，各一級指標(biāo)的克隆巴赫α系數(shù)均在0.8以上，指標(biāo)體系的可信度較好，故可以停止德爾菲法專家意見征詢.

(3)專家修改意見分析.

專家僅對個別指標(biāo)的內(nèi)涵解釋提出修改意見.針對一級指標(biāo)，專家提出：“深化對數(shù)學(xué)知識的理解改為深化對數(shù)學(xué)知識與方法的理解與應(yīng)用”“要體現(xiàn)制定清晰明確的目標(biāo)，并在教學(xué)中以目標(biāo)為導(dǎo)向，進(jìn)行教學(xué)監(jiān)控”“將結(jié)合其他小組的優(yōu)點(diǎn)改為結(jié)合其他小組的經(jīng)驗(yàn)(有優(yōu)點(diǎn)，有失敗經(jīng)驗(yàn)等)”.對于二級指標(biāo)，專家認(rèn)為“具有吸引力的標(biāo)志應(yīng)該是有興趣”“情感支持改為對其過程中產(chǎn)生的生成性、創(chuàng)新性問題作激勵性評價”“保證同隊(duì)間同質(zhì)改為分組合理，把以提問的方式去掉，因?yàn)榭赡懿粌H僅是提問方式，可能還有其他方式.組織協(xié)調(diào)應(yīng)包括分組合理、過程的組織(技術(shù)支持、會議的組織與籌備、成果的展示組織等均屬于組織協(xié)調(diào)的范疇)”.研究接受專家的意見，對相關(guān)指標(biāo)內(nèi)涵做出修改.

1.3 指標(biāo)權(quán)重的確定

指標(biāo)權(quán)重是定量描述評價結(jié)果的依據(jù).研究選用層次分析法，編制《高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系權(quán)重調(diào)查問卷》，要求專家采用1-5標(biāo)度法(見圖3)對各級指標(biāo)的重要程度進(jìn)行兩兩對比，給出相應(yīng)評分.

表3 標(biāo)度法及其含義

利用Yaanp軟件統(tǒng)計(jì)專家評分結(jié)果，按照“構(gòu)建層次結(jié)構(gòu)模型，實(shí)施合法性檢查—構(gòu)造判斷矩陣，實(shí)施一致性檢驗(yàn)—層次單排序—層次總排序”的路徑確定各級指標(biāo)權(quán)重(見表4).

表4 高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系

1.4 指標(biāo)體系的檢驗(yàn)

信度檢驗(yàn).問卷的整體α系數(shù)為0.912，各維度α系數(shù)分別為0.847、0.856、0.949、0.902、0.801，均大0.800，專家意見較為一致.

內(nèi)容效度檢驗(yàn).選取涵蓋高校數(shù)學(xué)教育研究人員、教研員和一線教師的6位專家獨(dú)立地對每個指標(biāo)與所測目標(biāo)的相關(guān)程度進(jìn)行評判，從條目和整體兩方面判斷指標(biāo)體系是否具有良好的內(nèi)容效度.從6位專家的評判數(shù)據(jù)可得，評價者之間一致性水平為0.947，大于0.800，可以計(jì)算指標(biāo)內(nèi)容效度指數(shù).

計(jì)算結(jié)果顯示，18項(xiàng)指標(biāo)得到6位專家的認(rèn)可，其I-CVI和K*值均為1，表明這些指標(biāo)的內(nèi)容效度為優(yōu)秀.雖然一位專家對指標(biāo)T35的評分為2，I-CVI為0.83，但對其Pc進(jìn)行校正后，結(jié)果顯示K*值為0.81，大于0.74[14]，評價結(jié)果仍為優(yōu)秀.從整體來看，指標(biāo)體系的全體一致S-CVI(S-CVI/UA)為0.947，大于0.80[15]；指標(biāo)體系的平均S-CVI(S-CVI/AVE)為0.991，大于0.90.綜上，研究構(gòu)建的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系的內(nèi)容效度較好.

2 研究結(jié)果與討論

2.1 基于指標(biāo)體系結(jié)果的分析

研究構(gòu)建的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系涵蓋教師、學(xué)生和建模內(nèi)容三個方面，包括5個一級指標(biāo)和19個二級指標(biāo).從權(quán)重分布來看，一級指標(biāo)的權(quán)重分別為0.26、0.16、0.29、0.16、0.13，其重要性排序分別為建模過程、建模選題、教學(xué)監(jiān)控、合作學(xué)習(xí)與成果展示.其中前兩項(xiàng)總占比55%，超過一半.從二級指標(biāo)來看，選題的適切性最為重要(0.12)，其次是提出問題(0.10)、選題的發(fā)展性(0.08)和建立模型(0.08)，接著是選題的吸引力(0.06)和明確分工(0.06).以上六項(xiàng)指標(biāo)多數(shù)歸屬于建模過程和建模選題，且占全部指標(biāo)權(quán)重的50%.可見，專家們認(rèn)為在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模選題和數(shù)學(xué)建模過程應(yīng)給予足夠的重視.從數(shù)學(xué)建模本身來看，好的選題是有效開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)的前提和基礎(chǔ).選題既能反映教師對學(xué)情的掌握程度，又能考察教師對數(shù)學(xué)建模教學(xué)的理解水平.而數(shù)學(xué)建模過程是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的核心環(huán)節(jié)，能夠反映學(xué)生運(yùn)用已有知識解決實(shí)際問題的思維過程，有利于教師有針對性地給予學(xué)生指導(dǎo)和幫助，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

2.2 基于指標(biāo)體系實(shí)施的討論

培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力和創(chuàng)新精神,建立科學(xué)合理的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價指標(biāo)體系是當(dāng)下迫切需要解決的問題[16].數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價指標(biāo)體系的建構(gòu)是為教學(xué)服務(wù)的，如何利用該指標(biāo)體系評價數(shù)學(xué)建模教學(xué)呢？第一，清楚該指標(biāo)體系適用于支撐式教學(xué).如研究兩個物種在資源豐富的情況下種群數(shù)量變化規(guī)律的生態(tài)模型[6].第二，構(gòu)建數(shù)學(xué)建模教學(xué)評價模型.在使用該指標(biāo)體系之前確定各項(xiàng)二級指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)分,邀請專家在教學(xué)現(xiàn)場或通過觀看教學(xué)視頻對教師的數(shù)學(xué)建模教學(xué)進(jìn)行評分，并將專家的評分與指標(biāo)權(quán)重相結(jié)合計(jì)算總分.例如采用加權(quán)平均法構(gòu)建評價模型，把專家評分依次乘上相應(yīng)指標(biāo)權(quán)重，再求和.第三，定量和定性相結(jié)合，適當(dāng)修改評價指標(biāo).該指標(biāo)體系為評價高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)提供參考依據(jù)，在使用時可結(jié)合實(shí)際情況做出必要的調(diào)整與增刪.如在給出定量的評分結(jié)果的同時，針對教學(xué)的薄弱環(huán)節(jié)呈現(xiàn)定性的改進(jìn)意見或建議，精準(zhǔn)有效地提升教師的教學(xué)技能.