分段加權(quán)函數(shù)的Nitsche條件

王 利 鑫

(西華師范大學 數(shù)學與信息學院， 四川 南充 637002)

0 引言

本文是在二維圓環(huán)之間的能量最小同胚映射h:Α→Α*的基礎(chǔ)上，研究最小的λ-Dirichlet能量曲線的Nitsche條件，在這里

Α={z∈:r<|z|

且

0

Α*={z*∈:r*<|z*|

且

0

定義λ-Dirichlet能量為

(1)

當λ=1時,記為D[h]，其中

(2)

為線性微分映射Df的算子范數(shù)，加權(quán)函數(shù)λ(z,h)為一個可測函數(shù)，寫作

λ(z,h)=λ(|z|)，

且

0<λ(t)<∞，t∈(r,R).

近些年來，Nitsche現(xiàn)象的相關(guān)問題[1-2]以及圓環(huán)變形的相關(guān)問題[3-4]成了許多學者關(guān)注的熱點,學者們開始對圓環(huán)上的Nitsche現(xiàn)象進行了探討[2,5].由于圓環(huán)的旋轉(zhuǎn)對稱性，可知Dirichlet能量最小變形是徑向映射，因此在本文中我們只討論徑向最小映射H ，

則式(1)可化簡為以下的線積分，

(3)

稱式(3)為H 的λ-調(diào)和能量.其中

(4)

其中H∈W1,2(r,R)?[r,R],這里W1,2(r,R)表示Sobolev空間.特別地， H在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)是絕對連續(xù)的，故 H有固定端點值

H(r)=r*，H(R)=R*.

(5)

1 回顧

在正式證明前，我們先回顧幾個定義及定理.

定義1[6-7]對于任意給定的區(qū)間(a,b)?[r,R]，函數(shù)H∈W1,2(a,b)?[a,b]，若H在區(qū)間(a,b)內(nèi)幾乎處處滿足拉格朗日-歐拉方程(簡稱λ調(diào)和方程)

(6)

則H稱為λ調(diào)和曲線，簡稱λ曲線.其中W1,2(a,b)?[a,b]表明H在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)是連續(xù)的，因此由式(6)可知上升函數(shù)

(7)

一般來說，能量最小的函數(shù)不需要滿足同胚這個條件，因為在達到能量最小化序列時，函數(shù)就已經(jīng)失去了它的單葉性，在非線性彈性數(shù)學模型中，這種現(xiàn)象被稱為物質(zhì)的相互滲透[8-9].然而，能量最小的函數(shù)一般都包含在同胚性W1,2閉區(qū)間中，而同胚性W1,2閉區(qū)間恰好由幾乎處處都具有非負導數(shù)的函數(shù)組成.因此我們有如下定義.

定理2[1](Nitsche定理)函數(shù)h:A(r，R)→A*(r*,R*)是調(diào)和同胚映射當且僅當

(8)

2 主要結(jié)果及其證明

在Iwaniec等[5]關(guān)于加權(quán)Dirichlet能量的Nitsche現(xiàn)象的文章中，利用冪函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)λ(t)對其結(jié)果進行證明.其中λ(t)=tp,-∞

的解.這個二階方程有兩個基本解為H+=tA,

因此，一般的λ-調(diào)和曲線的形式為

H(t)=atA+btB，a，b∈R.

(9)

本文考慮的加權(quán)函數(shù)λ(t)為不連續(xù)的分段函數(shù)，對于p1,p2∈R，

(10)

在上述加權(quán)函數(shù)為不連續(xù)的分段函數(shù)的情況下，我們有如下結(jié)論：

定理3(λ-Nitsche條件)λ最小曲線H：[r,R]→[r*,R*]是同胚映射當且僅當H滿足

證明在這里λ調(diào)和曲線采取的形式是

(11)

其中任意系數(shù)a1,a2,b1,b2∈R.由式(5)知函數(shù)的兩端固定，將r,ρ,R三點代入式(11)，有

(12)

可得系數(shù)a1,a2,b1,b2的結(jié)果如下：

(13)

由λ調(diào)和曲線(6)可知下式成立

(14)

對式(11)求導，則

(15)

將式(15)代入式(14)，有

tp1(Aa1ρA-1+Bb1ρB-1)=tp2(Aa2ρA-1+Bb2ρB-1).

(16)

將a1,a2,b1,b2的結(jié)果代入式(16)：

等式左右兩邊同時約去ρ2A+2B-1,得到下式

tp1(uA-uB)[A(r*-ρ*vB)+B(ρ*vA-r*)]-
tp2(vA-vB)[A(R*-ρ*uB)+B(ρ*uA-R*)]=0，

(17)

可得

(18)

由Nitsche條件，有

(19)

則

從而有

即

從而有

由上式和式(8)相同，可知定理3為定理2的一類情況，并且在新的分段加權(quán)函數(shù)下的調(diào)和同胚映射依然滿足Nitsche條件.