一類非線性矩陣方程組的Hermite正定解

熊 昊， 黃敬頻*， 黃玉蓮

(1.廣西民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與物理學(xué)院, 廣西 南寧 530006; 2.西南石油大學(xué) 理學(xué)院， 四川 成都 610500)

0 引言

本文研究一類非線性矩陣方程組

(1)

的Hermite正定解, 其中0

事實(shí)上, 方程組(1)是離散時(shí)間代數(shù)Riccati方程特殊情形的推廣:

X=H*XH+Q-(F*XH+A)*
(R+D*XD)-1(F*XH+A),

(2)

當(dāng)H=0,R=I時(shí), 方程(2)退化為X=Q-A*(I+D*XD)-1A.由Woodbury矩陣等式[1]得

X=Q-A*[I-D*(X-1+DD*)-1D]A=
Q-A*A+A*[I+D-1X-1(D*)-1]-1A,

令Q=M+A*A,B=(D*)-1, 此時(shí)方程(2)等價(jià)于方程組(1)當(dāng)s=t=1,N=I的情況, 此類非線性矩陣方程在控制理論、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、隨機(jī)過濾等領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用[2-5].

為討論方便, 文中正定解指Hermite正定解.Cm×n表示全體m×n復(fù)矩陣集合,M>0(M≥0)表示M是正定(半正定)矩陣,M>N(M≥N)表示M-N是正定(半正定)矩陣,A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣,λ1(A)、λn(A)分別表示矩陣A的最大、最小特征值, ‖A‖表示矩陣A的譜范數(shù).

1 方程組(1)的可解性

本節(jié)主要討論方程組(1)正定解的一些性質(zhì).

引理1[6]如果A>B>0(A≥B>0), 則當(dāng)α∈(0,1]時(shí),Aα>Bα>0(Aα≥Bα>0); 當(dāng)α∈[-1,0)時(shí), 0

引理2[6]若0<θ≤1,P,Q都是同階Hermite正定矩陣且滿足P,Q≥αI>0, 則有

‖Pθ-Qθ‖≤θαθ-1‖P-Q‖,
‖P-θ-Q-θ‖≤θα-θ-1‖P-Q‖.

定理1若γ,η分別為系數(shù)矩陣A,B的特征值, 則方程組(1)的正定解滿足如下關(guān)系式：

證明設(shè)u是矩陣A的一個(gè)特征值γ對(duì)應(yīng)的單位特征向量, 即Au=γu且|u|=1.

〈Xu,u〉-〈(A*Y-sA)u,u〉=〈Mu,u〉,
〈Xu,u〉-〈Mu,u〉=〈Y-sAu,Au〉,
〈(X-M)u,u〉=|γ|2〈Y-su,u〉.

并且

[λn(X)-λ1(M)]I≤X-M≤[λ1(X)-λn(M)]I,

那么

[λn(X)-λ1(M)]·[λn(Y)]s≤|γ|2≤
[λ1(X)-λn(M)]·[λ1(Y)]s,

因此

同理可得

證畢.

定理2方程組(1)存在正定解(X,Y), 則滿足

M≤X≤M+A*N-sA,

N≤Y≤N+B*M-tB.

證明定義復(fù)合映射F(X)=M+A*[G(YX)]-sA,G(YX)=N+B*X-tB,Ω1=[M,M+A*N-sA].

顯然F(X)在非空閉凸集Ω1上連續(xù). 那么

N+B*(M+A*N-sA)-tB≤G(YX)≤

N+B*M-tB,

則有

M+A*[N+B*M-tB]-sA≤F(X)≤M+
A*[N+B*(M+A*N-sA)-tB]-sA,

易知

M≤F(X)≤M+A*N-sA,

所以F(Ω1)?Ω1,再定義復(fù)合映射H(Y)=N+B*[I(XY)]-tB,I(XY)=M+A*Y-sA,Ω2=[N,N+B*M-tB],同理可得H(Ω2)?Ω2, 由Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理知, 方程組(1)必存在一個(gè)正定解(X,Y).假設(shè)(X,Y)是方程組(1)的正定解, 顯然

X≥M,Y≥N,A*Y-sA≥0,

B*X-tB≥0.

根據(jù)引理1知A*Y-sA≤A*N-sA, 于是

M≤X=M+A*Y-sA≤M+A*N-sA.

同理可得

N≤Y=N+B*X-tB≤N+B*M-tB.

證畢.

定理3若取η0=λ1(N)+λ1(B*B)·[λn(M)]-t,β0=λ1(M)+λ1(A*A)·[λn(N)]-s,α0=λn(M),γ0=λn(N), 并定義數(shù)列{αk},{ηk},{γk},{βk}如下:

(3)

則序列{αkI},{ηkI},{γkI},{βkI}均收斂. 若記

則αI≤X≤βI,γI≤Y≤ηI, 其中(X,Y)是方程組(1)的正定解.

證明方程組(1)正定解的存在性已由定理2給出, 下面先證明{αkI},{ηkI},{γkI},{βkI}均為單調(diào)序列, 由(3)式及0<α0≤β0,0<γ0≤η0，有

并且

假設(shè)?k∈N+，有αk-1≤αk,βk≤βk-1,γk-1≤γk,ηk≤ηk-1, 則

(4)

由歸納法知, {αk},{γk}是單調(diào)遞增數(shù)列, {ηk},{βk}是單調(diào)遞減數(shù)列.

再證?k∈N，有

(5)

由定理2知M

X≥M≥λn(M)I=α0I,Y≥N≥λn(N)I=γ0I,

(6)

此外

X≤M+A*N-sA≤λ1(M)I+
λ1(A*A)·[λn(N)]-sI=β0I,
Y≤N+B*M-tB≤λ1(N)I+λ1(B*B)·
[λn(M)]-tI=η0I,

(7)

由式(6)和式(7)得X∈[α0I,β0I],Y∈[γ0I,η0I].根據(jù)歸納法和矩陣偏序可知(5)式成立, 結(jié)合單調(diào)性可知, 序列{αkI},{γkI}單調(diào)遞增且分別以X和Y為上界, 序列{βkI},{ηkI}單調(diào)遞減且分別以X和Y為下界, 因此{(lán)αk},{ηk},{γk},{βk}均收斂, 且由

知X∈[αI,βI],Y∈[γI,ηI].證畢.

2 迭代算法

下面討論求解方程組(1)正定解的迭代格式及其收斂性. 考慮如下迭代:

(8)

關(guān)于迭代式(8)的收斂性, 有以下結(jié)論.

定理4若系數(shù)矩陣A,B,M,N滿足

s‖A‖2<[λn(N)]s+1,t‖B‖2<[λn(M)]t+1,

則方程組(1)存在正定解(X,Y), 且有誤差估計(jì)式

max(‖X-X2k‖,‖X-X2k+1‖)≤
qk‖A‖2[λn(N)]-s,
max(‖Y-Y2k‖,‖Y-Y2k+1‖)≤
qk‖B‖2[λn(M)]-t,

(9)

其中q=st[λn(N)]-(s+1)[λn(M)]-(t+1)‖A‖2‖B‖2, 序列{Xk},{Yk}由迭代式(8)定義.

證明根據(jù)迭代式(8), 有

(10)

那么

則X0

X0Y0

假設(shè)?k∈N+，都有

X0≤X2(k-1)Y0≤Y2(k-1)

(11)

那么

類似地

下面證明序列{X2k},{X2k+1}收斂到相同極限.

根據(jù)引理2, 考慮如下范數(shù)

(12)

同理可得

‖Y2k+1-Y2k‖≤‖B‖2t[λn(M)]-t-1‖X2k-X2k-1‖.

(13)

聯(lián)立(12)和(13)式, 則有

‖X2k+1-X2k‖≤st[λn(N)]-(s+1)
[λn(M)]-(t+1)‖A‖2‖B‖2‖X2k-1-X2k-2‖,
‖Y2k+1-Y2k‖≤st[λn(N)]-(s+1)
[λn(M)]-(t+1)‖A‖2‖B‖2‖Y2k-1-Y2k-2‖.

(14)

進(jìn)一步遞推得出

‖X2k+1-X2k‖≤q‖X2k-1-X2k-2‖≤
…≤qk‖X1-X0‖,‖Y2k+1-Y2k‖≤
q‖Y2k-1-Y2k-2‖≤…≤qk‖Y1-Y0‖.

(15)

在(14)、(15)式中令k→+∞, 即知序列{X2k},{X2k+1}和{Y2k},{Y2k+1}分別收斂到相同Hermite正定矩陣, 為進(jìn)一步獲得誤差估計(jì)式, 由迭代式(8)可知

‖X1-X0‖=‖M+A*N-sA-M‖≤
‖A‖2[λn(N)]-s,
‖Y1-Y0‖=‖N+B*M-tB-N‖≤
‖B‖2[λn(M)]-t,

(16)

根據(jù)(14)、(15)式即知誤差估計(jì)式(9)成立. 證畢.

3 擾動(dòng)分析

本節(jié)對(duì)非線性矩陣方程組(1)的正定解進(jìn)行擾動(dòng)分析, 獲得系數(shù)矩陣A,B,M,N同時(shí)擾動(dòng)時(shí)方程組正定解的擾動(dòng)界. 現(xiàn)考慮方程組(1)和它的擾動(dòng)方程組

(17)

則有擾動(dòng)界

和

證明由矩陣方程組(1)和(16)可得

因此

同理可得

聯(lián)立上式可得

同理可得

證畢.

4 數(shù)值算例

本節(jié)通過數(shù)值算例驗(yàn)證本文所得理論結(jié)果的有效性和可行性. 采用Matlab2022a編程計(jì)算, 并用iter代表迭代次數(shù),time代表算法終止所需時(shí)間. 殘差由下列公式計(jì)算

例1對(duì)于矩陣方程組(1), 取s=0.3,t=0.4, 給定系數(shù)矩陣

對(duì)任意正整數(shù)m,n，直接驗(yàn)證可知q=st[λn(N)]-(s+1)[λn(M)]-(t+1)‖A‖2‖B‖2<1, 根據(jù)定理3可知，方程組(1)存在正定解. 采用迭代式(8)進(jìn)行求解, 當(dāng)m=4,n=3時(shí), 計(jì)算得

表1 例1不同階數(shù)迭代計(jì)算結(jié)果

例2對(duì)于矩陣方程組(1), 取s=0.8,t=1, 給定系數(shù)矩陣

對(duì)于任意正整數(shù)m,n，直接驗(yàn)證可知q=st[λn(N)]-(s+1)[λn(M)]-(t+1)‖A‖2‖B‖2<1, 根據(jù)定理3可知，方程組(1)存在正定解. 采用迭代式(8)進(jìn)行求解, 當(dāng)m=5,n=4時(shí), 計(jì)算結(jié)果為

表2 例2不同階數(shù)迭代計(jì)算結(jié)果

4 結(jié)論

非線性矩陣方程組(1)來源于離散時(shí)間代數(shù)Riccati方程, 本文利用最大、最小特征值關(guān)系給出方程組(1)正定解與系數(shù)矩陣之間的關(guān)系, 并借助Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理證明了方程組正定解的存在性, 對(duì)正定解的上下界進(jìn)行估計(jì), 構(gòu)造了計(jì)算方程組(1)正定解的迭代算法, 運(yùn)用單調(diào)有界原理證明其算法收斂性, 給出方程組(1)正定解的一階擾動(dòng)界. 數(shù)值算例表明, 所給方法對(duì)求解方程組(1)的正定解可行有效.