發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)直觀樣態(tài)

陳 偉

(內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 四川 內(nèi)江 641100)

0 引言

所謂直觀，即如其所是地顯示本身，意味著直接地觀察到、體會到、意識到[1].直觀想象是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，直觀想象能促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》對直觀想象的培養(yǎng)給出了具體的操作方法和示例，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)起到了很好的引導(dǎo)作用[2].課程標(biāo)準(zhǔn)的啟示是直觀想象需要在教學(xué)過程中切合教學(xué)情境和時機(jī)采用直觀教學(xué)手段培養(yǎng)，教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)不同的教學(xué)直觀表現(xiàn)出不同的樣態(tài).這里所說的教學(xué)直觀樣態(tài)，是指教師根據(jù)所要處理的數(shù)學(xué)知識、問題、方法及其蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想、本質(zhì)、規(guī)律和學(xué)生認(rèn)知實(shí)際、教學(xué)目的而給出的易于學(xué)生直接感知、理解或意會、頓悟并實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維快速轉(zhuǎn)化的實(shí)物、圖形、語言等的呈現(xiàn)形式或表達(dá)方式，以及相關(guān)數(shù)學(xué)對象的屬性在這些形式和方式中的表現(xiàn)，可能是某一呈現(xiàn)過程或表達(dá)過程的局部樣態(tài)，也可能是其整體樣態(tài).以樣態(tài)借用的中介及表現(xiàn)形式為標(biāo)準(zhǔn)，將數(shù)學(xué)教學(xué)直觀樣態(tài)分為圖形輔助樣態(tài)、實(shí)物演示樣態(tài)、書寫表達(dá)樣態(tài)、口頭解釋樣態(tài)等[3].教學(xué)直觀樣態(tài)在呈現(xiàn)形式和表達(dá)方式上具有學(xué)科及學(xué)段共性，在對處理對象的信息量把握、綜合性和難度控制、素養(yǎng)和能力的層次要求等方面具有學(xué)科或?qū)W段差異，這里主要圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)直觀樣態(tài)及其對發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用進(jìn)行論述.

1 教學(xué)直觀基本樣態(tài)及呈現(xiàn)實(shí)例

1.1 圖形輔助樣態(tài)

圖形輔助樣態(tài)是幫助學(xué)習(xí)者認(rèn)知、思考、感悟和創(chuàng)新的圖形構(gòu)造、呈現(xiàn)和應(yīng)用樣態(tài).圖形的主要功能在于承載、消釋和傳播信息，將抽象、復(fù)雜、疑難的知識點(diǎn)、思維點(diǎn)、策略點(diǎn)隱于其中又易于學(xué)習(xí)者從中感知、識別、記憶和領(lǐng)悟，并對所學(xué)產(chǎn)生明晰、深刻、透徹的影響，因此圖形輔助樣態(tài)應(yīng)具備簡明、直觀、美觀、適切、釋疑等特征，作圖應(yīng)規(guī)范、正確，即便是草圖、示意圖也要講究美觀、嚴(yán)謹(jǐn)，避免因失真導(dǎo)致學(xué)生不能感知或錯誤感知.圖形輔助樣態(tài)應(yīng)直擊問題要害，在關(guān)注問題本身的同時，也要注意學(xué)生在既往學(xué)習(xí)中可能未曾搞懂的相關(guān)知識點(diǎn)，還要注意觀察和了解學(xué)生利用圖形解決問題時產(chǎn)生了什么錯誤或迷惑，在圖形中可采用不同顏色強(qiáng)調(diào)其中的關(guān)鍵點(diǎn)、線、面等.圖形輔助樣態(tài)應(yīng)以簡單、直觀的圖形揭示深刻道理，以幫助學(xué)習(xí)者更快捷、更順暢、更有效地理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)、感悟數(shù)學(xué)原理的規(guī)律、辨析易混邏輯及厘清推理論證的過程等.圖形呈現(xiàn)樣態(tài)應(yīng)注意靜態(tài)與動態(tài)相結(jié)合，對于問題的解決，有時靜態(tài)圖形就能起到作用，但更多時候需要動態(tài)圖形才能起到更好作用，因為在動態(tài)圖形中呈現(xiàn)差異或變化，內(nèi)在的原理和規(guī)律直觀顯現(xiàn)、不言自明.圖形的構(gòu)造應(yīng)注意一般與特殊相結(jié)合，以一般圖形提升綜合分析能力，以特殊圖形擊破疑惑點(diǎn).圖形呈現(xiàn)樣態(tài)還應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)動態(tài)軟件、3D動畫技術(shù)等提升效果，以更好地培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等核心素養(yǎng).

若在集合I內(nèi)f(x)與g(x)均有意義并存在最小值，且f(x)≥g(x)恒成立，那么f(x)最小值是否等于g(x)的最小值？這樣的問題比較抽象，高中生在解決相關(guān)問題時經(jīng)常出現(xiàn)錯誤.為了幫助學(xué)生把這樣的基本問題徹底搞清楚，可以畫出集合I內(nèi)滿足上述條件的一些圖形，借助圖形的直觀幫助學(xué)生理解抽象結(jié)論，這是教學(xué)深入淺出的重要方式[4].

圖1中，滿足f(x)min=f(x0),g(x)min=g(x0),且f(x0)=g(x0),所以f(x)min=g(x)min；圖2和圖3中，滿足f(x)min=f(x0),g(x)min=g(x0),但f(x0)≠g(x0),所以f(x)min≠g(x)min；圖4中，滿足f(x)min=f(x2),g(x)min=g(x1),但f(x2)≠g(x1),所以f(x)min≠g(x)min.

圖1 切于頂點(diǎn)關(guān)系樣態(tài)

圖2 相離關(guān)系樣態(tài)

圖3 一般多切點(diǎn)關(guān)系樣態(tài)

圖4 一般單切點(diǎn)關(guān)系樣態(tài)

上面的圖形具有一般性，上面的過程是用圖形的直觀加以輔助，由教師引導(dǎo)學(xué)生在視圖、思考、變化、辨析和歸納的過程中逐步形成內(nèi)化認(rèn)知，并將認(rèn)知結(jié)果上升為抽象的數(shù)學(xué)表達(dá)式，促進(jìn)了學(xué)生直觀想象與數(shù)學(xué)抽象的協(xié)同發(fā)展[5].

1.2 實(shí)物演示樣態(tài)

實(shí)物演示樣態(tài)就是用真實(shí)物體直觀演示數(shù)學(xué)對象的形狀、性態(tài)、數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系、變化關(guān)系等的操作樣態(tài).數(shù)學(xué)對象在實(shí)物演示中具有真實(shí)性、直接性、直觀性、形象性、易感知性、經(jīng)驗互動性等特點(diǎn).實(shí)物演示易于將隱性的知識顯性化、間接的關(guān)系直接化、離散的思維集中化、深刻的道理淺顯化.實(shí)物演示樣態(tài)應(yīng)注意將數(shù)學(xué)對象與實(shí)物之間的對應(yīng)關(guān)系描述清晰，明確告知學(xué)習(xí)者觀察實(shí)物所要解決的數(shù)學(xué)問題是什么，并注意實(shí)物大小變化、形狀變化、位置變化對觀察的影響和可能引起的數(shù)學(xué)對象的變化.觀察實(shí)物應(yīng)注重讓學(xué)生親自操作體驗，也可以讓學(xué)生自己動手制作實(shí)物模型，以增加學(xué)生對實(shí)物的深度感知和問題與實(shí)物之間的思維聯(lián)結(jié).教室中的實(shí)物、學(xué)生的學(xué)習(xí)用品以及學(xué)生本人都可以作為演示數(shù)學(xué)對象的載體.比如，學(xué)習(xí)奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)時，就可以用肢體動作形象地演示奇函數(shù)和偶函數(shù)的對稱性；學(xué)習(xí)概率分布時，就可以找一些學(xué)生隨機(jī)站成一橫排，觀察身高、體重、性別等的分布規(guī)律；學(xué)習(xí)正弦定理和余弦定理的應(yīng)用時，就可以設(shè)計不易到達(dá)的樹木、電線桿、建筑物、山體等的高度的測量問題，引導(dǎo)學(xué)生思考需要測量哪些容易測量的距離或長度、角度，需要準(zhǔn)備哪些測量工具，要用到哪些定理或公式進(jìn)行計算或推理，可以減少哪些不必要的測量和推理、計算過程等，以培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

例如，立體幾何中大量的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系，都有必要讓學(xué)生在親手操作的體驗和對實(shí)物的直觀感知中去認(rèn)識位置關(guān)系的變化所引起的結(jié)論變化，搞懂結(jié)論成立的必要條件.例如，對于命題“若三個平面兩兩垂直，則它們的交線兩兩垂直”的證明，可以先讓學(xué)生擺放如圖5和輔助構(gòu)圖6的兩兩垂直關(guān)系，在操作體驗和實(shí)物觀察中得出三條交線必然兩兩垂直，并引導(dǎo)學(xué)生將木片繞經(jīng)過的交線轉(zhuǎn)動，觀察三條交線的位置關(guān)系有何變化，從而發(fā)現(xiàn)問題可以轉(zhuǎn)化為先證明命題“若兩個平面相交，且都與第三個平面垂直，則它們的交線必垂直于第三個平面”.對于兩兩垂直的三個平面，也可引導(dǎo)學(xué)生觀察教室的墻角，看墻角的三個平面有何位置關(guān)系，思考它們的交線有何位置關(guān)系、怎么證明這樣的位置關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生畫出滿足這種位置關(guān)系的三個平面(見圖7).然后提示學(xué)生：既然有面面垂直的條件，就應(yīng)從面面垂直的性質(zhì)思考證明的方法.這樣的生成性過程有助于培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察事物、提出問題、建立模型、分析問題和解決問題的能力.

圖5 實(shí)物初始樣態(tài) 圖6 實(shí)物旋轉(zhuǎn)樣態(tài) 圖7 圖形輔助樣態(tài)

1.3 書寫表達(dá)樣態(tài)

書寫表達(dá)樣態(tài)就是用文字和數(shù)學(xué)的術(shù)語、符號、式子、邏輯聯(lián)結(jié)詞等表達(dá)數(shù)學(xué)對象以及分析和解決數(shù)學(xué)問題的過程的書寫樣態(tài).書寫過程應(yīng)體現(xiàn)簡潔、直觀、規(guī)范、流暢、易于理解和符合數(shù)學(xué)推理的邏輯性、條理性、層次性、嚴(yán)謹(jǐn)性等特點(diǎn).書寫表達(dá)形式的優(yōu)化能給學(xué)生激活思維、理解問題、解決問題、把握規(guī)律、建構(gòu)知識和方法體系等降低難度、消減障礙、提高效率、增強(qiáng)效果，對培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理等核心素養(yǎng)、發(fā)展其思維能力、提升其思維品質(zhì)和激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣等起到事半功倍的效果[6].數(shù)學(xué)中的函數(shù)表達(dá)式、曲線方程、數(shù)列規(guī)律等，總是盡可能以直觀的形式給出，這種直觀形式表現(xiàn)出簡潔性、一致性、美感性，從形式上易于感官直接接受、直接觀察[7].對于復(fù)雜過程的書寫，更應(yīng)注意突出重點(diǎn)，便于集中學(xué)生注意點(diǎn)；對于疑難點(diǎn)，注意適當(dāng)從細(xì)，并注意主板與次板相結(jié)合，補(bǔ)充書寫學(xué)生可能遺忘的知識和方法，以便分解難點(diǎn)，打通學(xué)生思維障礙，給予學(xué)生情感關(guān)懷；對于易混點(diǎn)，注意書寫辨析問題，給學(xué)生互動討論時間，讓學(xué)生獲得豁然開朗的愉快體驗；對于分析問題和解決問題的典型過程，教師的書寫要具有示范性，并給出類似問題讓學(xué)生完整書寫過程，教師及時加以規(guī)范指導(dǎo)[8].

例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算有這樣兩條規(guī)律：①(b+c)×a=b×a+c×a,②a×(b+c)=a×b+a×c.但在分式的運(yùn)算中，

運(yùn)算③正確，運(yùn)算④錯誤.對于④的錯誤，不僅初中生有，高中生也有，產(chǎn)生錯誤的主要原因是③和④形式很接近，容易混淆.若將③和④分別改寫為下面的形式：⑤(b+c)÷a=b÷a+c÷a,⑥a÷(b+c)=a÷b+a÷c,就從形式上將③和④與①和②統(tǒng)一起來了，引導(dǎo)學(xué)生從形式上形成認(rèn)知：在實(shí)數(shù)中，乘法對加法既有右分配律，也有左分配律，而除法對加法只有右分配律，沒有左分配律.書寫形式的統(tǒng)一，使得關(guān)系變得很直觀，學(xué)生易區(qū)別和掌握結(jié)論.圖8表示的問題是：2個人分6個桃子，平均每人分得幾個桃子？學(xué)生可以借助圖形直觀、生活經(jīng)驗從除法產(chǎn)生的本源深度感知為什么除法對加法有右分配律而無左分配律[9].

圖8 除法分配律正誤辨析樣態(tài)

1.4 口頭解釋樣態(tài)

口頭解釋樣態(tài)就是用簡潔、直白、明了的口頭語言對數(shù)學(xué)的概念、原理以及解決數(shù)學(xué)問題的方法和思路的得來與篩選、學(xué)生學(xué)習(xí)過程中遺留或突發(fā)的各種疑惑等予以快速解釋、說明或啟迪的樣態(tài).口頭解釋是對圖形輔助、實(shí)物演示、書面表達(dá)的必要補(bǔ)充，能促進(jìn)思想交流、認(rèn)識暢通、思維活化，是順利解決數(shù)學(xué)問題的“粘合劑”和“催化劑”，在數(shù)學(xué)教學(xué)中被大量使用.口頭解釋應(yīng)避免生硬話語和牽強(qiáng)附會，解釋應(yīng)追求即時效應(yīng)，應(yīng)以直觀、簡練、準(zhǔn)確、意思明確、交流通達(dá)為特征，能達(dá)到一語中的的效果最好，避免因說得太多導(dǎo)致意思含混、讓人費(fèi)解.特別是在高效課堂的建設(shè)中，優(yōu)秀教師用恰如其分的口頭解釋，結(jié)合形象逼真的肢體動作和充滿簡潔美的數(shù)學(xué)符號、式子、圖形等，再加上師生的靈感與習(xí)慣化配合形成的默契營造生動的課堂瞬間，讓人很享受，給人留下了深刻的印象和美好的回憶.口頭解釋語言與調(diào)侃語言、通俗語言、方言土語等結(jié)合，表現(xiàn)出不同的口頭解釋樣態(tài)，會更切合意境，更利于學(xué)生快速意會、明白道理.不同形式的口頭解釋樣態(tài)在不同的數(shù)學(xué)問題情境中有不同的優(yōu)勢，這種優(yōu)勢差異體現(xiàn)在何種口頭解釋樣態(tài)在特定情況下更易于感知體會、引導(dǎo)思考、生發(fā)頓悟，通過簡明、形象和意境到位的口頭解釋點(diǎn)化學(xué)生思維，讓學(xué)生茅塞頓開，顯得尤其精妙[10].借助現(xiàn)代信息技術(shù)進(jìn)行配音、錄音、播放，能豐富口頭解釋的形式，增加課堂的吸引力，緩解學(xué)生學(xué)習(xí)的緊張感和疲乏感.教師富有感染力、效力和數(shù)學(xué)推理的口頭解釋，也是在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性、舒張性、貫通性，發(fā)展的是學(xué)生的核心素養(yǎng).

例如，對于命題“若函數(shù)f(x),g(x)是增函數(shù)，則φ(x)=f(x)g(x)是增函數(shù)”，若取f(x)=g(x)=x，從圖9和圖10不難看出這是一個錯誤的命題.實(shí)際上，學(xué)生卻常常把它作為真命題用于解題，這樣的錯誤在解決函數(shù)綜合問題的過程中具有較強(qiáng)的潛隱性.錯誤產(chǎn)生的原因是直觀性解釋語言存在缺失，導(dǎo)致學(xué)生抓不住命題的條件，片面掌握結(jié)論.解決的辦法是：⑴從圖9和圖10直觀解釋命題是錯誤的.⑵用符號語言解釋條件，即：若f(x)≥0,g(x)≥0,f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則φ(x)=f(x)g(x)也單調(diào)遞增；若f(x)≤0,g(x)≤0,f(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增，則φ(x)=f(x)g(x)就單調(diào)遞減.⑶給出命題的口頭語言解釋，即：若兩個增函數(shù)恒為非負(fù)，則它們的乘積為增函數(shù)；若兩個增函數(shù)恒為非正，則它們的乘積為減函數(shù).⑷給出符號語言表達(dá)的判斷依據(jù)，即不等式的性質(zhì)：若a>b≥0,c>d≥0,則ac>bd；若abd.⑸給出口頭語言描述的判斷依據(jù),即：越大的兩個非負(fù)數(shù)乘積越大，越大的兩個非正數(shù)乘積越小.這樣，用多種形式的語言解說，不同形式的語言的直觀性相互補(bǔ)充，并以口頭解釋銜接，產(chǎn)生“集束”效應(yīng)，通過口頭解釋的補(bǔ)充強(qiáng)化作用夯實(shí)學(xué)生的理解，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理的靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性.

圖9 初始函數(shù)樣態(tài)

圖10 乘積函數(shù)樣態(tài)

2 教學(xué)直觀樣態(tài)在關(guān)系和思路梳理中的呈現(xiàn)及實(shí)例

關(guān)系和思路梳理是分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要環(huán)節(jié)，關(guān)系和思路梳理常常具有綜合性、靈活性、復(fù)雜性，并伴隨教學(xué)直觀多種樣態(tài).在關(guān)系梳理中常用教學(xué)直觀多種樣態(tài)對數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系、概念關(guān)系、公式關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系、命題關(guān)系、邏輯關(guān)系等進(jìn)行清理和澄清；在思路梳理中常用教學(xué)直觀多種樣態(tài)對解決數(shù)學(xué)問題的思路進(jìn)行尋找、篩選、貫通、補(bǔ)全、理順、優(yōu)化和系統(tǒng).關(guān)系梳理是思路梳理的必要準(zhǔn)備，問題的解決伴隨關(guān)系梳理.關(guān)系梳理包括直接關(guān)系、間接關(guān)系和交錯關(guān)系；思路梳理包括線性梳理、環(huán)形梳理、跳躍梳理、離散梳理和發(fā)散梳理等.關(guān)系梳理應(yīng)盡可能就近、就簡、直接、概括，注意辨析鄰近概念、相似結(jié)論、干擾條件，并要善于捕捉和挖掘問題中的隱含關(guān)系.思路梳理應(yīng)突出生成性、條理性、應(yīng)然性、變通性，注意啟迪、點(diǎn)化、系統(tǒng)，并結(jié)合靈活多變的表達(dá)形式，體現(xiàn)美感.關(guān)系的理順和思路的疏通都需要依賴扎實(shí)的基礎(chǔ)知識和各種形式的綜合思維能力，有時也需要熟能生巧所帶來的靈感.在數(shù)學(xué)推證、計算的過程中，常有復(fù)雜關(guān)系出現(xiàn)，不會梳理關(guān)系和思路會導(dǎo)致問題解決半途而廢.讓學(xué)生學(xué)會對局部與局部關(guān)系、局部與整體關(guān)系、整體鏈?zhǔn)疥P(guān)系、整體枝狀關(guān)系的直觀梳理，有利于提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.特別是多類別、多層次的分類討論問題，學(xué)生因關(guān)系不清晰導(dǎo)致胡攪蠻纏的情況很多，這時需要引導(dǎo)學(xué)生明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到標(biāo)準(zhǔn)不重不漏，分類盡可能優(yōu)化，調(diào)整思路和方法避免不必要的分類等.

例如，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，建立如圖11所示的坐標(biāo)系，從圖形的對稱關(guān)系進(jìn)行直觀分析，由于圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對稱且關(guān)于直線y=±x不對稱，在推導(dǎo)方程之前引導(dǎo)學(xué)生預(yù)見結(jié)果：推得的方程中一定不含x，y項，且方程中的將x，y對換后所得方程一定與原方程不同，這樣的預(yù)見性是一個懸念，引發(fā)學(xué)生期待，能激發(fā)學(xué)生求知欲和興趣.

圖11 方程特征猜想導(dǎo)引樣態(tài)

又如，對于等差數(shù)列{an},前n項和公式為

其通項公式an=a1+(n-1)(n∈N*)的圖像如圖12所示，由圖像知之所以有這樣的求和公式，是因為項與項之間存在對稱關(guān)系.圖形中對稱關(guān)系變得很直觀，易據(jù)此拓展學(xué)生的認(rèn)知，即得等差數(shù)列任意具有這種對稱關(guān)系的若干項求和都可照此進(jìn)行.

圖12 中心對稱結(jié)論導(dǎo)引樣態(tài)

再比如，若數(shù)列{an}的通項公式為

怎么求其前12項和S12？此數(shù)列通項公式對應(yīng)的連續(xù)函數(shù)為

由于函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(6.5，1)對稱，所以數(shù)列{an}的前12項和S12與等差數(shù)列求和中的對稱規(guī)律類似，可得S12=12.

若數(shù)列{an}的通項公式為

為求其前19項和S19,考慮函數(shù)

g(x)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，向右平移10個單位，向上平移1個單位得

函數(shù)h(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(10，1)對稱，與上同理可得S19=19.

同樣地，軸對稱問題亦如此.這樣的過程挖掘出了問題中隱含的數(shù)量關(guān)系，是將內(nèi)在數(shù)量關(guān)系直觀化、顯性化、拓展化的過程，包含著數(shù)據(jù)分析和數(shù)據(jù)處理的方法啟迪[11].

3 結(jié)語

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生不同程度地存在理解、記憶、作圖、建模、運(yùn)算、推理和表達(dá)等方面的能力不足問題，聽不懂、想不通、悟不透、記不牢、理不順、算不對等嚴(yán)重影響著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，理解知識抓不住本質(zhì)、思考問題切不中關(guān)鍵、解決問題找不到方法、推理論證不嚴(yán)謹(jǐn)、運(yùn)算求解不簡捷、書寫表達(dá)不規(guī)范給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)帶來不少困擾.教學(xué)應(yīng)切合學(xué)生階段性認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所需，重視數(shù)學(xué)知識的生成和深化過程、思路的突破和梳理過程、方法的選擇和應(yīng)用過程、認(rèn)知的建構(gòu)和系統(tǒng)過程[12]，增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)直觀性，通過圖形輔助直觀、實(shí)物演示直觀、書寫表達(dá)直觀、語言解釋直觀等增強(qiáng)學(xué)生體驗性感知，提升學(xué)生甄選和判斷力，激發(fā)學(xué)生求知欲，幫助學(xué)生化解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的困難、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).