立德樹人視角下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)原則探析

劉 藝， 趙思林

(1.宜賓學(xué)院 理學(xué)部， 四川 宜賓 644000；2.內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 四川 內(nèi)江 641100)

1 問題的提出

教學(xué)原則是為提高教學(xué)質(zhì)量而提煉出來指導(dǎo)和管理教學(xué)方法、設(shè)計(jì)和規(guī)范教學(xué)流程的方法論知識，是連接教育教學(xué)原理(包括教學(xué)規(guī)律)與教學(xué)方法手段的橋梁.提出新的教學(xué)原則是落實(shí)教育教學(xué)政策的必然要求，是體現(xiàn)和實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的技術(shù)保障，是規(guī)范教育教學(xué)活動(dòng)的關(guān)鍵之舉.教學(xué)原則需依據(jù)教育教學(xué)原理在學(xué)界早有共識，但教學(xué)原則必須依據(jù)并落實(shí)國家的教育教學(xué)政策法規(guī)則易被淡化.具有一定普適性的教學(xué)原則的研究較早.兩千多年前，中國偉大教育家孔子就提出了啟發(fā)式、因材施教、循序漸進(jìn)等沿用至今的教學(xué)原則；古希臘的柏拉圖則提出了類似于“啟發(fā)式”的“產(chǎn)婆術(shù)”教學(xué)原則.近現(xiàn)代以來，17世紀(jì)的夸美紐斯(在《大教學(xué)論》中提出37條教學(xué)原則)、裴斯泰洛齊(提出自然主義教育原則)、烏申斯基(提出教育民族性原則)，19世紀(jì)的赫爾巴特(提出教育性教學(xué)原則)，20世紀(jì)的凱洛夫(提出自覺性、系統(tǒng)性、直觀性、鞏固性和量力性5條教學(xué)原則)、贊可夫(提出高難度、高速度、理論主導(dǎo)、理解學(xué)習(xí)和全體發(fā)展5條教學(xué)原則)、維果斯基(提出“最近發(fā)展區(qū)”理論)、泰勒(在《課程與教學(xué)的基本原理》中提出目標(biāo)性、學(xué)習(xí)性、組織性、評估性4條原則)、杜威(提出從做中學(xué)原則)、布魯納(提出結(jié)構(gòu)、動(dòng)機(jī)、程序、反饋4條教學(xué)原則)等教育家，都提出過有一定普適性的教學(xué)原則.由于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的興起和蓬勃發(fā)展只有300年左右，數(shù)學(xué)教學(xué)原則的研究比一般教學(xué)原則的研究相對滯后.國外的數(shù)學(xué)教育家如斯托利亞爾、奧加涅、波利亞、弗賴登塔爾等，中國的數(shù)學(xué)教育家如曹才翰、丁爾升、張奠宙、張景中、張楚廷、史寧中、章建躍等，都提出了一些富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)教學(xué)原則.數(shù)學(xué)教學(xué)原則是數(shù)學(xué)教育工作者為達(dá)到預(yù)期目的應(yīng)遵循的基本要求和指導(dǎo)原理[1]，它反映了教學(xué)規(guī)律，體現(xiàn)著教育方向和目標(biāo)，規(guī)范了課堂教學(xué)活動(dòng)，從而有利于提高教學(xué)質(zhì)量.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)原則是為提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量而提煉出來指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)的方法論知識和數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循的行為準(zhǔn)則.很顯然，數(shù)學(xué)教學(xué)原則不應(yīng)一成不變，而應(yīng)與時(shí)俱進(jìn).數(shù)學(xué)教學(xué)原則的研制如何做到與時(shí)俱進(jìn)呢？這是值得研究的課題.具體地說，新時(shí)期制定的數(shù)學(xué)教學(xué)原則如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)“建設(shè)教育強(qiáng)國”“立德樹人的根本任務(wù)”等黨的教育政策與方針，如何落實(shí)最新版數(shù)學(xué)課標(biāo)的理念，這些問題為數(shù)學(xué)教學(xué)原則的研究與制定提出了新的更高要求.

2 數(shù)學(xué)教學(xué)原則的研究評述

19世紀(jì)至20世紀(jì)，斯托利亞爾、奧加涅、波利亞、弗賴登塔爾等數(shù)學(xué)教育家系統(tǒng)地研究了數(shù)學(xué)教學(xué)原則.我國關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)原則的研究在1980—2010年頗受關(guān)注，但不少研究帶有強(qiáng)烈的目的性、實(shí)踐性和主觀性[1].之后，在不同時(shí)期不同背景的影響下關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)原則體系的研究，雖成果較多，但未形成共識.

2.1 用結(jié)構(gòu)層次觀點(diǎn)構(gòu)建的數(shù)學(xué)教學(xué)原則

用結(jié)構(gòu)層次觀點(diǎn)構(gòu)建的數(shù)學(xué)教學(xué)原則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)原則的結(jié)構(gòu)性和層次性，在數(shù)學(xué)教學(xué)原則體系中有一些屬于上位原則，在這些上位原則之下構(gòu)建其下位的教學(xué)原則.但是這類原則體系中試圖包攬一般教學(xué)原則或數(shù)學(xué)教學(xué)的所有范疇.

斯卡特金批評了傳統(tǒng)教學(xué)論的教學(xué)原則不分層次的做法，他將教學(xué)原則體系分為兩個(gè)層次：第一層次是跟教學(xué)的世界觀方面有直接聯(lián)系的、決定著教學(xué)的思想方向的原則……；第二個(gè)層次是有關(guān)教學(xué)的技術(shù)程序方面的原則，包括直觀性原則、可接受性原則、鞏固性原則等[2].中國的德育和情感態(tài)度價(jià)值觀的教學(xué)目標(biāo)與斯卡特金的第一層次原則有相似之處.曹才翰等[3]把教學(xué)原則分成三個(gè)層次：一是目的性層次，包括3條原則；二是準(zhǔn)備性層次，包括8條原則；三是技術(shù)性層次.張楚廷[4]將數(shù)學(xué)教學(xué)原則分為兩個(gè)層次：一是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一般教學(xué)論原則，二是反映數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)科特征的特殊原則.周春荔等[5]將數(shù)學(xué)教學(xué)原則分為包括“數(shù)學(xué)思維揭示與數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)相結(jié)合原則”等三個(gè)層次.杜玉祥等[6]從五個(gè)角度提出了數(shù)學(xué)教學(xué)原則體系：一是方向目的原則，具體包括德育為首原則、培養(yǎng)創(chuàng)新人才原則等；二是教的原則；三是學(xué)的原則；四是合作原則；五是技術(shù)策略原則.杜玉祥提出的方向目的原則，既強(qiáng)調(diào)智力因素的發(fā)展又強(qiáng)調(diào)非智力因素的培養(yǎng)，這些教學(xué)原則對當(dāng)下的數(shù)學(xué)教育教學(xué)仍有指導(dǎo)意義.但也存在一些問題：一是這些教學(xué)原則比較泛化，缺乏數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)，似乎其他學(xué)科也適用；二是5個(gè)一級原則之下每個(gè)分別有5個(gè)二級原則，導(dǎo)致教學(xué)原則的條目繁多、內(nèi)容龐雜，實(shí)難記憶.

2.2 用非結(jié)構(gòu)層次觀點(diǎn)構(gòu)建的數(shù)學(xué)教學(xué)原則

用非結(jié)構(gòu)層次觀點(diǎn)構(gòu)建的數(shù)學(xué)教學(xué)原則，雖沒有呈現(xiàn)出一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)原則體系，但有些教學(xué)原則的提法新穎、概括性強(qiáng)，且具有啟發(fā)性和教學(xué)指導(dǎo)意義.

波利亞[7]提出既指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)又指導(dǎo)教師教學(xué)的3條原則：主動(dòng)學(xué)習(xí)原則，最佳動(dòng)機(jī)原則和階段循序原則.這些原則需要對學(xué)情有充分了解，對學(xué)習(xí)過程有必要的預(yù)設(shè).

斯托利亞爾[8]認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)一般原則即為“教學(xué)的科學(xué)性和直觀性，學(xué)生自覺性和積極性，知識的鞏固性和個(gè)別指導(dǎo)”.易中建[9]提出數(shù)學(xué)課堂應(yīng)堅(jiān)持“目標(biāo)、結(jié)構(gòu)、自然、情感”這4條基本原則.這些原則均未突出“數(shù)學(xué)”的學(xué)科特征.李光樹[10]根據(jù)素質(zhì)教育的內(nèi)涵和要求，提出8條數(shù)學(xué)教學(xué)原則：傳授數(shù)學(xué)知識與促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)全面發(fā)展相結(jié)合、歸納與演繹相結(jié)合、理解數(shù)學(xué)知識形成過程與掌握數(shù)學(xué)知識結(jié)果并重、理解鞏固與探索創(chuàng)新有機(jī)結(jié)合等，并逐一給出貫徹這些原則的基本要求.

弗賴登塔爾[11]在《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》中提出四條數(shù)學(xué)教學(xué)原則：蘇格拉底方法原則，再創(chuàng)造原則，數(shù)學(xué)化原則，嚴(yán)謹(jǐn)性原則.其中的“數(shù)學(xué)‘再創(chuàng)造’原則”“數(shù)學(xué)化原則”已為學(xué)界普遍認(rèn)同.“數(shù)學(xué)‘再創(chuàng)造’原則”倡導(dǎo)學(xué)生模仿性創(chuàng)造，這可能忽視對中學(xué)生的原創(chuàng)精神和能力的培養(yǎng).弗賴登塔爾的這些觀點(diǎn)對后來中國數(shù)學(xué)教學(xué)原則的研究產(chǎn)生了影響.如，張艷霞等[12]提出4條數(shù)學(xué)教學(xué)原則：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化的原則，適度形式化的原則，問題驅(qū)動(dòng)的原則和滲透數(shù)學(xué)思想方法的原則.張艷霞等提出的數(shù)學(xué)教學(xué)原則源于數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律和教師的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn).張敏等[13]在分析上述四條數(shù)學(xué)教學(xué)原則的基礎(chǔ)上，給出了三類數(shù)學(xué)教學(xué)原則：數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)原則、數(shù)學(xué)化原則、符號運(yùn)算與符號理解相統(tǒng)一原則；演繹推理和合情推理相統(tǒng)一原則；數(shù)學(xué)三維目標(biāo)相統(tǒng)一原則.

張紅[14]提出新課改背景下的6條數(shù)學(xué)教學(xué)原則，其中的“數(shù)學(xué)雙基滲透思想方法的原則”“教師合理引導(dǎo)和學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)相結(jié)合的原則”等，對教學(xué)有較大的指導(dǎo)作用.這里的“學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)原則”強(qiáng)調(diào)了“探究”是“發(fā)現(xiàn)”的重要方法，但“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”的方法還很多，比如“觀察”“討論”“反思”“實(shí)驗(yàn)”“推理”“聯(lián)想”“猜想”“想象”“靈感”等，都可導(dǎo)致“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”.因此，“學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)原則”可拓展為“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新原則”.

2.3 存在的問題

已有的數(shù)學(xué)教學(xué)原則(體系)都在一定程度上反映了數(shù)學(xué)的教學(xué)規(guī)律和特點(diǎn).但也存在一些問題：一是確定數(shù)學(xué)教學(xué)原則的政策依據(jù)不清楚，如未全面體現(xiàn)“立德樹人是教育的根本任務(wù)”等要求；二是“未能確定教學(xué)原則的范圍和合理的統(tǒng)一劃分標(biāo)準(zhǔn)[15]”，導(dǎo)致教學(xué)原則的名稱、條目、層級等不統(tǒng)一問題；三是雖重視“數(shù)學(xué)‘再創(chuàng)造’原則”，但對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)原創(chuàng)能力(精神)不夠重視.這些問題是值得探討的.

3 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)原則新探

3.1 確定中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)原則的政策依據(jù)

確定數(shù)學(xué)教學(xué)原則的政策依據(jù)主要有三個(gè)重要文件(精神)：一是黨的教育方針；二是《中學(xué)教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)(試行)》(以下簡稱《中教標(biāo)準(zhǔn)》)；三是新修訂的兩個(gè)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，即《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》.黨的十八大報(bào)告提出“把立德樹人作為教育的根本任務(wù)”“全面實(shí)施素質(zhì)教育，培養(yǎng)德、智、體、勞、美全面發(fā)展的人”的教育方針.僅從字面上來解讀“立德樹人是教育的根本任務(wù)”，至少有下面幾種理解：一是把“立德”與“樹人”并列起來，表明“立德”與“樹人”有相對獨(dú)立性；二是把“立德”排在“樹人”之前，說明“立德”的重要性和“德”對“人”培養(yǎng)方向的指引性；三是只有把“立德”與“樹人”統(tǒng)一成“立德樹人”，才是我國教育所培養(yǎng)的理想人才的標(biāo)準(zhǔn)，即“德才兼?zhèn)洹保谶@里，“立德樹人”既是過程又是路徑，“德才兼?zhèn)洹笔恰傲⒌聵淙恕钡慕Y(jié)果.《中教標(biāo)準(zhǔn)》[16]明確規(guī)定中學(xué)教師要“樹立育人為本、德育為先的理念”“注重結(jié)合學(xué)科教學(xué)進(jìn)行育人活動(dòng)”.“立德”與“樹人”相互影響、相互聯(lián)系，但它們也有相對獨(dú)立性[17].本文主要從“立德”和“樹人”相對獨(dú)立性的視角進(jìn)行研究.因此，中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)原則應(yīng)體現(xiàn)“數(shù)學(xué)式立德”和“數(shù)學(xué)式樹人”基本理念.新修訂的兩個(gè)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣和合作交流的意愿，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感，樹立正確的世界觀、人生觀、價(jià)值觀[18-19]”主要是“數(shù)學(xué)式立德”的要求，“掌握‘四基’，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[18-19]”主要是“數(shù)學(xué)式樹人”的要求.由此，提出了基于“立德樹人”的數(shù)學(xué)教學(xué)原則(見圖1).

圖1 立德樹人視角下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)原則

3.2 側(cè)重于數(shù)學(xué)式立德的教學(xué)原則

“育人為本、德育為先”，德育作為“五育”之首，決定了人才(學(xué)生)培養(yǎng)的正確方向.因此，重視德育是重要的數(shù)學(xué)教育觀念，即“數(shù)學(xué)式立德”.數(shù)學(xué)式立德是以數(shù)學(xué)的方式明德、學(xué)德、修德、用德的數(shù)學(xué)德育過程.“德”包括道德品質(zhì)、理想信念、科學(xué)的態(tài)度、人生價(jià)值追求等.在數(shù)學(xué)教育中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)價(jià)值觀念是進(jìn)行德育滲透的核心意蘊(yùn)，由此可歸結(jié)出“數(shù)學(xué)價(jià)值導(dǎo)向原則”.“以文化人、以文育人”亦是數(shù)學(xué)式立德的重要途徑.數(shù)學(xué)文化作為一種科學(xué)的文化、理性精神的文化、發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的文化、數(shù)學(xué)歷史故事的文化、真善美的文化，具有以文化人、以文育人的強(qiáng)大功能.因此，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅是數(shù)學(xué)知識的理解與內(nèi)化、數(shù)學(xué)方法的練習(xí)與熟練、數(shù)學(xué)思維的體操與鍛煉、數(shù)學(xué)思想的感悟與領(lǐng)悟，更應(yīng)是數(shù)學(xué)文化的浸潤，由此可歸結(jié)出“數(shù)學(xué)文化浸潤原則”.故數(shù)學(xué)價(jià)值導(dǎo)向原則、數(shù)學(xué)文化浸潤原則側(cè)重于數(shù)學(xué)式立德.

3.2.1 數(shù)學(xué)價(jià)值導(dǎo)向原則

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心價(jià)值觀念是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù).學(xué)科核心價(jià)值觀的教育蘊(yùn)藏在每一門學(xué)科教育教學(xué)活動(dòng)之中.數(shù)學(xué)核心價(jià)值觀的功能在于引導(dǎo)學(xué)生樹立愛國情懷和通過學(xué)好數(shù)學(xué)為國爭光的理想；形成自主探索、堅(jiān)持真理、大膽質(zhì)疑、嚴(yán)謹(jǐn)求證的科學(xué)態(tài)度；激發(fā)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)和興趣，養(yǎng)成自主、自律、自強(qiáng)的好習(xí)慣；通過數(shù)學(xué)創(chuàng)新活動(dòng)發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.

數(shù)學(xué)核心價(jià)值觀念的形成與提升的關(guān)鍵在于通過數(shù)學(xué)方式實(shí)現(xiàn)“五育”，其核心是進(jìn)行數(shù)學(xué)德育或德育滲透.因此，實(shí)施數(shù)學(xué)價(jià)值導(dǎo)向原則有以下策略：①以德“立”德.一是以數(shù)學(xué)家愛國之德“立”德.以我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚、蘇步青、丘成桐等的愛國之情、報(bào)國之志，“立”學(xué)生的愛國之德.二是以數(shù)學(xué)內(nèi)蘊(yùn)之德“立”德.如由數(shù)學(xué)內(nèi)蘊(yùn)物質(zhì)觀點(diǎn)(數(shù)學(xué)起源于現(xiàn)實(shí))、辯證統(tǒng)一觀點(diǎn)、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)(用函數(shù)表征)、事物有規(guī)律觀點(diǎn)、規(guī)律可認(rèn)知觀點(diǎn)，幫助學(xué)生逐步形成和建立“世界的物質(zhì)性”“物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)性”“運(yùn)動(dòng)的規(guī)律性”“規(guī)律的可認(rèn)知性”等唯物辯證觀點(diǎn)；以數(shù)學(xué)中大量的運(yùn)算規(guī)則、對應(yīng)法則、判別準(zhǔn)則等，培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)則意識，由此延伸可培養(yǎng)學(xué)生的法紀(jì)意識；以數(shù)學(xué)的工具理性價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的服務(wù)意識；以數(shù)學(xué)建模活動(dòng)和統(tǒng)計(jì)調(diào)查，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力.②以數(shù)學(xué)飽滿學(xué)習(xí)精神和優(yōu)良學(xué)習(xí)方法“立”學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣之德.如培養(yǎng)學(xué)生刻苦學(xué)習(xí)，勤思善想，獨(dú)立思考，理性判斷，鉆研難題，書寫規(guī)范等良好學(xué)習(xí)習(xí)慣.③以教師之德“立”德.數(shù)學(xué)教師之德包括數(shù)學(xué)學(xué)科之德、高尚師德和完美人格等，只有教師以德立身、施教，才能實(shí)現(xiàn)“立德樹人”總體目標(biāo).

3.2.2 數(shù)學(xué)文化浸潤原則

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的歷史性、藝術(shù)性、科學(xué)性和人文性.因此，數(shù)學(xué)文化浸潤原則要講好數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)理性精神和數(shù)學(xué)人文價(jià)值.數(shù)學(xué)史是在數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造、發(fā)展和完善過程中記錄下來的數(shù)學(xué)史料，是學(xué)生可以傾聽數(shù)學(xué)家探索創(chuàng)新精神的精彩故事會(huì)，是傳播數(shù)學(xué)思想文化的最優(yōu)科普讀本，是滋養(yǎng)學(xué)生理性精神的“春風(fēng)細(xì)雨”.數(shù)學(xué)的發(fā)明創(chuàng)造并非只有邏輯推演，同時(shí)也包含著直觀與猜想，而直覺與猜想往往又與人的審美聯(lián)系著[20].現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出，要重視學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)知識、理性思考、邏輯推理中領(lǐng)會(huì)其審美價(jià)值和審美思想[18-19].數(shù)學(xué)的抽象性決定了數(shù)學(xué)概念與推理的嚴(yán)謹(jǐn)，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的基本精神——理性精神.數(shù)學(xué)的人文價(jià)值決定著數(shù)學(xué)教學(xué)的情感與價(jià)值目標(biāo)，對增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)同有重要意義.

實(shí)施數(shù)學(xué)文化浸潤原則有以下策略：①以史育人.數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的文本載體，也是數(shù)學(xué)式立德的重要載體.教師應(yīng)廣泛涉獵數(shù)學(xué)歷史素材，將史學(xué)形態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榻逃螒B(tài)，依據(jù)歷史發(fā)展順序和知識演繹邏輯的雙重線索來設(shè)計(jì)教學(xué)，揭示數(shù)學(xué)史的宏觀歷史，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家思考與探究的過程，加深學(xué)生數(shù)學(xué)知識文化的理解，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣[21].②以美育人.數(shù)學(xué)是追求數(shù)學(xué)美的科學(xué)藝術(shù).教師充分挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)容中的美育因素并將其恰當(dāng)?shù)厝谌胝n堂教學(xué)中，如函數(shù)符號的簡潔美，圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等數(shù)學(xué)公式的和諧統(tǒng)一美；運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)展現(xiàn)幾何圖形美，如數(shù)學(xué)分形美、函數(shù)周期美、單位圓的美、動(dòng)點(diǎn)軌跡的美等，通過數(shù)學(xué)審美立美的體驗(yàn)，發(fā)揮數(shù)學(xué)美的育人功能.③以理服人.此處之“理”是“真理”和“理性”的簡稱.服從真理是人類文明的重要標(biāo)志，堅(jiān)守理性是數(shù)學(xué)教育的基本要求.堅(jiān)持真理、邏輯思維、批判性思維是理性精神的三大支柱.數(shù)學(xué)文化是一種概念文化、符號文化、理性文化和穩(wěn)定文化，這幾種文化分別與數(shù)學(xué)概念的純粹性、數(shù)學(xué)符號的簡潔性、邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性相對應(yīng).數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)在“真理”和“理性”的驅(qū)使下，讓人們學(xué)會(huì)“玩概念”、用邏輯、會(huì)思維、定趨勢.④以文化人.“以文化人”是以數(shù)學(xué)文化或數(shù)學(xué)人文精神育人的簡稱.數(shù)學(xué)人文的精髓依附在數(shù)學(xué)知識和方法的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，教師應(yīng)挖掘數(shù)學(xué)知識的文化背景、探索數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用途徑，促使學(xué)生在適當(dāng)?shù)纳鐣?huì)交互中建構(gòu)數(shù)學(xué)文化觀念，提升學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感態(tài)度與價(jià)值認(rèn)同感.

3.3 側(cè)重于數(shù)學(xué)式樹人的教學(xué)原則

數(shù)學(xué)式樹人有明確的樹人目標(biāo)，即發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，特別是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，由此提出“數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展原則”；數(shù)學(xué)式樹人應(yīng)關(guān)照學(xué)情，特別是應(yīng)依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)邏輯和認(rèn)知邏輯開展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)，由此提出“教育數(shù)學(xué)實(shí)施原則”；數(shù)學(xué)學(xué)科的難度決定了學(xué)好數(shù)學(xué)需要學(xué)生深度學(xué)習(xí)，其表征之一即數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的理解性、建構(gòu)性和系統(tǒng)性[22]，由此提出“數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)原則”；數(shù)學(xué)是一門充滿了發(fā)現(xiàn)與發(fā)明的學(xué)科，數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才的標(biāo)志是能用數(shù)學(xué)的方式(如用數(shù)學(xué)的抽象、數(shù)學(xué)的思維、數(shù)學(xué)的語言)去發(fā)現(xiàn)問題、認(rèn)識問題、表征問題、探究問題和解決問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才需要幫助學(xué)生激活心智、開發(fā)心智，并不斷提高心智能力和心智水平，為大力培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才，提出“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新原則”.故數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展原則、教育數(shù)學(xué)實(shí)施原則、數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)原則、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新原則側(cè)重于數(shù)學(xué)式樹人，即用數(shù)學(xué)的方式培養(yǎng)人才(學(xué)生)，特別是培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才.

3.3.1 數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展原則

數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的主要目的是讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，特別是獲得數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2020年修訂版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》和2022年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》都把培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為最為重要的教學(xué)目標(biāo).由于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的支柱是數(shù)學(xué)素養(yǎng)，因此，把“數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展原則”作為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的目標(biāo)方向性原則是順理成章的事.史寧中教授把“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”或“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”高度概括為數(shù)學(xué)的“三會(huì)”，即會(huì)數(shù)學(xué)抽象、會(huì)數(shù)學(xué)思維、會(huì)數(shù)學(xué)語言.數(shù)學(xué)的“三會(huì)”素養(yǎng)具有簡單易懂、好記好用的突出特點(diǎn)，得到了中小學(xué)數(shù)學(xué)一線教師的普遍認(rèn)可.以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程目標(biāo)指出要使學(xué)生獲得必需的“四基”“四能”，發(fā)展理性思維和科學(xué)精神.因此，“數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展原則”是數(shù)學(xué)式樹人中的目標(biāo)導(dǎo)向性原則.

實(shí)施數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展原則有以下策略：①培養(yǎng)數(shù)學(xué)“三會(huì)”素養(yǎng)，其路徑有3條：一是培養(yǎng)數(shù)學(xué)的眼光，即引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際背景(問題情境)或物理背景中看出并抽象出數(shù)量關(guān)系或空間形式，從各類問題情境中抽象出數(shù)學(xué)概念，引入數(shù)學(xué)符號，形成數(shù)學(xué)問題，并建立數(shù)學(xué)模型，這個(gè)過程即為“情境—概念—符號—問題—模型”，可簡稱為“情境—模型化”；二是培養(yǎng)數(shù)學(xué)的思維，其核心是培養(yǎng)邏輯思維，即教學(xué)生學(xué)會(huì)用邏輯思維方法探究并解決數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而用邏輯思維方法建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系，這里所說的邏輯思維方法包括引入概念和符號、合情推理得猜想、猜想對錯(cuò)靠證明，因此可通過邏輯思維的三大基本形式(即概念、判斷和推理)的邏輯運(yùn)演來培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；三是培養(yǎng)數(shù)學(xué)的語言，即引導(dǎo)學(xué)生有意識地用數(shù)學(xué)語言(概念語言、符號語言、推理語言、圖表語言)客觀描述、多元表征和清晰解釋現(xiàn)實(shí)世界或問題情境，數(shù)學(xué)語言適合在聽課(聽)、討論(說)、閱讀(讀)、思考(想)、交流(講)、書寫(寫)等活動(dòng)中訓(xùn)練.②實(shí)施系統(tǒng)化的單元教學(xué).數(shù)學(xué)單元教學(xué)是融合“四基”、訓(xùn)練“四能”、發(fā)展“六核”的重要抓手，是鏈接“四基”到“四能”“四能”到“六核”的橋梁.數(shù)學(xué)單元教學(xué)具有“七化”特點(diǎn)，即教學(xué)設(shè)計(jì)整體化、單元選擇主題化、碎片知識系統(tǒng)化、核心知識焦點(diǎn)化、基本思想全息化、問題解決策略化、教學(xué)時(shí)間節(jié)省化.③引導(dǎo)學(xué)生自組織學(xué)習(xí).研究表明，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)知識內(nèi)化、方法遷移、思想感悟、系統(tǒng)集成的自組織過程.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的根本目的是獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是一個(gè)由多要素構(gòu)成的復(fù)雜的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其養(yǎng)成具有自組織性，即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅需要教師、學(xué)習(xí)環(huán)境、學(xué)習(xí)共同體等他組織，更需要以獨(dú)立思考為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)根本特點(diǎn)的自組織[23].激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自組織動(dòng)機(jī)、訓(xùn)練自組織方法、自覺自組織遷移、實(shí)現(xiàn)自組織監(jiān)控，是學(xué)生生成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本策略.

3.3.2 教育數(shù)學(xué)實(shí)施原則

“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家們的創(chuàng)新成果，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)高度的抽象性、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性、知識的系統(tǒng)性.對學(xué)生的學(xué)習(xí)和認(rèn)知而言，數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐表明，“學(xué)術(shù)形態(tài)”的數(shù)學(xué)課學(xué)生并不喜歡，甚至?xí)獾綄W(xué)生內(nèi)心深處的強(qiáng)烈抵制.這就要求數(shù)學(xué)教師認(rèn)識并處理好“數(shù)學(xué)知識邏輯與學(xué)生認(rèn)知邏輯和學(xué)習(xí)邏輯”的關(guān)系.對此，數(shù)學(xué)知識邏輯的文本表述(教材)與教師的課堂教學(xué)表達(dá)都需要關(guān)照學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知邏輯和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)邏輯.即，教師要把數(shù)學(xué)講準(zhǔn)確、講簡單、講得幽默有趣，讓學(xué)生易學(xué)(容易學(xué)習(xí))、易懂(容易理解)、易會(huì)(容易學(xué)會(huì)或掌握)，學(xué)生能夠較快建構(gòu)起自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識體系.把數(shù)學(xué)講準(zhǔn)確、講簡單、講得讓學(xué)生易學(xué)易懂，這正是張景中先生大力倡導(dǎo)的“教育數(shù)學(xué)”的初心與任務(wù).

落實(shí)教育數(shù)學(xué)原則有以下策略：①運(yùn)用張景中[24]提出的“教育數(shù)學(xué)”三條原理.即在學(xué)生頭腦里找概念，從概念里產(chǎn)生方法，方法要形成模式.“在學(xué)生頭腦里找概念”是指數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)基于學(xué)生已有概念系統(tǒng)中的經(jīng)驗(yàn)(包括數(shù)學(xué)觀念)；“從概念里產(chǎn)生方法”是指以數(shù)學(xué)概念(定義)為認(rèn)知的起點(diǎn)提煉出數(shù)學(xué)方法(含算法)，演繹出數(shù)學(xué)知識體系；“方法要形成模式”是指要把學(xué)生習(xí)得的數(shù)學(xué)方法特別是數(shù)學(xué)基本方法內(nèi)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知模式、解決問題的數(shù)學(xué)方法論模式.②運(yùn)用實(shí)施教育數(shù)學(xué)的“五化”策略[25].一是背景化，即教師要講清知識是從哪里來的；二是探究化，即教師要精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題串，讓學(xué)生參與知識的“探”的過程(弄清是什么)、知識的“究”的過程(弄清為什么)；三是經(jīng)驗(yàn)化，即教學(xué)要基于學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造條件讓學(xué)生盡可能地同化學(xué)習(xí)；四是遷移化，即在學(xué)生理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去分析問題和解決問題；五是直覺化，即教師和學(xué)生要運(yùn)用數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的心理機(jī)制——“經(jīng)驗(yàn)—直覺—發(fā)現(xiàn)”機(jī)制，大膽創(chuàng)新，善于創(chuàng)新.

3.3.3 數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)原則

數(shù)學(xué)教學(xué)最終指向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)在于理解，理解的實(shí)質(zhì)是建立新舊知識之間的本質(zhì)聯(lián)系，聯(lián)系的數(shù)量和牢固程度在于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)及學(xué)生認(rèn)知心理結(jié)構(gòu)上耦合關(guān)聯(lián).數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可界定為“學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)知識的意義的過程”.此界定要求學(xué)生：學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)具有積極性，學(xué)習(xí)過程具有主動(dòng)性，學(xué)習(xí)方法具有建構(gòu)性，學(xué)習(xí)結(jié)果具有意義性.從數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)來看，學(xué)生面對“現(xiàn)實(shí)情境”建構(gòu)“現(xiàn)實(shí)問題”，又從“現(xiàn)實(shí)問題”建構(gòu)“數(shù)學(xué)問題”，再從“數(shù)學(xué)問題”建構(gòu)“數(shù)學(xué)知識”，最后將“數(shù)學(xué)知識”用于“問題解決”.因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)過程可歸結(jié)為：現(xiàn)實(shí)情境—現(xiàn)實(shí)問題—數(shù)學(xué)問題—數(shù)學(xué)知識—知識遷移.從數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的教學(xué)來看，教師對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的組織要體現(xiàn)情境性和整體性.

落實(shí)數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)原則有以下策略：①數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)充分重視學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自主性，教師應(yīng)創(chuàng)造時(shí)機(jī)讓學(xué)生先閱讀、先思考、先練習(xí)、先討論，這正是所謂的“先學(xué)后教”.②數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的活動(dòng)性、獨(dú)立性，數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)是學(xué)習(xí)者對問題與問題解決的認(rèn)知加工，認(rèn)知加工需要學(xué)生主動(dòng)的、自覺的、自動(dòng)的獨(dú)立完成.③在新課教學(xué)初期，采用“情境性教學(xué)”，這有利于學(xué)生“深情”投入，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知圖式的塑造和強(qiáng)化.④在單元教學(xué)(復(fù)習(xí))時(shí)采用“整體性教學(xué)”，這有利于學(xué)生“深入”思維，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)化生長.此外，針對數(shù)學(xué)核心概念、普適方法、重要思想、問題解決等的教學(xué)，也可采用單元整體教學(xué)，這有利于學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識.⑤數(shù)學(xué)認(rèn)知建構(gòu)的本質(zhì)就是要突出一個(gè)字，即“找”，其基本樣態(tài)有：在情境觀察中找問題，在問題探究中找知識，在知識應(yīng)用中找算法，在算法優(yōu)化中找規(guī)律.

3.3.4 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新原則

培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力是數(shù)學(xué)教育的崇高目標(biāo)和重要任務(wù)，是落實(shí)我國建設(shè)創(chuàng)新型國家的根本要求.我國至今尚未培養(yǎng)出獲得菲爾茲獎(jiǎng)的本土數(shù)學(xué)家的事實(shí)表明，我國的數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育比較薄弱，造成這一事實(shí)的原因有很多，一個(gè)重要的原因可能是我國數(shù)學(xué)教學(xué)并未真正把培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力放在重要地位.指向數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和“數(shù)學(xué)再創(chuàng)造”的教學(xué)是培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人才的重要策略與有效方法.對中學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造主要是指“再創(chuàng)造”[26]，而不是指數(shù)學(xué)家的原創(chuàng).但也有數(shù)學(xué)家在中學(xué)時(shí)代就取得了具有原創(chuàng)性的研究成果，如高斯在高中時(shí)解決了千年幾何作圖難題(即正十七邊形的幾何作圖)而決定報(bào)考數(shù)學(xué)系；伽羅華研究五次及以上方程無求根公式解而創(chuàng)立了群論；華羅庚十九歲時(shí)發(fā)表了第一篇著名數(shù)學(xué)論文：《蘇家駒之代數(shù)的五次方程式解法不能成立之理由》.這些事例說明，中學(xué)生有可能做出原創(chuàng)性的數(shù)學(xué)研究成果.因此，中學(xué)階段不認(rèn)真去培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力，很可能會(huì)抑制中學(xué)生發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力的發(fā)展，錯(cuò)失培養(yǎng)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力的時(shí)機(jī).

實(shí)施數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新原則有以下策略：①激發(fā)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的動(dòng)機(jī).要讓學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新可以為國爭光，讓學(xué)生在中小學(xué)時(shí)期就樹立學(xué)好數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)的崇高理想，從而激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新的主體性、能動(dòng)性和獨(dú)立性.②大力培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維，其策略有：培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新人格，打牢數(shù)學(xué)創(chuàng)新基礎(chǔ)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)創(chuàng)新方法，營造數(shù)學(xué)創(chuàng)新環(huán)境等.其中，數(shù)學(xué)創(chuàng)新方法包括經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)新法、合情推理法、直覺猜想法、創(chuàng)造想象法、審美立美法等.③運(yùn)用有利于數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的教學(xué)方法.如，布魯納提出的發(fā)現(xiàn)教學(xué)法，弗賴登塔爾推崇的數(shù)學(xué)“再創(chuàng)造”教學(xué)法，新課程改革大力倡導(dǎo)的問題探究教學(xué)法.④課堂上教師要留給學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的機(jī)會(huì)、時(shí)間、空間.⑤教師應(yīng)努力提升自己的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新素養(yǎng)，給學(xué)生樹立良好榜樣.

此外，數(shù)學(xué)與信息技術(shù)深度融合原則，師生互動(dòng)原則，數(shù)學(xué)學(xué)法指導(dǎo)原則，數(shù)學(xué)教學(xué)評價(jià)原則等，也值得研究.還需注意，數(shù)學(xué)教學(xué)原則的理論研究與教學(xué)實(shí)踐都不應(yīng)游離于一般教學(xué)原則(如直觀性原則、因材施教原則、理論與實(shí)踐相結(jié)合原則等)之外，而應(yīng)做好一般教學(xué)原則與數(shù)學(xué)教學(xué)原則的協(xié)同與統(tǒng)整，以發(fā)揮出它們極大的應(yīng)用價(jià)值.