基于增量寬度學(xué)習(xí)的投資組合風(fēng)險控制模型

陳良霞 李 博， 王 琪 余 遠(yuǎn) 馮澤濤 賈 穎

（1.山東工商學(xué)院 計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，山東 煙臺 264005；2.山東工商學(xué)院 統(tǒng)計學(xué)院，山東 煙臺 264005）

一、引言

投資組合是對各種金融資產(chǎn)進(jìn)行資金的最優(yōu)配置[1-2]，目標(biāo)是在風(fēng)險最小化的同時產(chǎn)生穩(wěn)定的收益。除了金融，投資組合選擇還在多個領(lǐng)域得到廣泛研究，如人工智能、機器學(xué)習(xí)和統(tǒng)計學(xué)等。傳統(tǒng)的投資組合選擇方法通常來源于兩種經(jīng)典的方法：馬科維茨均值方差模型[3]和凱利理論[4]。由哈里·馬科維茨提出的馬科維茨模型基于均值-方差組合選擇框架，適用于單周期投資組合選擇。而凱利資本增長理論關(guān)注的是多期投資組合選擇和預(yù)期收益最大化，但沒有考慮風(fēng)險控制。隨著高性能計算機的發(fā)展，這兩個理論引起了研究人員越來越多的關(guān)注，在線投資組合選擇也成為近幾年投資組合研究領(lǐng)域的熱點。

近年來，研究人員開發(fā)了很多新的投資組合選擇策略，特別是針對在線投資組合[5]。這些模型適用于在線場景，因為它們不僅具有實時交易特性，而且側(cè)重多期投資組合選擇。在線投資組合進(jìn)行的實時交易需要投資者作出決定和調(diào)整資本分配，以產(chǎn)生較高的財富回報。

根據(jù)在線投資組合選擇的具體應(yīng)用，交易策略被分為四類[6]。第一類稱為基準(zhǔn)模型。相應(yīng)的策略包括統(tǒng)一買入并持有（UBAH）、最佳股票（Best Stock）、統(tǒng)一恒定再平衡（UCRP）和最佳恒定再平衡（BCRP）。統(tǒng)一買入并持有策略在交易期開始時購置資產(chǎn)，并將資產(chǎn)配置推遲到交易期結(jié)束。最佳股票策略是買入并持有策略的一個子模型，在該策略中，最好的股票是通過追溯歷史獲取的。統(tǒng)一恒定再平衡策略是一種固定比例的策略，用于在每個期間開始時重新平衡預(yù)設(shè)的投資組合。而最佳恒定再平衡策略是一種恒定再平衡的投資組合策略，在該策略中，根據(jù)交易日的結(jié)果對投資組合進(jìn)行修改，以使累積財富最大化。第二類稱為“追隨贏家”，因為它試圖漸近達(dá)到與最優(yōu)策略相同的增長率。這些方法假設(shè)之前成功的股票將在接下來的一段時間內(nèi)仍然表現(xiàn)良好。第三類是“追隨失敗者”，它基于這樣一種觀點，即當(dāng)前時期的贏家在下一時期可能不會成功。雖然這一想法似乎缺乏依據(jù)，但在實際交易環(huán)境中，這一策略往往會取得優(yōu)異的表現(xiàn)。

由于前三個類別中的模型不挖掘數(shù)據(jù)集上的隱藏模式，第四類（模式匹配策略）試圖基于相似的歷史模式和趨勢預(yù)測資產(chǎn)在特定時間窗口內(nèi)的后續(xù)分布。該策略假設(shè)相似的歷史模式將產(chǎn)生相似的結(jié)果，然后作出相應(yīng)的決定。此外，最近幾年的一些研究工作結(jié)合了互聯(lián)網(wǎng)上不同利益相關(guān)者的信息和每日價格來預(yù)測股票收益[7]。在機器學(xué)習(xí)模型流行后，導(dǎo)致了人們對投資組合選擇的興趣與日俱增。然而，以上模型沒有考慮增量學(xué)習(xí)和系統(tǒng)風(fēng)險。考慮到市場的不確定性，如莊家操作等因素，僅利用模式識別方法是不夠的。此外，盡管這些在線投資組合選擇模型是多樣化的，但它們都未將資產(chǎn)波動視為風(fēng)險。

針對上述問題，本文提出了一種新的收益-風(fēng)險控制模型。首先，本文提出了一個增量寬度學(xué)習(xí)模型，該模型以增量的方式進(jìn)行在線學(xué)習(xí)，比目前提出的其他模型更靈活。其次，基于隨機矩陣?yán)碚揫8-10]，本文提出了一種消除系統(tǒng)風(fēng)險噪聲的方法。最后，本文沒有像其他很多文獻(xiàn)一樣使用每日收盤價，而是使用了30分鐘和60分鐘的高頻交易數(shù)據(jù)。因為這樣選擇不僅符合實際情況，而且使用每日收盤價作為樣本數(shù)據(jù)集的研究還忽略了一個關(guān)鍵因素——股票每日價格的波動性。

二、投資組合概述

投資組合問題可以表達(dá)如下：考慮金融市場中的各種資產(chǎn)，用價格向量p=[pt1，pt2，…，ptm]T來表示tth時期的價格，其中t=1，2，…，n，n表示周期數(shù)，m表示資產(chǎn)數(shù)即相對價格向量的維數(shù)。如前所述，該周期為30或60分鐘的短間隔。m維相對價格向量由xt∈Rm表示，其中xt=pt/pt-1。在第t個周期開始時，將資產(chǎn)分配給投資組合向量bt。bt的第ith個元素（bti）表示投資于第jth種資產(chǎn)的資金比例。因此，每個投資組合都應(yīng)該滿足約束：bt∈{b：b≥0，bt1=1}。投資者可以使用過去時期的歷史數(shù)據(jù)在這段時間內(nèi)重新配置bt，將投資組合維持到收盤時間。因此，收益St將增加因子btxt，其初始值為S0=1。在n個周期后的最終累積財富可表示為：

通常，在線投資組合選擇的主要目標(biāo)是通過使用統(tǒng)計或人工智能模型開發(fā)新的投資組合策略，以實現(xiàn)累積財富的最大化。投資者必須同時使用適當(dāng)?shù)闹笜?biāo)將風(fēng)險降低。投資組合算法整體框架見算法1。

算法1.在線投資組合框架1.第1步：初始值b1和S0=1 2.第2步：輸入歷史相對價格序列xt∈R+m 3.第3步：For t=1，2，…，n 4.從市場獲取相對價格xt 5.計算周期返回btxt，并更新累計值St=St-1×btxt 6.設(shè)置更新投資組合模型7.使用模型學(xué)習(xí)投資組合bt+1 8.End for 9.第4步：輸出最終的累積財富等指標(biāo)

三、模型簡介

（一）增量寬度學(xué)習(xí)系統(tǒng)

寬度學(xué)習(xí)的模型架構(gòu)見圖1[11]。該算法的輸入是一個相對價格矩陣X∈Rm×k。其中k是周期窗口長度，其相應(yīng)的輸出是預(yù)測的相對價格向量。令Zi是ith的映射特征，Hi是ith的增強征，則A=[Z｜H]是塊矩陣。寬度學(xué)習(xí)模型可以表示為AW=Y的映射，因此有W=A-Y，其中Y是標(biāo)簽矩陣。本文在寬度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上提出了一種增量寬度學(xué)習(xí)模型，可以在增強特征方向進(jìn)行維度擴展?？紤]增強特征的維度擴展，Ah=[Z｜H1…h(huán)]則可以表示為：

圖1 寬度學(xué)習(xí)架構(gòu)

其中，A2=A+BBT+BDBT和B2=B（I+）。由此可得：

其中，

圖1 中，φ是線性函數(shù)，ξ是線性或非線性函數(shù)，We和Wh是正態(tài)分布的權(quán)重收益率。寬度學(xué)習(xí)模型不需要使用反向傳播算法來更新權(quán)重。因此，可以獨立設(shè)置映射特征和增強節(jié)點的數(shù)量Ah+1的廣義逆的特殊解可以表示如下：（（Ah+1）TAh+1）-（Ah+1）T，則有：

令A(yù)=（Ah）TAh，B=（Ah）THh+1，D=（Hh+1）THh+1，則有：

其中，C1、C2、C3、D2由式（4）定義。新的權(quán)重由下式得出：

因此，該模型可以通過增量學(xué)習(xí)來學(xué)習(xí)到新的權(quán)重。本文使用寬度學(xué)習(xí)的目的是在均值方差模型中產(chǎn)生價格序列并消除系統(tǒng)風(fēng)險。它使用協(xié)方差作為風(fēng)險控制因子，該因子由使用之前的歷史數(shù)據(jù)計算得出。

（二）Bootstrap方法

Bootstrap方法用于擴展預(yù)測數(shù)據(jù)矩陣。假設(shè)增量寬度學(xué)習(xí)模型產(chǎn)生了一個相對價格矩陣Xp∈RM×K，它可以擴展到Xp∈RM×K（N×M），相關(guān)矩陣Cp可以通過XP確定。

（三）風(fēng)險控制模型

本文中，我們提出了一種新的風(fēng)險控制模型，如式（8）：

其中，E（rp）代表投資組合的平均回報，b是投資組合向量，x是平均相對價格向量，σ是投資組合方差，δ1和δ2是不同風(fēng)險比重系數(shù)，∑是資產(chǎn)的協(xié)方差矩陣，由預(yù)測的相對價格序列計算而得。函數(shù)lg（·）的作用是對結(jié)果的放縮。目前一些研究工作的重點是改進(jìn)方差，使用隨機矩陣?yán)碚摲治鲑Y產(chǎn)相關(guān)性，并將隨機噪聲視為系統(tǒng)風(fēng)險或外部市場影響。然而，這些研究并沒有利用預(yù)測數(shù)據(jù)從協(xié)方差矩陣中去除噪聲。

（四）完備性

其中，μi和σi分別是xi的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。因此，CP可以通過XP直接計算。

需要注意的是，在計算協(xié)方差的過程中，隨機矩陣需要滿足M→+∞和N→+∞。但是，這個條件是不切實際的。因此本文雖然采用了Bootstrap方法，但還需要提供樣本和總體協(xié)方差的估計。給定特定樣本（x和y）和總體（X和Y），樣本均值可以表示為和總體均值可以表示為E[X]=μx和E[Y]=μy。另外，和是無偏估計，且能夠得到：

其中，xi和yj是成對數(shù)據(jù)。因此：

因此樣本協(xié)方差的期望可以表示如下：

根據(jù)推導(dǎo)結(jié)果可知，在本文研究背景下，樣本協(xié)方差是總體協(xié)方差的無偏估計。這種完備性在前述文獻(xiàn)中未探討過。

四、實驗結(jié)果

（一）數(shù)據(jù)集獲取

本研究中使用的數(shù)據(jù)集見表1。選擇的股票數(shù)據(jù)集來源于深圳證券交易所的3個不同指數(shù)：中小企業(yè)板創(chuàng)新指數(shù)（SMEBII）、創(chuàng)業(yè)板創(chuàng)新指數(shù)（GEBII）和大數(shù)據(jù)50指數(shù)（BG50I）。每只股票采集兩種不同頻率的數(shù)據(jù)（每30和每60分鐘的股票價格變動）。例如，SMEBII-30min數(shù)據(jù)集中的股票價格是中小企業(yè)板創(chuàng)新指數(shù)中每只股票每日每間隔30分鐘期間內(nèi)的收盤價。

表1 使用來自深圳股票交易所的6個真實數(shù)據(jù)集

考慮到時間成本和資產(chǎn)的管理成本，我們每個指數(shù)選擇了20只股票，3個指數(shù)共60只股票。因此，本文采集了來自3個指數(shù)、2種頻率的60只股票的高頻價格數(shù)據(jù)構(gòu)成了本文使用的全部6個數(shù)據(jù)集。

（二）評價指標(biāo)

本文用5個不同指標(biāo)評估所提出的方法。

1.特征值分布，用于比較和預(yù)測隨機相關(guān)矩陣的特征值的相似性。

2.累積財富（CW）[15]，描述了在特定時間段內(nèi)獲得或損失的總投資的累積回報。如前述章節(jié)所述，CW是評估模型性能的最重要指標(biāo)。

3.夏普比率（SR）[16]，描述了每個波動期（投資組合的標(biāo)準(zhǔn)偏差）超過無風(fēng)險利率的平均回報。它允許投資者更直接地評估與承擔(dān)活動相關(guān)的風(fēng)險與利潤，定義如下：

其中，Rf是無風(fēng)險利率，σt是tth當(dāng)期投資組合權(quán)重的標(biāo)準(zhǔn)差。風(fēng)險調(diào)整后的回報通常隨著SR的增加而增加。

4.信息比率（IR）[17]，通常被用作衡量投資者相對于基準(zhǔn)產(chǎn)生超額回報的能力。它通過在計算中加入風(fēng)險標(biāo)準(zhǔn)偏差來考慮性能的一致性，定義為：

其中，Rb是基準(zhǔn)回報。在本文的研究中，最佳股票（Best Stork）被用作基準(zhǔn)。較高的信息比率表示較好的性能，相反較低的值表示較低的性能。

5.卡爾馬比率（CR）[18]，用于確定相對于回撤（下行）風(fēng)險的回報，其定義為：

（三）對比方法

為了對提出的模型進(jìn)行分析和比較，本文利用4種策略對數(shù)據(jù)集進(jìn)行了模擬實驗。對其中一些模型進(jìn)行了總結(jié)和實現(xiàn)。上述4種策略描述如下：

1.基準(zhǔn)模型

最佳股票（Best Stock）：購買之前表現(xiàn)最好的股票。

統(tǒng)一買入持有（UBAH）：在開始時購買資產(chǎn)，一直持有資產(chǎn)到結(jié)束。

最佳恒定再平衡投資組合（BCRP）：將投資組合設(shè)置為事后最大化終端財富的投資組合。

統(tǒng)一恒定再平衡投資組合（UCRP）：在每個期初重新平衡當(dāng)前投資組合的固定比例。

2.關(guān)注獲勝者

在線牛頓步進(jìn)法（ONS）：采用L2范數(shù)作為正則化約束項的BCRP。

3.追隨失敗者

置信加權(quán)均值回歸（CWMR）：采用高斯分布對投資組合進(jìn)行建模，并使用均值回歸原理更新分布。

在線移動平均回歸（OLMAR）：基于均值回歸預(yù)測下一個相對價格。

4.模式匹配/機器學(xué)習(xí)

局部自適應(yīng)學(xué)習(xí)（LOAD）[19]：使用局部回歸來估計資產(chǎn)的價格趨勢。

（四）特征值分布比較

本文計算了經(jīng)驗相關(guān)矩陣的特征值以研究其特性。圖2提供了真實或經(jīng)驗特征值和理論特征值分布的比較。通過將經(jīng)驗相關(guān)矩陣的特征值與隨機相關(guān)矩陣的特征值進(jìn)行比較，從經(jīng)驗相關(guān)矩陣中提取無噪聲的信息。圖2表明對于同一數(shù)據(jù)集，不同頻率的經(jīng)驗分布是相似的。然而，這些數(shù)據(jù)并不符合隨機相關(guān)矩陣的理論分布。這一發(fā)現(xiàn)表明不同資產(chǎn)之間存在相關(guān)性（真實信息），并不依賴于頻率。相比之下，由于兩個分布之間的重疊，不同資產(chǎn)的相關(guān)性也存在噪聲。

從圖2可以看出，一些經(jīng)驗特征值超出了理論特征值分布，這些是與相關(guān)矩陣（真實信息）對應(yīng)的無噪聲特征值。因此，符合理論特征值分布的經(jīng)驗特征值對應(yīng)于隨機噪聲。例如，在圖2（A）SMEBII數(shù)據(jù)集中，兩個頻率下（30和60分鐘）有35%的特征值是無噪聲的。同理，在圖2（B）GEBII數(shù)據(jù)集中，30分鐘頻率下和60分鐘頻率下分別有25%和35%的特征值是無噪聲的。此外，在圖2（C）BG50I中，30分鐘頻率下和60分鐘頻率下分別有40%和35%的特征值是無噪聲的。

圖2 不同數(shù)據(jù)集在不同頻率的經(jīng)驗分布圖

（五）累積財富

最終的累積財富結(jié)果見表2。任何一個模型都不可能在所有期間實現(xiàn)正的相對回報。但相對來說，一些模型例如本文提出的模型和OLMAR模型，比其他模型產(chǎn)生了更多的正向回報。然而，在少數(shù)期間內(nèi)僅略高于1.0的相對回報可能會導(dǎo)致累積財富的大幅增加。因此，這一指標(biāo)對于累積財富的發(fā)展至關(guān)重要。

數(shù)據(jù)結(jié)果表明，盡管本文提出的模型在BG50I-30min數(shù)據(jù)集中的領(lǐng)先優(yōu)勢相對較小，但該模型在所有數(shù)據(jù)集上都取得了最佳性能，尤其體現(xiàn)在以下三個數(shù)據(jù)集上：SMEBII-30min、SMEBII-60min和GEBII-60min。因此，與其他模型相比，所提出的模型可以更好地從數(shù)據(jù)集中提取統(tǒng)計特性或模式；此外，OLMAR（在3個數(shù)據(jù)集上排名第二）、CWMR（在3個數(shù)據(jù)集上排名第二）等模型也取得了良好但非均衡的性能；基準(zhǔn)模型在所有數(shù)據(jù)集中均產(chǎn)生了較低的累積財富；機器學(xué)習(xí)模型LOAD在數(shù)據(jù)集上表現(xiàn)不佳。

如前所述，每個周期回報的小幅提升可以導(dǎo)致最終巨大的累積財富收益。例如表2所示，若BG50I-30min數(shù)據(jù)集的初始投資為1000元，應(yīng)用本文提出的模型在投資周期結(jié)束時會產(chǎn)生約10.5萬元的收益。本文研究中使用了高頻數(shù)據(jù)，雖然中國股市遵循T+1交易制度，即投資者不能在一天內(nèi)多次買賣，但是高頻交易數(shù)據(jù)的實驗使投資者可以在一天的任意30分鐘之內(nèi)進(jìn)行一次交易。相對于其他論文中使用的收盤價，本文的實驗設(shè)置更接近實際股票市場用戶的交易行為，且所提出的模型產(chǎn)生了較高而穩(wěn)健的最終累積財富（在6個數(shù)據(jù)集中均排名第一）。

表2 6個數(shù)據(jù)集的累積財富

（六）夏普比率

在真實的金融市場中，高累積財富回報往往伴隨著高風(fēng)險。因此，投資者通常會嘗試平衡風(fēng)險與收益。夏普比率是一個重要的指標(biāo)，已被廣泛用于評估風(fēng)險調(diào)整后的回報。表3給出了不同模型的SR計算結(jié)果。所提出的模型在所有數(shù)據(jù)集上明顯優(yōu)于其他模型（在所有數(shù)據(jù)集排名第一）。

表3 6個數(shù)據(jù)集的夏普比率

（七）信息比率

表4給出了不同模型的信息比率。與夏普比率不同，信息比率用于評估相對于基準(zhǔn)回報（不包括風(fēng)險）的超額回報。實驗結(jié)果表明，本文模型同樣取得了最好的結(jié)果（在所有數(shù)據(jù)集中均排名第一）。其他幾個模型在特定數(shù)據(jù)集上也表現(xiàn)良好（例如OLMAR模型和CWMR模型分別在3個數(shù)據(jù)集上排名第二）。

表4 6個數(shù)據(jù)集的信息比率

（八）卡爾馬比率

卡爾馬比率（CR）是用于比較平均復(fù)合回報率和最大回撤風(fēng)險的指標(biāo)。一般來說，卡爾馬比率的值越高，模型性能越好。表5所列結(jié)果表明，本文提出的模型優(yōu)于其他模型（在所有數(shù)據(jù)集上排名第一）。相比之下，其他幾個模型也取得了較好效果，例如OLMAR模型（在2個數(shù)據(jù)集并列排名第一，在1個數(shù)據(jù)集上排名第二）、CWMR模型（在1個數(shù)據(jù)集上排名并列第一，在2個數(shù)據(jù)集上排名第二）。這些結(jié)果表明，本文提出的模型在卡爾馬比率度量上取得了最好的效果。

表5 6個數(shù)據(jù)集的卡爾馬比率

（九）運行時間

表6給出了各個模型的運行時間。從表中結(jié)果可以看出，雖然本文提出的模型耗時最多，因為它必須在每個期間訓(xùn)練多個BLS模型。但是，數(shù)據(jù)集是基于30或60分鐘。如果本文提出的模型能夠讓投資者在30分鐘或者60分鐘內(nèi)作出決策，那么模型的運行時間能夠滿足決策的要求。

表6 模型在6個數(shù)據(jù)集上平均一個期間的運行時間

五、分析與討論

本研究中使用高頻數(shù)據(jù)集的原因可以解釋如下：（1）大多數(shù)現(xiàn)有研究均基于每日收盤價[20-21]，但事實上，交易者經(jīng)常在每個交易日的不定時間買賣股票。盡管他們當(dāng)日不能多次交易股票，但交易者可以在交易時間段的任何時間（在30或60分鐘內(nèi)）作出交易決定。（2）本文認(rèn)為僅使用每日收盤價會忽略價格波動等關(guān)鍵因素，因此，使用高頻數(shù)據(jù)集為訓(xùn)練集提供了更多信息，能更有效地預(yù)測相對價格。本文沒有采用15分鐘、5分鐘、1分鐘甚至秒級的數(shù)據(jù)，因為發(fā)現(xiàn)太短的時間間隔內(nèi)相對價格波動性較弱。（3）由于其他研究中使用的數(shù)據(jù)集年代較久，例如NYSE（O）數(shù)據(jù)集時間跨度為1962/07/03到1962/12/31，NYSE（N）數(shù)據(jù)集時間跨度為1985/01/01到2010/06/30，SP500數(shù)據(jù)集時間跨度為1998/01/02年至2003/01/31，MSCI數(shù)據(jù)集時間跨度為2006/04/01至2010/03/31，因此本文制作了新的數(shù)據(jù)集。另外，因為存在系統(tǒng)風(fēng)險和不確定性，僅靠模式匹配不足以分析股市中的一些股票。例如莊家的操作或者外部因素的干擾可以視為是市場噪聲，這些因素都存在于真實的中國股票市場中。本文所提出的模型表現(xiàn)良好的主要原因是它可以進(jìn)行增量學(xué)習(xí)并使用隨機矩陣?yán)碚撓讼到y(tǒng)風(fēng)險。

六、結(jié)論

本研究提出了一種新的風(fēng)險控制模型。首先在寬度學(xué)習(xí)系統(tǒng)的基礎(chǔ)上提出了可以進(jìn)行增量學(xué)習(xí)的在線學(xué)習(xí)模型。其次基于隨機矩陣?yán)碚撎岢隽艘环N消除噪聲的方法。最后，使用特征值分布、累積財富、夏普比率、信息比率、卡爾馬比率等指標(biāo)來評估所提出的模型性能。結(jié)果表明，本文提出的模型在幾種指標(biāo)上均優(yōu)于現(xiàn)有常用模型。因此，本文提出的模型可以在有效控制風(fēng)險的同時產(chǎn)生高累積收益?！?/p>