對(duì)數(shù)勢(shì)條件下雙層正方形中心構(gòu)型的扭轉(zhuǎn)角問題

曾小華, 趙甫榮, 李樹勇*

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 綿陽師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院, 四川 綿陽 621000)

1 預(yù)備知識(shí)

牛頓n體問題[11]研究的是n個(gè)質(zhì)點(diǎn)在萬有引力作用下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,其質(zhì)量和位置向量分別為mj∈R+,qj∈R3,在牛頓萬有引力作用下,質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

其中，q=(q1,q2,…,qn)∈R3n,牛頓勢(shì)函數(shù)

(2)

定義空間

X={q=(q1,q2,…,qn)∈R3n:

(3)

即質(zhì)心在原點(diǎn).

因?yàn)?質(zhì)點(diǎn)碰撞時(shí)是奇異的,所以構(gòu)型空間不應(yīng)該出現(xiàn)這樣的集合,Δ={q:qk=qj對(duì)k≠j}.

XΔ叫做構(gòu)型空間.

定義 1[12-13]一個(gè)構(gòu)型q=(q1,q2,…,qn)∈XΔ被稱做中心構(gòu)型,若存在一個(gè)正常數(shù)λ,使得下列方程成立

-λmkqk, 1≤k≤n.

(4)

稱為α-齊次勢(shì)函數(shù),當(dāng)α=1時(shí)即為牛頓勢(shì)函數(shù).

定義 2勢(shì)函數(shù)為如下形式

稱為對(duì)數(shù)勢(shì)函數(shù),記為U0,即

在R3中考慮這樣一個(gè)構(gòu)型,由2層正n邊形構(gòu)成,這2層之間的距離為h≥0,假設(shè)下層的正n邊形位于水平面,上層的正n邊形平行于下層的正n邊形,z軸垂直通過這2個(gè)正n邊形的中心,假設(shè)mk(1≤k≤n)是下層正n邊形頂點(diǎn)qk處的質(zhì)量,mn+k是上層正n邊形頂點(diǎn)qn+k處的質(zhì)量,其中

(5)

這里的θ稱為扭轉(zhuǎn)角,a>0,h>0為這2層正多邊形之間的距離.質(zhì)心為

(6)

由于按照(5)和(6)式選取坐標(biāo)系,質(zhì)心不在坐標(biāo)原點(diǎn),為方便計(jì)算,作如下坐標(biāo)平移,令

Pk=qk-z0,k=1,2,…,n,Pn+k=qn+k-z0,k=1,2,…,n.

(7)

在對(duì)數(shù)勢(shì)條件下,(q1,q2,…,qn,qn+1,qn+2,…,q2n)構(gòu)成中心構(gòu)型,則存在λ*∈R使得下式成立

即

-λ*mk(qk-z0), 1≤k≤2n,

(8)

等價(jià)于

-λ*mkPk, 1≤k≤n,

(9)

-λ*mn+kPn+k, 1≤k≤n.

(10)

為得到本文結(jié)果,現(xiàn)需引入一個(gè)引理.

所以

即質(zhì)心在原點(diǎn).

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),設(shè)n=2l+1,l為整數(shù),則

(11)

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),設(shè)n=2l,l為整數(shù),則

(12)

(13)

k=1,2,…,n,

2 主要結(jié)果

q1=(1,0,0),q2=(0,-1,0),

q3=(-1,0,0),q4=(0,1,0),

q5=(acos θ,asinθ,h),

當(dāng)θ=0時(shí),這8個(gè)天體的位置關(guān)系如圖1所示.

比例尺1∶2

比例尺1∶2

假設(shè)m1=m2=m3=m4=1,m5=m6=m7=m8=m,這8個(gè)天體的質(zhì)心為

因?yàn)檫@8個(gè)天體構(gòu)成中心構(gòu)型,根據(jù)中心構(gòu)型的定義,對(duì)于第5個(gè)天體q5可得

即

-λ0m5(q5-q0).

(14)

由上式兩端的第一個(gè)和第二個(gè)分量相等可得:

(15)

(16)

(17)

(18)

由(17)和(18)式可得

(19)

在(19)式的等式左右兩邊同時(shí)除以sin θcosθ,可得

(20)

即

(21)

令

那么(21)式等價(jià)于f(cos θ)=f(sinθ).下面將證明當(dāng)x>0時(shí),f(x)是嚴(yán)格單調(diào)遞增的.計(jì)算下式

令

g(x)=

-(1+a2+h2-4ax)(1+a2+h2+2ax)2+

(1+a2+h2+4ax)(1+a2+h2-2ax)2,

則

(22)

在x=0處,有

g(0)=-(1+a2+h2)(1+a2+h2)2+

(1+a2+h2)(1+a2+h2)2=0.

(23)

為了判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性情況,需要對(duì)g(x)求導(dǎo),得

4a(1+a2+h2-4ax)(1+a2+h2+2ax)+

4a(1+a2+h2-2ax)2-

4a(1+a2+h2+4ax)(1+a2+h2-2ax)=

4a[2(1+a2+h2)2+8a2x2]-

4a[2(1+a2+h2)2-16a2x2]=

96a3x2>0, ?x>0.

(24)

f(sin θ)=f(cosθ),