例析構(gòu)建圓的模型巧解向量最值問題

胡弋芳

江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (330022)

向量最值是高中數(shù)學(xué)很常見問題，根據(jù)相關(guān)代數(shù)條件構(gòu)造幾何圖形，從其特征、性質(zhì)入手巧解向量問題是一種較為簡便的方法.其中圓是數(shù)學(xué)中重要的幾何圖形，其在解決此類問題時(shí)易被忽視，特別是需要根據(jù)問題的描述，尋找“隱圓”，建立圓的模型來求解，往往是一種“妙招”本文通過具體的例題來分析說明.

圖1

點(diǎn)評：本題也可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y)，然后根據(jù)夾角公式列出相應(yīng)式子，但在化簡時(shí)學(xué)生可能會(huì)有點(diǎn)困難，導(dǎo)致無法求出夾角最大值.而向量模長為定值意味著點(diǎn)P與點(diǎn)A之間的距離是固定不變的，這符合圓的定義，所以構(gòu)建圓模型直接從圖形中就可看出夾角最大值在何處取得，簡單又快速.

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

點(diǎn)評：因式分解和完全平方是個(gè)難點(diǎn)，有時(shí)條件不是很明顯，這時(shí)就需要將方程中的某些量進(jìn)行轉(zhuǎn)化或先進(jìn)行化簡，然后根據(jù)具體題目選擇合適方式.這類題型給出的已知條件都很少，用代數(shù)方法求解都會(huì)比較困難，所以結(jié)合圖形求解是最好的方法.而由因式分解或完全平方得出的隱含信息要么符合圓的定義，要么是圓性質(zhì)的體現(xiàn)，這無疑表明可構(gòu)建圓模型來求解，既直觀又易理解.

圖7

分析：由極化恒等式和數(shù)量積為定值知點(diǎn)C在以AB中點(diǎn)為圓心，半徑長為r=

點(diǎn)評：數(shù)量積是一定值(不為零)也可以構(gòu)建圓來求解，利用平面向量的極化恒等式可將其轉(zhuǎn)化為向量模長為一定值的問題，進(jìn)而根據(jù)圓的定義構(gòu)建圓.本題較容易，通過設(shè)坐標(biāo)的方法也能求解，只是數(shù)形結(jié)合的方法更快，只需帶入公式即可.

向量的問題靈活多變，求解向量的方法也多種多樣.而對于計(jì)算較復(fù)雜或具有某些較明顯特征的向量問題，往往可試著找出“隱圓”來簡便計(jì)算.運(yùn)用這種數(shù)形結(jié)合的方式，使得問題變得更為直觀，更易理解.既快速解決了問題，也間接地培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).