解題教學(xué)應(yīng)在學(xué)生“卡殼處”下功夫

何雪冰

江蘇省江浦高級(jí)中學(xué) (211800)

近期，筆者在高三復(fù)習(xí)中選用了一道解析幾何題，試題的難度適中，但學(xué)生們的得分情況讓人大跌眼鏡，與之前的預(yù)想大相徑庭.本文是筆者對(duì)該題教學(xué)的點(diǎn)滴思考，與大家分享.

1 試題呈現(xiàn)

(濟(jì)南市2022年1月高三學(xué)情調(diào)研檢測(cè)第22題)已知P為圓M:x2+y2-2x-15=0上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N(-1,0)，線段PN的垂直平分線交線段PM于點(diǎn)Q.

(1)求點(diǎn)Q的軌跡方程；

(2)設(shè)點(diǎn)Q的軌跡為曲線C，過點(diǎn)N作曲線C的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，過點(diǎn)N作直線EF的垂線，垂足為點(diǎn)H，是否存在定點(diǎn)G，使得|GH|為定值？若存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

2 考題分析

該題第(1)問考查橢圓的定義和簡單的平面幾何性質(zhì)；該題第(2)問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，通過對(duì)H點(diǎn)的分析可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)H在一個(gè)定圓上，從而將問題轉(zhuǎn)化為研究直線EF經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，該定點(diǎn)需要自行分析問題發(fā)現(xiàn)，我們暫且把這種類型的問題稱為“隱藏定點(diǎn)”問題，這種類型的問題在高考中時(shí)常出現(xiàn).本題考查學(xué)生邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，考查方程的思想、同構(gòu)的思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.

學(xué)生在解答此題時(shí)容易卡在以下幾點(diǎn)處：(1)未能預(yù)知直線EF過定點(diǎn)，導(dǎo)致無從下手；(2)已經(jīng)求出點(diǎn)E，F(xiàn)坐標(biāo)，但無法求出直線EF方程；(3)未能梳理清晰算理，不斷地繞彎路，導(dǎo)致耗時(shí)太久、解題失敗.

3.1 解法探究

3.2 “卡殼處”微探究

從學(xué)生得到的點(diǎn)E、F坐標(biāo)出發(fā)，再做微探究得到下面解法.

既然已經(jīng)預(yù)判直線EF過定點(diǎn)，那為何不嘗試猜想該定點(diǎn)呢？

評(píng)注：該解法以退為進(jìn)，先利用特殊值探求定點(diǎn)后再去證明定點(diǎn)，將探索定點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為證明定值問題，從而解題有目標(biāo)，證明有方向，起到了化繁為簡，減少運(yùn)算之功效.華羅庚先生的“退步解題法”告訴我們：復(fù)雜的問題要善于“退”，足夠地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.

3.3 “卡殼處”再探究

正因?yàn)橹本€EF難求，那為何不設(shè)而不求呢？從學(xué)生卡殼處再做微探究得到下面解法.

評(píng)注：該解法避開求直線EF的方程，利用兩條直線與橢圓相交的平等關(guān)系得到兩個(gè)同構(gòu)式，由此轉(zhuǎn)化為二次方程根與系數(shù)關(guān)系，輕松求得直線EF的截距與斜率的關(guān)系，從而得到定點(diǎn)，大大簡化了運(yùn)算與思維過程.此解法給人一種耳目一新的感覺.

4 感悟心得

在解析幾何教學(xué)中，經(jīng)常遇到學(xué)生列出式子解不下去的情形，教師應(yīng)該多反思平時(shí)教學(xué)時(shí)是否關(guān)注學(xué)生所需要的，是否過問學(xué)生卡殼處在哪里，是否用“顯然”、“易得”等代替引導(dǎo)學(xué)生挖掘卡殼點(diǎn)、突破卡殼點(diǎn).因此，教師在解題教學(xué)中應(yīng)多在學(xué)生卡殼處下功夫，多鉆研，幫助、引導(dǎo)學(xué)生真正解決問題，解決真問題.解析幾何中的問題探究無窮盡，需要師生堅(jiān)持不懈的探索與反思！