常規(guī)方法切入，破解概率最值

陳 婷

江蘇省海安高級(jí)中學(xué) (226600)

概率的最值問(wèn)題是統(tǒng)計(jì)與概率部分實(shí)際應(yīng)用中比較常見(jiàn)的一類問(wèn)題，借助創(chuàng)新情境的創(chuàng)設(shè)，結(jié)合不同條件來(lái)確定概率的最值，為進(jìn)一步的判斷、決策或方案選擇等提供條件．結(jié)合概率自身的基本特征，在進(jìn)行概率的最值破解時(shí)，經(jīng)常借助基本不等式方法、比較方法以及導(dǎo)數(shù)方法等來(lái)達(dá)到目的．

1．基本不等式方法

分析：根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式，結(jié)合該同學(xué)恰好能通過(guò)其中2所大學(xué)招生考試的概率值來(lái)構(gòu)建關(guān)系式，進(jìn)而結(jié)合關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，利用基本不等式來(lái)計(jì)算與應(yīng)用，得以確定對(duì)應(yīng)的概率最大值問(wèn)題．

點(diǎn)評(píng)：此題以相互獨(dú)立事件的概率公式合理構(gòu)建概率關(guān)系式，結(jié)合概率的求法與關(guān)系式的變形轉(zhuǎn)化，利用基本不等式及一元二次不等式的求解等，這里利用基本不等式的放縮是最值解決的關(guān)鍵．

2．比較方法

例2 (2023屆湖南省永州市高三(上)第一次月考題)我市為了解學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)的時(shí)間長(zhǎng)度是否與性別因素有關(guān)，從某幾所學(xué)校中隨機(jī)調(diào)查了男、女生各100名的平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間，得到如下數(shù)據(jù)：

分鐘性別(0,40](40,60](60,90](90,120]女生10404010男生5254030

根據(jù)學(xué)生課余體育運(yùn)動(dòng)要求，平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在(60，120]內(nèi)認(rèn)定為“合格”，否則被認(rèn)定為“不合格”，其中，平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在(90，120]內(nèi)認(rèn)定為“良好”．

(1)完成下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別因素有無(wú)關(guān)聯(lián)；

不合格合格合計(jì)女生男生合計(jì)

(2)從女生平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間在(0，40]、(40，60]、(60，90]、(90，120]的100人中用分層抽樣的方法抽取20人，再?gòu)倪@20人中隨機(jī)抽取2人，記X為2人中平均每天體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間為“良好”的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

α0.0100.0050.001xα6.6357.87910.828

分析：(1)由題意完成2×2列聯(lián)表，零假設(shè)為H0：性別與學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到χ2的值，根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行判斷性別因素與學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的關(guān)聯(lián)；(2)抽取的20人中，女生平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間在(0，40]，(40，60]，(60，90]，(90，120]的人數(shù)分別為2人、8人、8人、2人，由題意知X的所有可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望；(3)平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間在(90，120]的頻率為0.2，由題意可知ξ～B(100，0.2)，由此能求出P(ξ=k)的值，并利用比較法進(jìn)行分析與判斷，進(jìn)而得以確定P(ξ=k)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)k的值．

解：(1)由題意完成2×2列聯(lián)表如下：

不合格合格合計(jì)女生5050100男生3070100合計(jì)80120200

零假設(shè)為H0：性別與學(xué)生體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間無(wú)關(guān)聯(lián)．

所以X的分布列為：

X012P15319018951190

(3)平均每天運(yùn)動(dòng)時(shí)間在(90，120]的頻率為0.2，由題意可知ξ～B(100，0.2)，所以P(ξ=k)=×0.2k×0.8100-k(0≤k≤100，k∈N)，

點(diǎn)評(píng)：在借助比較法判斷對(duì)應(yīng)的概率值的大小問(wèn)題時(shí)，可以借助概率值均為正數(shù)的特征，或作差比較法，或作商比較法，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，往往都可以達(dá)到較好的解題體驗(yàn)，提升解題效益．比較法處理概率值的大小關(guān)系時(shí)，有時(shí)還經(jīng)常綜合不等式的放縮與不等式的求解來(lái)綜合應(yīng)用．

3．導(dǎo)數(shù)方法

例3 (2023屆新高考Ⅰ卷C8聯(lián)考題)進(jìn)入冬季某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率為p(0

參考數(shù)據(jù)：0.952≈0.903，0.953≈0.857，0.954≈0.815，0.955≈0.774，0.956≈0.7350.957≈0.698，0.958≈0.663，0.959≈0.630，0.9510≈0.599．

分析：根據(jù)題意構(gòu)建概率f(p)的關(guān)系式，通過(guò)有求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可求出對(duì)應(yīng)最大值時(shí)p0的值；列出每個(gè)人需要檢驗(yàn)次數(shù)的分布列，求出對(duì)應(yīng)的期望，當(dāng)期望最小時(shí)，每個(gè)人需要做的檢測(cè)次數(shù)最少．

解：依題意，100個(gè)人中恰有5人感染病毒的概率是f(p)=×p5×(1-p)95，且00，f(p)單調(diào)遞增；當(dāng)p∈(0.05，1)，f′(p)<0，f(p)單調(diào)遞減.所以f(p)的最大值點(diǎn)是p0=0.05.

當(dāng)k=2時(shí)，E(X)=0.598；當(dāng)k=3時(shí)，E(X)=0.476；當(dāng)k=4時(shí)，E(X)=0.435；當(dāng)k=5時(shí)，E(X)=0.426；當(dāng)k=6時(shí)，E(X)=0.432；當(dāng)k=7時(shí)，E(X)=0.445；當(dāng)k=8時(shí)，E(X)=0.462；當(dāng)k=9時(shí)，E(X)=0.481；當(dāng)k=10時(shí)，E(X)=0.501.

所以k=5時(shí)，E(X)最小，每個(gè)人需要做的次數(shù)最少，故答案為0.05；5．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)概率的表達(dá)式為高次函數(shù)類型，借助求導(dǎo)處理，利用函數(shù)的單調(diào)性的判斷與最值的確定來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，是解決此類概率中的最值時(shí)比較常用的技巧方法．借助概率公式，回歸函數(shù)模型，合理求導(dǎo)處理，是解決概率問(wèn)題中的函數(shù)與方程思想的主要表現(xiàn)．

綜上可見(jiàn)，在統(tǒng)計(jì)與概率應(yīng)用問(wèn)題中的判斷、決策或方案選擇等應(yīng)用時(shí)，借助概率最值的確定，綜合一些比較常用的方法，回歸概率的本質(zhì)屬性，借助函數(shù)與方程、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等思維，通過(guò)應(yīng)用如基本不等式方法、比較方法以及導(dǎo)數(shù)方法等基本方法，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與破解，由此達(dá)到解決實(shí)際應(yīng)用中的概率最值問(wèn)題．