例析導函數(shù)零點討論中分界點的確定技巧

郝淑萍

甘肅省武威市涼州區(qū)職業(yè)中等專業(yè)學校 (733000)

我們在運用導數(shù)解決有關函數(shù)問題時，經(jīng)常在對導函數(shù)的分類討論中，由于不能正確劃分分類標準造成解題失誤.本文針對這個問題，通過分析和研判典型問題的求解，進一步探討幾種常用的確定分界點的方法，供讀者朋友參考.

1.根據(jù)影響導函數(shù)正負號的參數(shù)取值確定分界點

例1 已知函數(shù)f(x)=axlnx+2x(a∈R)，試討論f(x)的極值情況.

點評：求出導函數(shù)后，如果能直接看出參數(shù)是確定導函數(shù)的因素之一，應該通過討論確定導函數(shù)的符號.此類問題是比較簡單的一類分類討論問題，通過對參數(shù)分類，就能直接確定導函數(shù)的正負號，這樣原函數(shù)的單調性就隨之而出了.

2.根據(jù)導函數(shù)零點的大小確定分界點

3.根據(jù)導函數(shù)零點與定義域的關系確定分界點

①當a≤1時，f′(x)≥0，所以函數(shù)f(x)在[1,2]上單調遞增，所以f(x)max=f(2)=aln2-a≥0成立，解得a≤0，所以a≤0.

綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是(-∞,0].

點評：首先需要確定導函數(shù)零點是否分布在定義域內，若不能確定，應該要分類討論.本解法中,抓住導函數(shù)f′(x)的零點a是否在定義域[1,2]內進行討論，非常重要,從而可確定函數(shù)在給定區(qū)間內的單調性，然后容易求出最值.

4.根據(jù)二次項系數(shù)的正負情況確定分界點

例4 已知函數(shù)f(x)=lnx+x+1-m(x2+2x).若對任意的x>0，都有f(x)≤0成立，試求整數(shù)m的最小值.

①當m≤0時，由于x>0，則2mx-1<0，x+1>0，知f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上單調遞增，又f(1)=ln1-m×12+(1-2m)+1=-3m+2>0，不合題意，故舍去.

點評：如果導函數(shù)是一個關于參數(shù)的二次三項式，首先要對最高項的系數(shù)分類討論，根據(jù)二次項系數(shù)的正、負號，判斷二次函數(shù)圖象的開口方向，從而可確定導函數(shù)的變號零點.

5.根據(jù)含參數(shù)的二次函數(shù)的對稱軸確定分界點

綜上，實數(shù)k的取值范圍為(-∞,1).

點評：在求導后，若導函數(shù)是二次函數(shù)或與二次函數(shù)有關，而此時的含參數(shù)的二次函數(shù)又無法確定零點，通過找對稱軸作為分界點，進行分類討論是常見的選擇之一.

6.分離參數(shù)時，根據(jù)參數(shù)的系數(shù)取值情況確定分界點

例6 若不等式x2-mx+1+ex+2≥0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

點評：在一些求參數(shù)范圍問題時，?？梢圆扇》蛛x參數(shù)的方法，將問題轉化為另一個函數(shù)求最值問題，而在分離時需要通過分類討論才能達到目的.

分類討論是一個重要的數(shù)學思想方法，這也是高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)的題型，具有很強的區(qū)分度，如果能比較有效的掌握一類問題的分類解決，就可能得到一個滿意的成績，也可能使人生上升到一個新的成長平臺，故而不可言輕易放棄.