從2021年一道高考題談圓錐曲線上四點(diǎn)共圓問(wèn)題

李 婧 盧榮亮

江蘇省南京市燕子磯中學(xué) (210038)

本文從2021年一道高考題談起，用從特殊到一般的方法探究圓中的相交弦定理、割線定理以及切割線定理在圓錐曲線中的表現(xiàn)形式，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的一個(gè)更為一般的充要條件[3][4].

1. 原題賞析

(1)求C的方程；

2.類比推廣

問(wèn)3：這個(gè)結(jié)論的逆命題成立嗎？

問(wèn)4：如果把雙曲線換成橢圓，上述結(jié)論還成立嗎？

問(wèn)5：如果把橢圓換成拋物線，這個(gè)結(jié)論依然成立嗎？

推廣4 已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0)，設(shè)點(diǎn)T(m,n)(m,n∈R)，且點(diǎn)T不在拋物線上，過(guò)點(diǎn)T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，若這兩條直線的斜率都存在，分別設(shè)為k1和k2，則k1+k2=0的充要條件是|TP|·|TQ|=|TA|·|TB|.

3.追根溯源

在研究這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，筆者進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)圓錐曲線中的這些結(jié)論實(shí)際上就是圓中的相交弦定理和切割線定理的推廣，只不過(guò)此時(shí)需加兩直線斜率之和為的條件.

(1)圓中的兩條弦相交，且交點(diǎn)在圓內(nèi)部，即得到相交弦定理：圓O的兩弦AB，CD交于圓內(nèi)一點(diǎn)M，則|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

(2)圓中兩條弦所在直線相交，且交點(diǎn)在圓外部，即得到割線定理：過(guò)圓O外一點(diǎn)M作圓的兩條割線AB，CD與圓相交于A,B,C,D則|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.

注：相交弦定理的逆定理和割線定理的逆定理依然成立，即兩直線AB，CD交于一點(diǎn)M，且|MA|·|MA|=|MC|·|MD|，則A，B，C，D四點(diǎn)共圓.

(3)在推廣3和推廣4中，若點(diǎn)T在圓錐曲線內(nèi)部，即是圓錐曲線的相交弦定理；若點(diǎn)T在圓錐曲線外部，即是圓錐曲線的割線定理.

切割線定理 過(guò)圓O外一點(diǎn)M作圓的一條割線交圓于A，B點(diǎn)，作圓的一條切線MT，與圓切于點(diǎn)T，則|MA|·|MB|=|MT|2.

圓中的切割線定理可以進(jìn)一步推廣到圓錐曲線中嗎？

4.再推廣

推廣5 已知點(diǎn)T在圓錐曲線C外，過(guò)點(diǎn)T的直線l與圓錐曲線交于C，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)T的直線m與圓錐曲線切于點(diǎn)D，若這兩條直線的斜率都存在，分別設(shè)為k1和k2，則k1+k2=0的充要條件是|TA|·|TB|=|TD|2.

推廣6 已知點(diǎn)T在圓錐曲線C外，過(guò)點(diǎn)T的直線l與圓錐曲線C切于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)T的直線m與圓錐曲線C切于點(diǎn)B，若這兩條直線的斜率都存在，分別設(shè)為k1和k2，則k1+k2=0的充要條件是|TA|=|TB|.

以上推廣1-4，實(shí)際上我們可以用一個(gè)定理表述，即

定理若四個(gè)不同的點(diǎn)A，B，C，D在圓錐曲線(標(biāo)準(zhǔn)方程)上，則四點(diǎn)共圓的充要條件是存在兩條分別經(jīng)過(guò)其中兩點(diǎn)的相交直線的傾斜角互補(bǔ).

注：因?yàn)閺膱A錐曲線(標(biāo)準(zhǔn)方程)上四個(gè)不同的點(diǎn)中任意選取兩點(diǎn)，一共可以構(gòu)成六條不同的直線，則必存在兩條斜率都存在的相交直線，所以此定理的證明由本文中的“推廣1-4”易得.

點(diǎn)評(píng)：該定理是文獻(xiàn)[3]中定理更為一般的形式，它有一個(gè)妙處：我們可以基于此，把四點(diǎn)共圓這一條件隱藏起來(lái)，即用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言去表達(dá)它，編制不同的試題讓學(xué)生解決；除了本文中的相交弦定理的逆定理和割線定理的逆定理可以刻畫(huà)四點(diǎn)共圓，還可以用西姆松線定理的逆定理[2]與托勒密定理的逆定理[2]等來(lái)刻畫(huà)四點(diǎn)共圓.

問(wèn)題：我們知道圓的切割線定理以及它們的逆定理都是用純幾何法證明，那本文中圓錐曲線的切割線定理能否用純幾何法證明呢？

筆者至今沒(méi)有解決這個(gè)問(wèn)題，希望讀者朋友能給予指導(dǎo).

結(jié)語(yǔ)：經(jīng)筆者查閱文獻(xiàn)，發(fā)現(xiàn)本文中的定理與文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[5]類似，有些遺憾，但是筆者的想法和他們又有些不同；因此，筆者把從發(fā)現(xiàn)這個(gè)問(wèn)題、分析這個(gè)問(wèn)題到解決這個(gè)問(wèn)題，進(jìn)而提出新問(wèn)題的心路歷程完整地展現(xiàn)給大家，供相互學(xué)習(xí)、共同進(jìn)步.