深刻理解算理 切實(shí)把握算法

◇胡麗芳（福建：東山縣第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：運(yùn)算能力主要指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力。能夠明確運(yùn)算對(duì)象和意義，理解算法與算理之間的關(guān)系；能夠通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。本文主要就“理解算理與算法之間的關(guān)系”“算理為算法提供理論依據(jù)，是對(duì)算法的構(gòu)建與解釋”展開(kāi)交流。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，計(jì)算教學(xué)占有非常大的分量，且計(jì)算能力、運(yùn)算能力都是小學(xué)生“四基”中最為核心的內(nèi)容之一?；诖耍處熢诮虒W(xué)中要關(guān)注計(jì)算教學(xué)謀劃，并通過(guò)系列舉措給予高度重視，以期較好地實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生計(jì)算技能的目的。但是實(shí)際教學(xué)中，仍有部分教師的認(rèn)識(shí)和教學(xué)思路是缺位的，他們主要的做法是：讓學(xué)生閱讀例題，學(xué)習(xí)其中的計(jì)算步驟，掌握相關(guān)的計(jì)算法則，然后加以演練，把學(xué)生當(dāng)作“計(jì)算器”。卻不知道，很多學(xué)生雖然這時(shí)候能算，但當(dāng)題目加以改變，特別是碰到關(guān)于算理的填空選擇題時(shí)，他們往往都是錯(cuò)得一塌糊涂，“只知道怎樣算，但不知這樣算的道理，成了搬弄數(shù)字的工具?！?/p>

一、前測(cè)，鋪墊算理

除法豎式是學(xué)生在學(xué)習(xí)了表內(nèi)除法、初步掌握了除法的意義，以及有余數(shù)除法計(jì)算學(xué)習(xí)，初步明白了什么是余數(shù)、余數(shù)要比除數(shù)小等知識(shí)之后，進(jìn)一步開(kāi)展的深度學(xué)習(xí)。學(xué)生對(duì)除法豎式計(jì)算的學(xué)習(xí)是立足于上述知識(shí)積累基礎(chǔ)上的，是落實(shí)在這些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)中、更體現(xiàn)在上述數(shù)學(xué)思維發(fā)展前提下的。對(duì)于除法豎式，他們的基礎(chǔ)是加減法豎式的書(shū)寫(xiě)方式。除法豎式這節(jié)課，是今后學(xué)習(xí)除數(shù)是多位數(shù)除法和小數(shù)除法豎式的種子課。為此，筆者在新課前采取了嘗試探究策略，鼓勵(lì)學(xué)生去探究教材中的例題變式題目（教材58頁(yè)的例題把11根小棒改編為13根小棒，組成多少個(gè)正方形）積極嘗試書(shū)寫(xiě)13÷4=3…1的豎式。隨著學(xué)生大膽學(xué)習(xí)探究，課堂中出現(xiàn)了這樣幾種書(shū)寫(xiě)方法：

通過(guò)對(duì)這些情況的觀察與分析，筆者初步感受到，學(xué)生對(duì)除法的認(rèn)知還是基于已有加減法筆算認(rèn)知的，他們印象中的除法豎式，就是加減法豎式的影子，是既往加減法豎式計(jì)算的樣子。盡管有少數(shù)學(xué)生能夠?qū)懗稣_的，但是問(wèn)其是怎樣得到的，或是怎么思考的，他們卻一臉茫然，難以說(shuō)出個(gè)子丑寅卯，不能實(shí)現(xiàn)“知其所以然”的理想目標(biāo)。

二、聯(lián)系，表征算理

數(shù)學(xué)知識(shí)間連接比較緊密，很多新知識(shí)是舊知識(shí)的引申、發(fā)展和綜合，這是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)呈螺旋式上升規(guī)律所決定的。二年級(jí)的除法豎式計(jì)算學(xué)習(xí)也是如此，學(xué)生是在理解了口算除法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，他們?cè)诮虒W(xué)有余數(shù)除法時(shí)，已經(jīng)知道了算式各部分名稱(chēng)以及余數(shù)的意義等。鑒于此，筆者結(jié)合本班學(xué)生認(rèn)知水平、數(shù)學(xué)思維現(xiàn)狀，以及他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)積累層次等，設(shè)計(jì)了“找一找，比一比”活動(dòng)，讓橫式和豎式對(duì)接，引導(dǎo)學(xué)生自主思考與合作學(xué)習(xí)探究。

師：剛才，同學(xué)們通過(guò)圈一圈、分一分，列出橫式：13÷4=3（個(gè)）…1，其中同學(xué)們的書(shū)寫(xiě)方式很是有趣，有像這種橫著寫(xiě)的，還有那些豎著寫(xiě)的。（教師指著屏幕上的算式述說(shuō)著）現(xiàn)在，讓我們一起來(lái)看一看、比一比：橫式和豎式，橫式的數(shù)到豎式的哪里去了？

生：（生來(lái)到屏幕前，教師讓出講臺(tái)）被除數(shù)13到這里，除數(shù)4到這里，商3到這里，余數(shù)1到這里。

師:誰(shuí)有補(bǔ)充？

生：除號(hào)不見(jiàn)了。

生：多跑出了12，這是什么？

生：“3”為什么要寫(xiě)在那里？

橫式13÷4=3（個(gè)）…1（根），是學(xué)生已經(jīng)掌握的舊知識(shí)，是已經(jīng)具備的表征形式。因此，教學(xué)中教師應(yīng)抓住這個(gè)銜接點(diǎn)，提出“你能在豎式中找到橫式的數(shù)嗎？”問(wèn)題，激活學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)調(diào)動(dòng)他們深入探究的思維火花。教師把手指著橫式和豎式，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較，以求通過(guò)學(xué)生深度觀察，自主思考與分析，能夠較好地建立舊知識(shí)和新知識(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)豎式中各數(shù)的名稱(chēng)和橫式是一樣的。再利用舊知識(shí)的遷移，實(shí)現(xiàn)前后學(xué)習(xí)的溝通，讓知識(shí)逐步趨向結(jié)構(gòu)化、整體化。

緊接著教師又提出“你們有什么要問(wèn)的呢？”這樣的課堂追問(wèn)，促使學(xué)生把思維進(jìn)行聚焦，把所有的思考力、觀察力等都落實(shí)在問(wèn)題探究中，使得課堂探究學(xué)習(xí)、學(xué)習(xí)思考等更有效。同時(shí)，這樣的追問(wèn)，還可以引導(dǎo)學(xué)生自主思考，學(xué)生在舊知識(shí)的遷移中，整合、比較新舊知識(shí)的異同點(diǎn)，從中發(fā)現(xiàn)新知——豎式中多出12。對(duì)除法豎式，學(xué)生能從感官上認(rèn)識(shí)它的基本形式，但不知道這個(gè)豎式是怎么來(lái)的，這些數(shù)字為什么要放到那里，帶著這些疑惑，學(xué)生能夠興致勃勃地進(jìn)入理解抽象算理的探索環(huán)節(jié)。

三、操作，明確算理

課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)筆算教學(xué)提出了明確的要求：筆算教學(xué)，要讓學(xué)生探索為什么這樣算，初步理解書(shū)本中計(jì)算的法則是怎么來(lái)的。通過(guò)一步步理解后，再做一些針對(duì)性練習(xí)，而不是“題海戰(zhàn)術(shù)”。結(jié)合圖形的操作，讓不容易理解的計(jì)算道理變得具體生動(dòng)，學(xué)生理解了這些道理，才會(huì)真正理解每一個(gè)步驟是怎么來(lái)的，每個(gè)數(shù)字為什么要寫(xiě)在這邊而不是那邊。筆者在講解豎式中每個(gè)數(shù)的意義時(shí)，設(shè)計(jì)了分小棒的過(guò)程，通過(guò)學(xué)生的操作、觀察，構(gòu)建豎式的模型。

師：請(qǐng)學(xué)生上展臺(tái)分小棒，邊分邊說(shuō)。

生：先擺13根小棒，每4根分一組，分成3組，還剩1根。

師：觀察豎式中的樣子，看清其中的每一個(gè)數(shù)，結(jié)合這位同學(xué)的操作與解說(shuō)，你發(fā)現(xiàn)了什么，從中又明白了什么？把這些思考與發(fā)現(xiàn)和小組成員說(shuō)一說(shuō)，看看是不是有新的發(fā)現(xiàn)。

隨之學(xué)生實(shí)踐著小組互動(dòng)學(xué)習(xí)模式，結(jié)合自身操作，反芻別人的展示分享，深入探究筆算除法中每一個(gè)數(shù)的意義，思考每一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的內(nèi)容等。接下來(lái)搭建一個(gè)展示、爭(zhēng)辯互動(dòng)學(xué)習(xí)平臺(tái)。

學(xué)生匯報(bào)：13表示要分的13根小棒，4表示每組分4根，3表示平均分成3組，12表示分走了12根，1表示還剩1根。

師：3為什么寫(xiě)在個(gè)位上？

生：實(shí)際分小棒過(guò)程中，是可以把它4根4根分一分的，最后可以分成3組，在豎式里表示3個(gè)4，所以要寫(xiě)在個(gè)位中。

操作能夠豐富學(xué)習(xí)感知，誘發(fā)學(xué)習(xí)思考，還有助于學(xué)生把形與數(shù)、數(shù)與思整合起來(lái)，便于其深度探究發(fā)生，利于學(xué)生進(jìn)一步抽象歸納，為他們后續(xù)提煉概念、建立除法筆算計(jì)算思維模型提供幫助，對(duì)學(xué)生積累起扎實(shí)、有效的除法計(jì)算學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是大有裨益的。

同時(shí)，直觀模型對(duì)學(xué)生理解算理、掌握算法有著不可估量的作用。學(xué)生在邊操作邊說(shuō)數(shù)的過(guò)程中，動(dòng)作表征和語(yǔ)言表征同時(shí)進(jìn)行，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使抽象的算理直觀化，有形可依?！皵?shù)無(wú)形時(shí)少直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微。”（華羅庚）在圖形中理解豎式中每個(gè)數(shù)的意義，每一個(gè)書(shū)寫(xiě)步驟的合理性，特別是12的由來(lái)、表示的意義，以及商3為什么寫(xiě)在個(gè)位上，顯得清晰可見(jiàn)。

四、質(zhì)疑，深化算理

古希臘著名哲學(xué)家亞里士多德說(shuō)過(guò)：“疑問(wèn)和好奇，促使人們?nèi)ニ伎?。”每一?jié)堂課，教師如果能設(shè)計(jì)一些問(wèn)題，或者給學(xué)生足夠的時(shí)間進(jìn)行思考，那么，這節(jié)課學(xué)生收獲的就不僅僅是知識(shí)。他們理解了算理，也獲得思維的飛躍、成功的體驗(yàn)；而且還能學(xué)到思考的方法，積累起探究學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)等，使得自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力得到發(fā)展，學(xué)習(xí)效果獲得提升。筆者以為，這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，讓師生都得到成長(zhǎng)。學(xué)生通過(guò)努力收獲了知識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)思考與探究的樂(lè)趣，進(jìn)而對(duì)后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)充滿興趣，對(duì)新的數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)充滿期待。在學(xué)生初步感知除法豎式后，筆者創(chuàng)設(shè)了讓學(xué)生質(zhì)疑的情境。

師：還有什么要問(wèn)的嗎？

生：為什么除法豎式和加減法的豎式不一樣？

師：同學(xué)們看，這樣寫(xiě)如何？

生：就看不出分走的12根。

前面，我們已經(jīng)指出，如果寫(xiě)成連續(xù)減，會(huì)顯得很煩瑣。莊子說(shuō)過(guò)：天下難事，必作于易。就是告訴我們，復(fù)雜的事情要簡(jiǎn)單化，除法豎式，就是記錄除法筆算過(guò)程的一種簡(jiǎn)潔形式。

師：想想看，它們有沒(méi)有相同的地方？

生：它們都要注意相同數(shù)位對(duì)齊。

師：看，計(jì)算減法豎式時(shí)，要數(shù)位對(duì)齊，除法豎式是不是也要注意數(shù)位對(duì)齊呢？

生：3和13的3，12的2以及余數(shù)1都是個(gè)位上的數(shù)，對(duì)齊了，3要寫(xiě)在個(gè)位。

在算法通向算理的過(guò)程中，突出對(duì)算理的追問(wèn)和闡釋?zhuān)?xùn)練學(xué)生解釋、辨析、口頭語(yǔ)言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)最基本的策略。為此，在加深學(xué)生對(duì)除法豎式理解的教學(xué)中，教師不僅要重視讓學(xué)生知道除法豎式中先寫(xiě)什么、后寫(xiě)什么，還應(yīng)使其明白為什么要這樣寫(xiě)，知曉除法豎式中各個(gè)數(shù)的書(shū)寫(xiě)位置及其意義。特別是通過(guò)與減法豎式的比較，學(xué)生感受到除法豎式的書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)約明了，使得動(dòng)手分一分的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)與豎式計(jì)算算理結(jié)合變得更緊密，更利于學(xué)生對(duì)豎式中等分的理解，使得學(xué)習(xí)探究變得全面透徹。學(xué)生也進(jìn)一步明白了“3”寫(xiě)在個(gè)位的原因，突破難點(diǎn)。

在完成例題教學(xué)后，教材呈現(xiàn)16÷4=4的豎式，通過(guò)比較，學(xué)生發(fā)現(xiàn)整除沒(méi)有余數(shù)，直接寫(xiě)0，從而完善了對(duì)除法豎式的一般性認(rèn)識(shí)。他們進(jìn)一步明白了有余數(shù)的情況，其算法、算理是怎樣的，以及整除情況與前面學(xué)習(xí)的比較，形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

五、鞏固，強(qiáng)化算理

在動(dòng)手操作、數(shù)形結(jié)合、討論交流等一系列算理具體化后，就進(jìn)入算法的練習(xí)，殊不知，這樣往往會(huì)造成學(xué)生沒(méi)有辦法直接就進(jìn)入對(duì)算法的真正領(lǐng)悟中。在筆者的教學(xué)中，也出現(xiàn)過(guò)這樣的情況。因此，可先讓學(xué)生做課后“做一做”。教材還是呈現(xiàn)小棒圖，旨在讓學(xué)生從圖式結(jié)合中，再次分一分，體驗(yàn)除法橫式與除法豎式的關(guān)系，使豎式模型的建構(gòu)進(jìn)一步鞏固，讓算理停留久一點(diǎn)。這時(shí)，可以照著例題這樣問(wèn)：10是怎么來(lái)的？它表示什么？3為什么要寫(xiě)在個(gè)位上，等等。這些問(wèn)題，使得除法豎式怎么來(lái)的再次得到鞏固，算理也更加通透，讓學(xué)生對(duì)算理的理解更加深入。

前面的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)每份分多少個(gè)，可以分幾份。除法還有一種分法，就是平均分成幾份，每份是多少，可使除法豎式的意義更加完整，對(duì)算理也是進(jìn)一步強(qiáng)化補(bǔ)充。張齊華老師在暑假備課培訓(xùn)中指出：別讓“算法”過(guò)早擠走“算理”，要讓算理“再透一些”。通過(guò)這樣的強(qiáng)化，今后教學(xué)除數(shù)是多位數(shù)的除法、除數(shù)是小數(shù)的除法都以除法豎式這節(jié)課為基礎(chǔ)，前后的聯(lián)系，使得一節(jié)課變成了一類(lèi)課。吳正憲老師在《學(xué)習(xí)“新課標(biāo)”理解“一致性”》中指出：培育核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教育不是零零散散知識(shí)的呆板識(shí)記，更不是反反復(fù)復(fù)地刷題，而是在具體情境中會(huì)思考、能辨析，使知識(shí)呈現(xiàn)整體性結(jié)構(gòu)化。

在小學(xué)計(jì)算教學(xué)中，計(jì)算方法主要解決能算、會(huì)算的問(wèn)題，而且，這樣算的道理由算理來(lái)回答，只有對(duì)算理理解深刻，才能對(duì)算法有切實(shí)把握?！八惴ā⑺憷硎沁\(yùn)算能力的一體雙翼，尤其是小學(xué)數(shù)學(xué)中，兩者相互輔助，不能偏向哪一方?！币凇坝^察—操作—抽象—運(yùn)用”中打通算理與算法的過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)算能力的發(fā)展。