利用“死結(jié)”和“活結(jié)”的特性解決生活中的繩連體問題

華樺

［摘 要］生活中經(jīng)常會用到繩子，不管是晾曬衣物、提拉重物，還是大型機械、跨江橋梁等，都可以用繩子將兩個或多個物體相連，對此，我們通常稱其為繩連體問題。利用物理建模，可將其歸類為物理中的靜態(tài)平衡問題。通過歸納總結(jié)發(fā)現(xiàn)，解答繩連體問題時，運用靜態(tài)平衡模型中“死結(jié)”與“活結(jié)”的特性進行分析解答，解題思路會更加明晰，正確率也有顯著提高。

［關鍵詞］繩連體問題；靜態(tài)平衡；死結(jié)；活結(jié)

［中圖分類號］G633.7［文獻標識碼］?A［文章編號］ 1674-6058（2023）32-0054-04

物體在共點力作用下的平衡是貫穿高中物理的重要知識，其中繩連體問題（輕繩與掛件模型）就是其中最常見的。各類測驗試卷和歷年高考卷中常會結(jié)合生產(chǎn)生活實際設計試題，以體現(xiàn)“貼近學生的學習、生活實際”的原則。解答這類試題的難點在于物理建模。通過歸納，筆者發(fā)現(xiàn)可以運用靜態(tài)平衡模型中“死結(jié)”和“活結(jié)”的特性對繩連體問題進行分析解答。

一、什么是“死結(jié)”和“活結(jié)”

“死結(jié)”是指連接兩個物體的繩子系成一個結(jié)，這個結(jié)不會松動或滑動，在這種情況下，結(jié)點兩側(cè)的輕繩是相互獨立的。因此，“死結(jié)”的最大特點是結(jié)點兩側(cè)輕繩上的彈力大小不一定相等。

“活結(jié)”是指連接兩個物體的繩子系成的結(jié)可以松動或滑動，在這種情況下，連接的兩個物體之間的相對位置可以改變。“活結(jié)”的最大特點是結(jié)點兩側(cè)輕繩上的彈力大小始終相等。

學生對這兩個概念并不陌生，但在平時練習過程中常會出錯，究其原因，就是對“死結(jié)”和“活結(jié)”理解并不透徹，容易混淆誤用。

【模型展示】如圖1所示，在兩個豎直放置的圓環(huán)的水平直徑兩端，各系有一根不可伸長的細繩。圖1甲中通過一個輕質(zhì)的光滑滑輪懸掛物塊，圖1乙通過一根細繩系在繩子的中點處?，F(xiàn)將兩個圓環(huán)沿著順時針方向緩慢轉(zhuǎn)動一個小角度，穩(wěn)定后各段細繩拉力的變化情況如何？

解析：圖1甲所示的就是典型的“活結(jié)”問題。在這個系統(tǒng)中，繩上的張力處處相等，滑輪兩側(cè)繩子與水平方向的夾角相等。設繩子與水平方向的夾角為θ，點a、b之間的水平距離為d，細繩的總長度為L，則有[cosθ=dL]，[2Tasinθ=mg]，解得[Ta=Tb=mgL2L2-d2]。當圓環(huán)沿著順時針方向緩慢轉(zhuǎn)動一個小角度后，根據(jù)幾何知識可知d變小，但是由于a、b端繩上的拉力仍相等，根據(jù)上面的公式可判斷兩段細繩上的拉力均變小。

圖1乙所示的就是典型的“死結(jié)”問題。當圓環(huán)沿著順時針方向緩慢轉(zhuǎn)動一個小角度后，結(jié)點兩側(cè)細繩上的拉力、方向都在發(fā)生變化，但是兩拉力方向的夾角保持不變。以結(jié)點為研究對象，分析其受力，作矢量三角形，如圖2所示。由題意可知，圓環(huán)旋轉(zhuǎn)前，Tc=Td；根據(jù)矢量三角形可直觀看到，圓環(huán)旋轉(zhuǎn)后，c端連接段的細繩上的拉力變大，d端連接段的細繩上的拉力變小。

從上面的分析可知，解答這類問題要特別留意“死結(jié)”與“活結(jié)”中各段細繩上拉力的情況，這對解決繩連體問題非常重要。接下來，結(jié)合實例進行分析解答。

二、使用“死結(jié)”與“活結(jié)”解決繩連體問題

（一）利用“死結(jié)”分析解題

若試題的研究對象是由兩根獨立的細繩連接的，或連接研究對象的繩子可視為相對獨立，則可以利用“死結(jié)”的特性——兩段細繩上的拉力不僅方向不同，大小也不一定相等來解題。另外還須注意：若細繩中存在彈力，則結(jié)點與系點的長度一般是不變的，這在某些特定情況下對解題有特殊效果。

［例1］如圖3所示，在粗糙的水平地面上靜止放置一個物塊A及一個垂直水平地面的光滑輕質(zhì)定滑輪，跨過定滑輪有一根不可伸長的輕質(zhì)細繩，其右端連接物塊A，左端用與水平方向成30°角斜向上的力F拉住，在點O處有一段同樣的不可伸長的輕質(zhì)細繩與其形成一個死結(jié)，并在下方懸掛有物塊B。穩(wěn)定后，死結(jié)兩側(cè)的細繩與水平方向的夾角均為30°。若已知物塊A與地面的動摩擦因數(shù)為[32]，定滑輪右側(cè)細繩與水平地面的夾角為45°，重力加速度為g，物塊A、B均處于靜止狀態(tài)，以下選項計算正確的是（）。

A.物塊A受到細繩的拉力的大小為[32F]

B.物塊A受到摩擦力的大小為[32mAg]

C.物塊B的質(zhì)量大小為[Fg]

D.物塊A對水平地面的壓力大小為[mAg-32F]

解析：以結(jié)點O為研究對象，對其進行受力分析，可畫出力的矢量三角形，如圖4甲所示，由幾何知識可知該三角形是個等邊三角形，所以有：

[T=F， mB=Fg]

故選項A錯誤，選項C正確。

以物塊A為研究對象，對其進行受力分析，如圖4乙所示，因為物塊A靜止，所以由平衡條件可知：

[Tf=Tcos45°]? ? ?[FN+Tsin45°=mAg]

聯(lián)立以上各式可得：

[Tf=22F? ? ?FN=mAg-22F]

所以選項B、C錯誤。

小結(jié)：本題有兩個結(jié)點，其中結(jié)點[O]無疑就是一個“死結(jié)”，受力分析時就可以簡單地分成三個方向上獨立的力，利用常規(guī)的方式列平衡方程求解，也可以像題中這樣直接畫出力的矢量三角形進行分析。另外，本題還有一個隱藏的“活結(jié)”，那就是輕質(zhì)定滑輪，在分析物塊[A]的受力情況時，輕質(zhì)細繩對[A]的拉力應該與“死結(jié)”[O]點右側(cè)細繩上的彈力相聯(lián)系，兩者的大小是相等的，如果忽略這一點，就很難求出物塊A的相關物理量。

（二）利用“活結(jié)”分析

“活結(jié)”中的“活”主要是指結(jié)點兩側(cè)的繩子方向可以靈活改變。所遇到的繩連體中的研究對象如果符合以上條件，就可以考慮使用解答“活結(jié)”問題的方式進行分析。

［例2］（多選）如圖5所示，A、B是兩個豎直固定在水平地面上的晾衣竿，其中A竿高于B竿，在它們頂點處系有一根不可伸長的長度略大于兩個晾衣竿頂點距離的不可伸長的輕質(zhì)細繩。細繩上掛有一件質(zhì)量為m的衣服（含衣架），在無風狀態(tài)下，衣服在細繩上保持靜止；當有一陣恒定的風自左向右吹來時，衣服受到恒定的水平向右的力作用而滑動，并最終在如圖5所示的位置保持靜止。關于衣架與細繩的摩擦力，下列判斷正確的有（? ? ? ? ）。

A.有風時，衣架掛鉤兩側(cè)細繩上的彈力大小相等

B.無風時，衣架掛鉤兩側(cè)繩子與豎直方向的夾角，左側(cè)的較大

C.若存在題中所示的恒定風時，則系在A竿頂端的繩子下移到與B竿等高的C點處，細繩上的拉力將變小

D.與無風時相比，存在題中所示的恒定風時∠AOB較大

解析：根據(jù)題意可知，衣架可視為一個理想的輕質(zhì)動滑輪，這是一個典型的以晾衣架為代表的“活結(jié)”模型?！盎罱Y(jié)”模型的最大特點就是結(jié)點兩側(cè)繩子上的彈力大小始終是相等的，所以選項A正確。

如圖6所示，是無風時衣服的受力情況，根據(jù)平衡條件可知[Fcosθ+Fcosα=mg]，[Fsinθ=Fsinα]?？芍獰o風時，衣架掛鉤兩側(cè)繩子與豎直方向的夾角相等，所以選項B錯誤。

設細繩的長為L，兩個晾衣竿的水平距離為d，根據(jù)幾何知識可知[sinθ=dL]，根據(jù)平衡條件可得[2Fcosθ=mg]，解得[F=mg2cosθ]。當有恒定風作用時，衣服受水平向右的恒力作用，受力分析如圖7所示，根據(jù)平衡條件可知，衣架掛鉤兩側(cè)細繩上的拉力的合力與衣服所受風的作用力和衣服重力的合力大小相等，方向相反，由此可比較得出：與無風時相比，有恒定風時細繩上的拉力更大，但是由于無法確定兩種狀態(tài)下衣架掛鉤的具體位置，所以不能確定∠AOB的大小關系，所以選項D錯誤。

有恒定風時，將系在A竿頂端的繩子下移到與B竿等高的C點處，由幾何知識可知∠BOC<∠AOB，又因為[2Fcos12∠BOC=F合]，但是F合在衣架掛鉤移動到細繩右端的位置前后是不變的，所以細繩上的拉力F將變小，所以選項C正確。

小結(jié)：晾衣架是一個與生活緊密聯(lián)系的典型繩連體問題，這類問題若以選擇題形式出現(xiàn)，則解答時不需要寫出計算過程，可以放心地使用“活結(jié)”的性質(zhì)進行分析。另外，本題中，判斷選項C時，可以采用極限法，假設兩個晾衣竿的高度差非常大，使得[∠AOB]接近180°，則當細繩右端下移到[C]點時，必然存在[∠BOC<∠AOB]。

（三）跨海大橋的繩連體問題

［例3］對于一些跨度較大的橋面，為了減少對地面交通的影響，或者因為建造環(huán)境的限制，通常會選擇建造斜拉橋。比如很多景區(qū)穿越峽谷的索橋，還有就是在2018年10月23日通車的港珠澳跨海大橋等。如圖8所示，是鋼索斜拉橋，關于斜拉橋的索塔與鋼索，下列說法正確的是（）。

A.為減小索塔所受向下的壓力，可以增加鋼索的數(shù)量

B.為了減小鋼索所承受的拉力，可以降低索塔的高度

C.為了使鋼索對索塔的合力方向豎直向下，可以通過索塔兩側(cè)鋼索對稱分布且拉力大小相同來實現(xiàn)

D.為了使鋼索對索塔的合力方向豎直向下，索塔兩側(cè)鋼索必須滿足對稱分布的條件

解析：斜拉橋的鋼索與索塔和橋面組成的系統(tǒng)可視為“死結(jié)”。分析時可先畫出示意圖，然后確定研究對象，將鋼索的拉力進行合成，利用平行四邊形定則作圖，結(jié)合幾何關系列式求解即可。

以橋身為研究對象，進行受力分析可知，鋼索對橋身的拉力的合力與橋身和鋼索的總重力大小相等、方向相反，所以鋼索對索塔的向下的壓力大小等于橋身與鋼索的總重力，可知增加鋼索的數(shù)量會增大索塔所受向下的壓力，所以選項A錯誤。

由力的分解與合成可知，合力一定時，分力間的夾角越小，分力也越小。為了減小鋼索所受的拉力，應減小每根鋼索對自身及橋面的拉力，由于每根鋼索質(zhì)量可視為定值，因此只能通過減小鋼索與索塔之間的夾角來達到目的，因此索塔應該增加高度，所以選項B錯誤。

根據(jù)對稱性可知，索塔兩側(cè)鋼索對稱分布且拉力大小相等時，水平分力相互抵消，鋼索對索塔的合力方向豎直向下，所以選項C正確。

如圖9所示，將鋼索AC、AB的拉力FAC、FAB進行合成，合力豎直向下，結(jié)合正弦定理可得：

[FABsinα=FACsin β]

解得：[FACFAB=sin βsinα]

故索塔兩側(cè)鋼索不用必須滿足對稱分布的條件，故選項D錯誤。

以上三例是繩連體問題的三個比較常見的類型，此外，還存在很多變式，比如在“死結(jié)”中：①結(jié)點一側(cè)繩子固定不動（即結(jié)點不動），另一側(cè)繞結(jié)點旋轉(zhuǎn)，這個變化通常使用“平行四邊形法”或者“矢量三角形法”解答；②兩側(cè)繩子夾角保持不變，繞一個固定端旋轉(zhuǎn)，這個變化通常使用“輔助圓法”解答；③細繩的方向和夾角隨時變化，類似上面的衣架模型，這類變化可考慮使用“相似三角形法”解答。其中①②可以用“死結(jié)”的特性解題，③用“活結(jié)”的特性解題。針對不同類型，可以選擇不同的解題方法，列舉如下：

1.結(jié)點兩側(cè)有一側(cè)的繩子方向不變。模型圖和受力圖如圖10所示。

在這種情況下，OB緩慢向上轉(zhuǎn)動至豎直位置，結(jié)點O的位置不動。解題時通常用平行四邊形法。

2.結(jié)點兩側(cè)繩子方向均發(fā)生變化，但兩繩的夾角大小不變。模型圖和受力圖如圖11所示。

在這種情況下，重物M在兩根繩子牽引下向右上方緩慢移動，其間夾角α保持不變。解決該類型題常用如圖11所示的輔助圓法。

3.結(jié)點兩側(cè)繩子方向和兩繩間夾角均發(fā)生變化。模型圖和受力圖如圖12所示。

在這種情況下，細繩繞過半球面正上方的定滑輪，拉動小球A沿著半球面緩慢上升。解決該類型題常用如圖12所示的相似三角形法。

其實，不管遇到哪種類型，只要抓住繩連體問題的共點力受力平衡的本質(zhì)，準確判斷繩上的受力情況，就可以準確解答試題，“死結(jié)”和“活結(jié)”只是作為參考，大家可以探索其他更簡便有效的方法。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 劉姍姍，劉軍港.共點力作用下物體的平衡問題例析［J］.中學物理教學參考，2018（4）：48.

［2］? 孟德飛.受力平衡問題中“死結(jié)”和“活結(jié)”模型［J］.中學生數(shù)理化（自主招生），2020（合刊1）：75.

［3］? 劉杭州，宋書婷.認好“活結(jié)”速解平衡問題：以2020年全國高考理綜Ⅲ卷第17題為例［J］.物理教學，2021（7）：66-67，47.

（責任編輯? 易志毅）