基于高斯偽譜法的槍榴彈制導(dǎo)算法

許一蒙，霍鵬飛,2，王 超，雷瀧杰

(1.西安機(jī)電信息技術(shù)研究所，陜西 西安 710065；2.機(jī)電動(dòng)態(tài)控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710065)

0 引言

近年來，隨著局部地區(qū)的沖突加劇，維穩(wěn)和反恐行動(dòng)的需求不斷增加，采用低成本彈藥對(duì)地面人員精確打擊的需求日益增長。槍榴彈尺寸小、重量輕、成本低，特別適用于低成本精確打擊人員目標(biāo)[1]；但傳統(tǒng)槍榴彈無制導(dǎo)，精度低，無法滿足精確打擊的使用需求，因此推動(dòng)了槍榴彈智能化的發(fā)展。通過制導(dǎo)提高槍榴彈的命中精度是槍榴彈智能化設(shè)計(jì)中的重要環(huán)節(jié)。

文獻(xiàn)[2]采用極大值原理求解彈道修正引信彈道控制中以能量消耗最小為目標(biāo)的彈道控制優(yōu)化模型，得到最優(yōu)法向過載值；但控制優(yōu)化模型的求解時(shí)間比較長，難以直接應(yīng)用到槍榴彈制導(dǎo)中。文獻(xiàn)[3]通過綜合協(xié)同制導(dǎo)控制和高斯偽譜法彈道規(guī)劃，實(shí)現(xiàn)多彈以最優(yōu)路徑攻擊目標(biāo)；但需要實(shí)時(shí)測(cè)量目標(biāo)的角度偏差和彈目距離，成本過高。文獻(xiàn)[4]以射程最大為指標(biāo)，利用高斯偽譜法實(shí)現(xiàn)彈道的合理優(yōu)化，并比較了標(biāo)準(zhǔn)位置跟蹤和標(biāo)準(zhǔn)過載跟蹤兩種實(shí)現(xiàn)方法；但由比例導(dǎo)引得到制導(dǎo)指令所需過載較大，槍榴彈難以滿足。文獻(xiàn)[5]將標(biāo)準(zhǔn)彈道的某點(diǎn)作為目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行軌道計(jì)算及最優(yōu)入軌控制，無需進(jìn)行虛擬目標(biāo)點(diǎn)的修正；但對(duì)制導(dǎo)方程進(jìn)行了簡化，帶來了不小的誤差，需要對(duì)精度進(jìn)一步優(yōu)化。因此，有必要結(jié)合槍榴彈的自身和任務(wù)特性，研究一種能夠滿足槍榴彈打擊精度，且消耗能量小，解算速度快的制導(dǎo)算法。本文針對(duì)上述問題，提出基于高斯偽譜法的槍榴彈制導(dǎo)算法。

1 高斯偽譜法

高斯偽譜法無需對(duì)微分方程求解，收斂半徑大，收斂速率快且精度較高，適用于需要快速解算的槍榴彈彈道。

高斯偽譜法的本質(zhì)就是同時(shí)離散控制變量和狀態(tài)變量的直接法，也被稱作配點(diǎn)法或直接配點(diǎn)非線性規(guī)劃DCNLP(direct collocation with nonlinear programming)。高斯偽譜法的解算步驟：首先在一系列的LG(Legendre-Gauss)點(diǎn)上將狀態(tài)變量和控制變量進(jìn)行離散；然后通過離散點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，采用全局多項(xiàng)式插值，對(duì)控制變量和狀態(tài)變量進(jìn)行近似逼近，從而將系統(tǒng)從微分約束轉(zhuǎn)化為代數(shù)約束；最后以節(jié)點(diǎn)處的狀態(tài)變量和控制變量作為優(yōu)化變量，將最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題而求解。

彈道優(yōu)化問題是復(fù)雜的多約束動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題，可將其看作一般的最優(yōu)控制問題，一般最優(yōu)控制問題的Bolza形式描述如下：

minJ=Φ[x(t0),t0,x(tf),tf]+

(1)

式(1)中，u(t)∈Rm為控制變量，x(t)∈Rn為狀態(tài)變量，t0和tf為時(shí)間的初始值和終端值。

系統(tǒng)滿足的動(dòng)力學(xué)約束、邊界條件約束和路徑約束分別為

(2)

求解優(yōu)化問題應(yīng)對(duì)優(yōu)化問題參數(shù)化，具體流程如下。

1)一般非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

由式(2)可知，非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程的一般形式為

(3)

2)時(shí)域變換

由于最優(yōu)控制問題的時(shí)間變量t∈[t0,tf]，而高斯偽譜法的時(shí)間變量τ∈[-1,1]，因此，將t離散到τ：

(4)

3)近似狀態(tài)變量與控制變量

高斯偽譜法的離散點(diǎn)個(gè)數(shù)為K+1個(gè)，其中包括K個(gè)LG點(diǎn)和τ0=-1點(diǎn)，從而構(gòu)成K+1個(gè)Lagrange插值多項(xiàng)式Li(τ)(i=0,1，…,k)，以此為基函數(shù)，進(jìn)行狀態(tài)變量的近似：

(5)

其中，

(6)

(7)

其中，

(8)

以上問題中對(duì)于狀態(tài)變量是在[-1，1)的時(shí)間區(qū)間內(nèi)近似的，未對(duì)終端狀態(tài)τf=1進(jìn)行定義，終端狀態(tài)滿足動(dòng)力學(xué)方程約束：

(9)

對(duì)終端狀態(tài)約束條件進(jìn)行離散并以高斯積分來近似，得到

(10)

4)動(dòng)力學(xué)方程約束轉(zhuǎn)為代數(shù)約束

對(duì)式(5)求導(dǎo)可得狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，將動(dòng)力學(xué)方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束：

(11)

從而可得狀態(tài)變量在節(jié)點(diǎn)處需滿足的代數(shù)方程約束：

(12)

5)近似性能指標(biāo)函數(shù)

將Bolza形式的性能指標(biāo)函數(shù)中的積分項(xiàng)用高斯積分近似，可得到用于高斯偽譜法中的近似性能指標(biāo)函數(shù)：

(13)

經(jīng)過上述步驟，高斯偽譜法將連續(xù)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)換為一般非線性規(guī)劃問題[6-8]。

2 基于高斯偽譜法的槍榴彈制導(dǎo)算法

2.1 制導(dǎo)策略

基于高斯偽譜法的槍榴彈制導(dǎo)算法的基本策略：采用指令制導(dǎo)方式，發(fā)射前一次性規(guī)劃，發(fā)射后持續(xù)修正。發(fā)射前，根據(jù)目標(biāo)位置，采用高斯偽譜法規(guī)劃出一條需用能量最小的最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)彈道。制導(dǎo)過程中，在發(fā)射點(diǎn)處實(shí)時(shí)測(cè)量并解算出實(shí)際彈道相對(duì)于發(fā)射點(diǎn)的高低角qy和方位角qz與標(biāo)準(zhǔn)彈道的高低角偏差Δqy和方位角偏差Δqz，形成制導(dǎo)指令，導(dǎo)引彈丸飛向目標(biāo)。制導(dǎo)策略的示意圖如圖1所示。

圖1 基于高斯偽譜法的槍榴彈制導(dǎo)策略Fig.1 Guidance strategy of grenade based on Gaussian pseudo-spectral method

2.2 彈道模型建立

本文采用三自由度(3D)質(zhì)點(diǎn)彈道模型，將槍榴彈視為理想質(zhì)點(diǎn)，不考慮彈體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的影響，假定攻角為零，空氣動(dòng)力只計(jì)阻力。建立描述槍榴彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的方程組如下：

(14)

2.3 優(yōu)化模型建立

由于能量的大小和過載大小正相關(guān)，由式(14)可以看出，過載矢量大小的主要影響因素是速度V、彈道傾角θ和彈道偏角ψv，因此建立優(yōu)化問題如下[10-12]：

1)性能指標(biāo)：本文以槍榴彈所需修正能量最小為指標(biāo)，可得

(15)

2)狀態(tài)約束：為式(14)運(yùn)動(dòng)方程組。

3)邊界條件：滿足以下邊界條件

(16)

4)過載約束：由于槍榴彈所能提供的修正過載有限，因此對(duì)其進(jìn)行約束：

(17)

優(yōu)化問題求解流程如圖2所示。

圖2 彈道優(yōu)化流程Fig.2 Trajectory optimization process

2.4 制導(dǎo)指令計(jì)算

定義模擬產(chǎn)生發(fā)射點(diǎn)處實(shí)時(shí)測(cè)量和解算的高低角和方位角的偏差為

(18)

式(18)中，qyt、qzt為實(shí)時(shí)彈道高低角和方位角；qyc、qzc為標(biāo)準(zhǔn)彈道高低角和方位角。

根據(jù)測(cè)量得到的高低角和方位角偏差計(jì)算制導(dǎo)指令：

(19)

式(19)中，K1,K2為比例系數(shù)。

3 仿真驗(yàn)證

本文以40 mm槍榴彈為例，使用Matlab/Simulink軟件進(jìn)行彈道優(yōu)化和制導(dǎo)仿真。

3.1 彈道優(yōu)化仿真

假設(shè)槍榴彈發(fā)射點(diǎn)坐標(biāo)(0，0，0)m，目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)(2 000，2，0)m，發(fā)射初速v0=230 m/s，修正過載區(qū)間(-0.5,0.5)，以所需修正能量最小為指標(biāo)，選取插值點(diǎn)數(shù)為30，利用Matlab中GPOPS-ii工具箱進(jìn)行基于高斯偽譜法的彈道優(yōu)化，優(yōu)化后的彈道如圖3所示。

圖3 優(yōu)化后的標(biāo)準(zhǔn)彈道Fig.3 Optimized standard trajectory

同時(shí)，可以得到最優(yōu)彈道的初始射角為13.724 8°，初始偏角為0°。

3.2 制導(dǎo)仿真

3.2.1理想情況仿真

不考慮射擊諸元誤差、氣象誤差、角度測(cè)量誤差等，以3.1節(jié)中經(jīng)過高斯偽譜法優(yōu)化的最優(yōu)彈道為標(biāo)準(zhǔn)彈道，采用2.4節(jié)中制導(dǎo)指令的計(jì)算方法，以初速度v0=230 m/s，目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)(2 000，2，0)m，初始射角14°，初始偏角0.5°為初始條件，以射程x=2 000 m為停止條件進(jìn)行制導(dǎo)仿真，以實(shí)際彈道和標(biāo)準(zhǔn)彈道進(jìn)行對(duì)比，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 實(shí)際彈道與標(biāo)準(zhǔn)彈道對(duì)比Fig.4 Comparison between actual trajectory and standard trajectory

仿真末端位置數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 制導(dǎo)仿真末端數(shù)據(jù)Tab.1 Terminal data of guidance simulation

以上理想情況下制導(dǎo)仿真數(shù)據(jù)表明，末端彈道高y，橫向偏移z方向誤差小于0.1 m，末端高低角qy,方位角qz角度誤差小于0.01 rad，該制導(dǎo)方法實(shí)現(xiàn)了對(duì)優(yōu)化后標(biāo)準(zhǔn)彈道的跟蹤。

3.2.2真實(shí)情況仿真

考慮到槍榴彈射程小、彈道低，忽略氣象對(duì)彈道的影響，針對(duì)初速誤差和角度測(cè)量誤差分析制導(dǎo)精度。取名義初速度v0=230 m/s，初速散布誤差均方差取1‰v0，初始射角均值13.7°，方差1°，初始偏角均值0°，方差1°，目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)(2 000，2，0)m，考慮諸多誤差因素，隨機(jī)生成100組數(shù)據(jù)進(jìn)行打靶仿真試驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 100組打靶仿真試驗(yàn)結(jié)果Fig.5 100 groups of shooting simulation tests

為評(píng)估該制導(dǎo)方法的精度，用以上100組打靶仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行RCEP(圓概率誤差)計(jì)算，公式如下：

(20)

式(20)中，σ為末端位置均方差。

代入以上生成的100組打靶仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)，解得該制導(dǎo)方法的RCEP=0.17 m。

3.3 與其他制導(dǎo)方法對(duì)比

本文以最小修正能量為性能指標(biāo)，依據(jù)由高斯偽譜法優(yōu)化后的最優(yōu)彈道為標(biāo)準(zhǔn)彈道進(jìn)行制導(dǎo)，仿真對(duì)比該制導(dǎo)方法、傳統(tǒng)比例導(dǎo)引法和落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)法的修正結(jié)果，仿真中初速度v0=230 m/s，目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)(2 000，2，0)m，初始射角14°,初始偏角0.5°，槍榴彈重0.5 kg，圖6為三種制導(dǎo)方法過載對(duì)比。

圖6 基于高斯偽譜法的制導(dǎo)制算法、比例導(dǎo)引法與落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)法的修正過載對(duì)比Fig.6 Comparison of modified overload between guidance algorithm based on Gaussian pseudo-spectrum method, proportional guidance method and impact prediction guidance method

由圖6可知，比例導(dǎo)引法所需修正過載較大，約為本文制導(dǎo)算法的50倍；落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)法雖然修正過載較小，但末端過載出現(xiàn)了明顯震蕩，不利于末端的修正；本文所述制導(dǎo)方法修正過載小且末端無震蕩，具有明顯優(yōu)勢(shì)。

依據(jù)修正過載計(jì)算上述三種制導(dǎo)方法所需的修正能量，再對(duì)其余兩種制導(dǎo)方法進(jìn)行同3.2.2節(jié)所示的100組打靶仿真試驗(yàn)，計(jì)算RCEP，結(jié)果見表2。

表2 三種制導(dǎo)方法對(duì)比Tab.2 Comparison of three guidance methods

由表2可以看出，本文制導(dǎo)方法所需的能量約為比例導(dǎo)引法的2%，約為落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)法的8%；本文制導(dǎo)方法的RCEP約為落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)法的50%，與比例導(dǎo)引法RCEP大致相同，但從能量角度考慮，比例導(dǎo)引法所需能量更大，對(duì)于尺寸小、成本低的槍榴彈要提供比例導(dǎo)引法所需能量的難度更大，成本過高。綜上所述，本文所述制導(dǎo)方法的修正能量明顯小于比例導(dǎo)引法和落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)法的修正能量，且RCEP優(yōu)于比例導(dǎo)引法和落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)法。

4 結(jié)論

本文提出基于高斯偽譜法的槍榴彈制導(dǎo)算法，該算法以最小修正能量為性能指標(biāo)，利用高斯偽譜法優(yōu)化出一條最優(yōu)彈道作為標(biāo)準(zhǔn)彈道，依據(jù)實(shí)時(shí)彈道和標(biāo)準(zhǔn)彈道的偏差生成制導(dǎo)指令。以40 mm槍榴彈為例，與比例導(dǎo)引法和落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)法進(jìn)行制導(dǎo)性能對(duì)比，仿真結(jié)果表明，本文制導(dǎo)方法所需修正能量最小，僅為比例導(dǎo)引法的2%，是落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)法的8%；本文制導(dǎo)方法的RCEP小，約為比例導(dǎo)引法的94%，約為落點(diǎn)預(yù)測(cè)制導(dǎo)法的50%。因此基于高斯偽譜法的槍榴彈制導(dǎo)算法具有修正能量小，制導(dǎo)精度高的特點(diǎn)，易于在槍榴彈上實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用。