有限時間收斂的引信滾轉(zhuǎn)角控制方法

張雨薇，李 冰，祁克玉，2

(1.西安機電信息技術(shù)研究所,陜西 西安 710065；2.機電動態(tài)控制重點實驗室，陜西 西安 710065)

0 引言

新的戰(zhàn)場環(huán)境要求下，武器彈藥高速發(fā)展，不斷升級，炮彈的精確打擊能力，毀傷效率越來越受到重視[1]。二維彈道修正組件不僅提高了傳統(tǒng)“笨彈”的射擊精度，同時未對原本彈體外形和發(fā)射裝置進(jìn)行額外改動，可消耗原有庫存，效費比良好。目前國內(nèi)的二維彈道修正引信多采用精準(zhǔn)制導(dǎo)組件(PGK，precision guided kit)方案。

PGK方案采用軸承連接二維彈道修正引信頭部與彈體，修正彈飛行過程中差動安裝的導(dǎo)轉(zhuǎn)翼面使頭部與彈體發(fā)生相對旋轉(zhuǎn)運動；彈上根據(jù)實時預(yù)測落點給出修正翼面靜止的目標(biāo)角度，電機根據(jù)控制算法提供控制力矩使引信相對地面靜止，控制同向安裝的修正翼面停在期望滾轉(zhuǎn)角，產(chǎn)生不同方向的修正力和力矩[2]。

文獻(xiàn)[2]提出了一種基于模糊控制的滾轉(zhuǎn)角控制方法；但是該方法對系統(tǒng)模型的精確度依賴較高，工程應(yīng)用性較差。文獻(xiàn)[3]基于傳統(tǒng)PID控制提出了采用雙閉環(huán)的滾轉(zhuǎn)角控制算法，可以做到在1 s內(nèi)完成滾轉(zhuǎn)角的控制，誤差均值為3°左右；但是真實外彈道環(huán)境比較復(fù)雜，算法在實際使用上存在困難。文獻(xiàn)[4]通過偏差信號對PID參數(shù)自整定，研究了基于PID控制的專家系統(tǒng)控制算法，大大提高了響應(yīng)速度；但是滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)時超調(diào)量太大，不利于滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)的穩(wěn)定和可靠性。

本文針對滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)響應(yīng)要求的快速性和準(zhǔn)確性，基于滑?？刂频睦碚撨x取合適的趨近律，設(shè)計一種有限時間收斂的滾轉(zhuǎn)角控制方法。

1 滾轉(zhuǎn)角運動數(shù)學(xué)模型及有限收斂概念

1.1 滾轉(zhuǎn)角數(shù)學(xué)模型

對于二維彈道修正引信的PGK方案來說，軸承連接修正引信和彈體。發(fā)射后，彈體從彈尾看高速右旋，啟控前修正翼面在導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩的作用下右旋；啟控后，翼面在電機控制力矩的作用下相對地面靜止在期望的滾轉(zhuǎn)角。整個飛行過程中，二維彈道修正引信會受滾轉(zhuǎn)力矩、軸承摩擦力矩，滾轉(zhuǎn)阻尼力矩等的影響[5]。

因此，二維彈道修正引信滾轉(zhuǎn)角的數(shù)學(xué)微分方程組[5]如下所示：

(1)

式(1)中，Jx為引信部分極轉(zhuǎn)動慣量，ωx為引信部分滾轉(zhuǎn)角速率，γx為引信滾轉(zhuǎn)角，Me為電機的控制力矩，Mf為連接處的軸承摩擦力矩，MFx為導(dǎo)轉(zhuǎn)翼面產(chǎn)生的導(dǎo)轉(zhuǎn)力矩，MFxz為引信滾轉(zhuǎn)阻尼力矩。

1.2 有限時間收斂定義

針對滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)設(shè)計一定時間內(nèi)收斂的控制算法時，首要明確對于非線性系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定[6]的相關(guān)定義。

定義 考慮系統(tǒng)如下：

(2)

式(2)中，定義f(x,t)滿足f:U0×R→Rn于U0×R段連續(xù)，U0這里定義為原點的一個開鄰域。

如果系統(tǒng)在x=0(局部)時滿足有限時間收斂，是指考慮任意選取的t0當(dāng)作初始狀態(tài)，都一定能找到一個依賴于x0的停息時間T≥0，讓系統(tǒng)擁有一個有定義的以x0為初始狀態(tài)的解x(t0)=φ(t:t0,x0)(不一定是唯一解)，并且

(3)

在此情況下當(dāng)t∈[t0,T(x0)]時，滿足φ(t:t0，x0)∈U/{0}。

同時，對于系統(tǒng)的平衡點x=0(局部)滿足有限時間穩(wěn)定，指的是它首先是滿足李雅普諾夫穩(wěn)定的，同時在原點的一個鄰域U∈U0里是滿足有限時間收斂的[7]。若同時鄰域滿足U=Rn，那么原點就是滿足全局有限時間穩(wěn)定的平衡點[6]。同時存在如下引理。

系統(tǒng)停息時間的大小取決于初始值x(0)=x0，其上界為

(4)

引理3 如果存在一個系統(tǒng)同時滿足全局漸進(jìn)穩(wěn)定和局部有限時間收斂，那么這個系統(tǒng)是滿足全局有限時間穩(wěn)定的[7]。

2 有限時間收斂的滾轉(zhuǎn)角控制算法

對于采用PGK方案的滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)來說，控制的核心是對落點預(yù)測給出的期望滾轉(zhuǎn)角進(jìn)行迅速響應(yīng)并且翼面滾轉(zhuǎn)角速度盡快為0，保持翼面與地面的相對靜止，因此對整個滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)的可靠性和快速性提出要求。

目前工程應(yīng)用中考慮可靠性多采用PID經(jīng)典控制算法，但是傳統(tǒng)PID參數(shù)固定，對建模精確性要求高，不能很好適應(yīng)變化情況不固定的滾轉(zhuǎn)角指令，同時抗干擾能力較差。因此目前多采用專家系統(tǒng)、模糊控制等算法進(jìn)行優(yōu)化[8]。

基于滑模變結(jié)構(gòu)的理論和有限時間收斂的定義，設(shè)計一種二維彈道修正引信的滾轉(zhuǎn)角控制算法，同時結(jié)合引理對設(shè)計的有限時間收斂的滾轉(zhuǎn)角控制方法進(jìn)行證明。

2.1 變結(jié)構(gòu)算法

假設(shè)期望的翼面滾轉(zhuǎn)角為γf，設(shè)置狀態(tài)變量為x=ωx,期望設(shè)計的算法同時滿足對滾轉(zhuǎn)角的精確控制和滾轉(zhuǎn)角速度的快速響應(yīng)，因此考慮構(gòu)造如下的方程當(dāng)作滑模面：

S=c1|γ-γf|c2sgn(γ-γf)+x，

(5)

式(5)中，00，對式(5)進(jìn)行求導(dǎo)后，可得

(6)

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7)得

(8)

由滾轉(zhuǎn)角的微分方程組可以得到

(9)

因此，將式(9)代入式(8)，經(jīng)過整理可得，PGK方案所需要的電機控制力矩大小為

(10)

對式(10)在進(jìn)行仿真的時候，還可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q與化簡，r=r1-V(t-t1)。為了降低抖動，可以將符號函數(shù)sgn換成S/|S|+δ的形式來平滑，δ取一個很小的正數(shù)。

2.2 有限時間收斂分析

需要從趨近滑模面的運動和沿著滑模面的運動兩個方面來證明所設(shè)計的滾轉(zhuǎn)角控制算法滿足有限時間內(nèi)收斂的定義。

首先證明所設(shè)計的控制算法能夠在一定時間內(nèi)到達(dá)所設(shè)計的滑模面。

選取李雅普諾夫函數(shù)V=S2，進(jìn)行求導(dǎo)后，可以得到

(11)

從李雅普諾夫函數(shù)的相關(guān)定理，可以判斷所設(shè)計的滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)是符合漸進(jìn)穩(wěn)定的相關(guān)定義，也就是有限收斂的。通過整理設(shè)計的李雅普諾夫函數(shù)可得

(12)

根據(jù)上述條件，可得對于下降段的任意t>0時，

(13)

通過引理1可以得到，所設(shè)計的滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)是可以在有限時間內(nèi)到達(dá)所設(shè)計的滑模面，考慮具體的時間上界

(14)

接下來證明當(dāng)二維彈道修正引信的滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)到達(dá)滑模面以后，沿著滑模面的運動階段是否能滿足有限時間收斂。因為此時滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)已經(jīng)位于S面上，因此有

S=c1|γ-γf|c2sgn(γ-γf)+x=0。

(15)

代入滾轉(zhuǎn)角系統(tǒng)微分方程，整理可得

(γ-γf)′=-c1|γ-γf|c2sgn(γ-γf)。

(16)

對式(16)，選取Lyapunov函數(shù)V1=(γ-γf)2。

對函數(shù)求導(dǎo)后有

(17)

可以得到

V1=-2c1V′0.5(c2+1)≤0。

(18)

所設(shè)計的二維彈道修正引信的滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)滿足引理1的條件，因此系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。即當(dāng)t→∞的時候，這個系統(tǒng)的狀態(tài)變量x→0，即二維彈道修正引信部分的滾轉(zhuǎn)角速率收斂為0，修正引信的滾轉(zhuǎn)角會無限接近于所設(shè)置的期望滾轉(zhuǎn)角。

通過對兩個方面的證明推理，根據(jù)引理3可知，設(shè)計的有限時間收斂的滑模滾轉(zhuǎn)角控制方法是全局有限時間穩(wěn)定的。最后收斂總共用時T≤T1+T2(估計)。

通過對算法的有限時間穩(wěn)定性分析表明，所設(shè)計的滾轉(zhuǎn)角控制算法能夠在有限時間內(nèi)保證滾轉(zhuǎn)角速率快速收斂到0，并收斂到期望的滾轉(zhuǎn)角，系統(tǒng)具有一定的魯棒性。

3 仿真驗證

對所提出的滾轉(zhuǎn)角控制方法進(jìn)行仿真驗證。仿真時考慮摩擦力矩估計誤差、滾轉(zhuǎn)角測量誤差、滾轉(zhuǎn)角速度測量誤差等誤差源，如表1所示。

表1 滾轉(zhuǎn)角控制算法仿真誤差源Tab.1 Simulation error resources of roll angle control system

假設(shè)引信滾轉(zhuǎn)角初始位置為0°，設(shè)計引信目標(biāo)滾轉(zhuǎn)信號分別為90°，180°，仿真步長0.001 s，分別用傳統(tǒng)PID滾轉(zhuǎn)角控制和所設(shè)計的滾轉(zhuǎn)角控制算法進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖1—圖4所示。

圖1 2種算法90°滾轉(zhuǎn)角控制效果對比圖Fig.1 two algorithmic control effect with Step response of 90°roll angle

圖2 2種算法90°滾轉(zhuǎn)角速度對比圖Fig.2 two algorithmic control effect with Step response of 90°roll angle velocity

圖3 2種算法180°滾轉(zhuǎn)角控制效果對比圖Fig.3 two algorithmic control effect with Step response of 180°roll angle

圖4 2種算法180°滾轉(zhuǎn)角速度對比圖Fig.4 two algorithmic control effect with Step response of 180°roll angle velocity

由圖1—圖4可知，單純采用PID控制的方案滾轉(zhuǎn)角誤差均值為4.21°，誤差均方差為0.94°；采用本文所設(shè)計的控制律進(jìn)行仿真后，滾轉(zhuǎn)角誤差均值為0.68°，誤差均方差為0.43°，控制精度明顯提高。引信的滾轉(zhuǎn)角速度能夠0.3 s內(nèi)迅速靜止且制動到目標(biāo)位置，滿足估計時間上界，與不進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化的PID方法比較，在對滾轉(zhuǎn)角的響應(yīng)速度、控制精度以及對建模精準(zhǔn)度的要求上都具有優(yōu)勢。

因此，本文設(shè)計的二維彈道修正引信的滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)對干擾具有強魯棒性，且響應(yīng)更迅速，控制精度更高。

4 結(jié)論

本文針對滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)響應(yīng)要求的快速性和準(zhǔn)確性，基于滑模變結(jié)構(gòu)的理論，利用系統(tǒng)有限時間收斂的概念，設(shè)計了一種用于二維彈道修正引信的有限時間收斂滾轉(zhuǎn)角控制算法，對傳統(tǒng)PID控制系統(tǒng)進(jìn)行了優(yōu)化。仿真驗證表明，所設(shè)計的滾轉(zhuǎn)角控制系統(tǒng)能夠在短時間內(nèi)定位滾轉(zhuǎn)角，提高控制精度，并且系統(tǒng)具有一定的魯棒性。