非圓行星齒輪液壓馬達三維參數(shù)化建模方法

史 諾，劉 瓊，李 琦，李 寬

(1.西安航空學(xué)院 機械工程學(xué)院，西安 710077；2.西安航空學(xué)院 計算機學(xué)院，西安 710077)

1 引言

液壓馬達是一種將流體壓力能轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)機械能的動力設(shè)備，廣泛應(yīng)用于兵器裝備領(lǐng)域[1-2]。相對于柱塞式、葉片式、擺缸式等類型的液壓馬達，非圓行星齒輪液壓馬達在體積、質(zhì)量、抗油液污染等方面具有顯著優(yōu)勢，其核心是一個無系桿、變中心距的非圓行星齒輪機構(gòu)[3]。非圓行星齒輪機構(gòu)的特殊結(jié)構(gòu)在設(shè)計過程中受到諸多約束條件的限制，齒廓的生成是設(shè)計難點之一[4]。

目前關(guān)于非圓齒輪齒廓設(shè)計的方法主要有2種，數(shù)值計算方法和范成仿真方法。數(shù)值計算方法是以共軛嚙合原理或運動關(guān)系為基礎(chǔ)計算齒廓坐標的方法，鄭方焱等[5]利用節(jié)曲線的法向量，提出了一種非圓齒輪齒廓的通用算法；劉永平等[6]計算了橢圓齒輪齒廓法線長度從而得出齒廓點坐標數(shù)據(jù)；牛子孺等[7]構(gòu)建變比齒廓數(shù)字求解模型，將數(shù)據(jù)點云擬合后獲得變比齒條的齒廓；Li Botao等[8]提出了一種基于Jarvis-March的非圓齒輪齒廓數(shù)值計算方法。范成仿真法是從非圓齒輪的加工原理出發(fā)，模擬刀具與齒輪毛坯之間的范成運動，再通過布爾運算求得非圓齒輪齒廓實體的方法，俞高紅等[9]針對共軛凹凸型非圓齒輪，在Pro/E軟件中以主動輪做刀具、從動輪做毛坯生成了從動輪齒廓；丁國龍等[10]在SolidWorks中模擬了齒條刀具對齒扇毛坯的加工過程，實現(xiàn)了非圓齒扇的齒廓設(shè)計；Hu Jian等[11]在CATIA中開發(fā)宏程序，進行了切削過程的仿真，獲得變速比齒輪副的齒廓。

數(shù)值計算方法的精度高，但是設(shè)計算法的難度較大，在工程實際中不易推廣；范成仿真法需要對三維軟件進行二次開發(fā)，程序編制復(fù)雜，且會對齒坯形成切除痕跡，導(dǎo)致齒廓的精確度不理想，但是范成仿真法生成齒廓的過程直觀簡捷，若能直接采用合理的方法避免程序編制，同時對齒廓曲線進行光順，就能夠突破范成仿真法的局限性。本研究在分析非圓齒輪范成加工的基礎(chǔ)上，考慮磨削加工提高輪齒精度的原理，綜合應(yīng)用計算機圖形學(xué)中包絡(luò)圖形繪制以及圖像平滑技術(shù)生成齒廓，旨在能夠高效精準地生成非圓齒輪行星輪系，為非圓齒輪液壓馬達的研究提供技術(shù)支撐。

2 非圓齒輪制造過程分析

2.1 范成加工分析

范成法加工齒輪的基本原理是保持刀具和齒輪毛坯之間按無側(cè)隙嚙合的運動關(guān)系來進行切齒的[12-13]，插齒切削是常見的范成加工方法，針對插齒切削的過程進行分析。

非圓齒輪的插齒切削過程是由切削主運動、徑向進給運動、分齒展成運動合成得到的，如圖1(a)所示，插齒刀在非圓齒輪毛坯的軸線方向上做直線往復(fù)運動，輔助讓刀運動，形成切削主運動；在切削主運動過程中，為了達到全齒深度，在徑向方向，插齒刀需做進給運動；非圓齒輪毛坯每自轉(zhuǎn)一個角度，則插齒刀必須回轉(zhuǎn)相應(yīng)的角度，產(chǎn)生分齒展成運動。非圓齒輪的齒廓就是由插齒刀多次切削后所形成的，如圖1(b)所示。插齒加工過程中可以簡化為插齒刀節(jié)圓與非圓齒輪節(jié)曲線進行純滾動，在純滾動過程中，插齒刀在非圓齒輪毛坯上插制出待加工的齒廓形狀，這個過程與計算機圖形學(xué)中的包絡(luò)極為相似。

圖1 非圓齒輪插齒加工示意圖Fig.1 Schematic diagram of non-circular pinion machining

根據(jù)齊次坐標變換方法分析包絡(luò)過程。非圓齒輪液壓馬達中的行星齒輪機構(gòu)，是由太陽輪、內(nèi)齒圈和行星輪構(gòu)成，其中太陽輪、內(nèi)齒圈為非圓齒輪。如圖2(a)所示，以太陽輪毛坯中心為原點建立空間固定坐標系S-Oxy，以插齒刀中心為原點建立坐標系Sd-Odxdyd、Sp-Opxpyp，其中Sp-Opxpyp與插齒刀固連，在插齒刀自轉(zhuǎn)的過程中，Sp-Opxpyp隨之旋轉(zhuǎn)，Sd-Odxdyd是隨動坐標系，其xd軸、yd軸一直與S-Oxy的x軸、y軸平行。插齒刀沿太陽輪節(jié)曲線的逆時針方向滾動，在初始位置1處，Sd-Odxdyd、Sp-Opxpyp完全重合，當插齒刀由初始位置1滾動至位置2時，Sp-Opxpyp相對于Sd-Odxdyd轉(zhuǎn)過了φ角。插齒刀齒廓是由建立在Sp-Opxpyp下的方程決定的，將Sp-Opxpyp下的坐標旋轉(zhuǎn)φ角可得到Sd-Odxdyd下的坐標，表示為

(1)

將Sd-Odxdyd下的坐標平移可得到S-Oxy下的坐標，假設(shè)O1點在S-Oxy中的坐標為(xd,yd)，表示為

(2)

則插齒刀齒廓在Sp-Opxpyp下的坐標(xp,yp)經(jīng)過2次變換矩陣可轉(zhuǎn)換為S-Oxy下的坐標(x,y)，表示為

(3)

每前進一個步進角φ，計算一次插齒刀齒廓在S-Oxy下的坐標，將每一個計算步的圖形疊加在一起形成非圓齒輪齒廓的包絡(luò)圖形，步進角φ越小，則包絡(luò)的精度越高。

根據(jù)式(3)可知，獲得包絡(luò)圖需要明晰Od點在S-Oxy中的坐標(xd,yd)以及插齒刀齒廓在Sp-Opxpyp下的坐標 (xp,yp)。動點Od形成了插齒刀中心軌跡，插齒刀中心軌跡是太陽輪節(jié)曲線的法向等距線，獲得太陽輪的節(jié)曲線就可得到(xd,yd)，對于插齒刀齒廓坐標(xp,yp)而言，構(gòu)建齒廓方程即可獲得。對于內(nèi)齒圈而言，包絡(luò)圖形的獲取途徑與太陽輪相同，如圖2(b)所示。

圖2 非圓齒輪齒廓包絡(luò)線形成原理Fig.2 Forming principle of tooth profile envelope of non-circular gear

2.2 磨削加工分析

插齒加工完成后，為了提高齒輪精度和齒面粗糙度，可以對齒形進行精加工，利用砂輪磨削輪齒是一種代表性的精加工方法。非圓齒輪的磨削可以采用多軸聯(lián)動的方式進行，如圖3所示，砂輪繞著自身的軸線高速旋轉(zhuǎn)，并沿著齒寬方向往復(fù)移動，形成磨削的主運動；非圓齒輪在水平面上的兩個方向平移，保持齒廓與砂輪的相切，完成展成運動；磨削完一個齒槽后，非圓齒輪旋轉(zhuǎn)一定的角度，將砂輪切換到下一個齒槽中，實現(xiàn)分度運動。非圓齒輪的磨削過程復(fù)雜，若采用齊次坐標變換方法模擬磨削過程來優(yōu)化齒廓的方法效率較低，可以更換思路，從磨削原理出發(fā)來探索齒廓優(yōu)化的方法。

圖3 非圓齒輪磨削示意圖Fig.3 Schematic diagram of grinding non-circular gear

磨削是砂輪磨粒對齒面擠壓、刻劃、切削、摩擦拋光的綜合作用，從垂直于軸線的平面上來看，磨削的本質(zhì)是將范成加工在齒廓上形成的大量微線段進行了平滑處理。在計算機圖形學(xué)中，非均勻有理B樣條(NURBS)是曲線造型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，其表達式為：

(4)

式中：Bi,k(u)為k次B樣條基函數(shù)；Wi為權(quán)重系數(shù)；V1為控制頂點。

從包絡(luò)圖形中提取的非圓齒輪齒廓存在多段微小的NURBS曲線，造成了齒廓曲率的不連續(xù)，在給定誤差的條件下，通過導(dǎo)入或創(chuàng)建的型值點來插值曲線，把分段曲線連接成光順相切的曲線，從而提高齒廓精度，改善傳動質(zhì)量。

3 三維數(shù)字化建模過程

3.1 包絡(luò)圖形的繪制

3.1.1節(jié)曲線的數(shù)值計算

太陽輪節(jié)曲線邊數(shù)是n1，內(nèi)齒圈的節(jié)曲線邊數(shù)是n3，一般采用的組合有2-3型、2-4型、3-4型、3-5型、4-5型、4-6型、5-6型、5-7型等[14]，以4-6型為例進行計算，即太陽輪節(jié)曲線的邊數(shù)是4、內(nèi)齒圈的節(jié)曲線邊數(shù)是6。太陽輪齒數(shù)z1、行星輪齒數(shù)z2、內(nèi)齒圈齒數(shù)z3之間的關(guān)系為：

(5)

10≤z2<0.5(z3-z1)

(6)

計算得到的非圓行星齒輪機構(gòu)基本參數(shù)如表1所示。

表1 非圓行星齒輪機構(gòu)基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of non-circular planetary gear mechanism

非圓行星輪系的基本運動關(guān)系如圖4所示，r1、r2、r3分別是太陽輪節(jié)曲線、行星輪節(jié)圓、內(nèi)齒圈節(jié)曲線對應(yīng)的向徑，θ1、θ3分別是太陽輪、內(nèi)齒圈所對應(yīng)的極角，ω1、ω2、ω3分別是太陽輪、行星輪、內(nèi)齒圈所對應(yīng)的瞬時角速度，e、f分別是行星輪節(jié)圓與太陽輪節(jié)曲線、內(nèi)齒圈節(jié)曲線的切點，μ1是m點處太陽輪節(jié)曲線切向的正方向與向徑r1的夾角，μ2是m點處內(nèi)齒圈節(jié)曲線切向的正方向與向徑r3的夾角。在非圓行星輪系當中，行星輪與太陽輪嚙合時的節(jié)圓，和行星輪與內(nèi)齒圈嚙合時的節(jié)圓可以是不同的，若如圖4所示的2個節(jié)圓是同一個圓時，μ1、μ2相等。

圖4 基本運動關(guān)系Fig.4 Basic motion relationship

太陽輪的節(jié)曲線是高階橢圓齒輪，其節(jié)曲線方程為：

(7)

式中：k為偏心率；θ1為極角；A為長軸半徑。太陽輪與內(nèi)齒圈的節(jié)曲線封閉條件為：

(8)

由微分幾何可知：

(9)

太陽輪與內(nèi)齒圈的輪齒均布條件為：

(10)

根據(jù)非圓行星輪系的基本運動關(guān)系，內(nèi)齒圈的節(jié)曲線方程為：

(11)

非圓行星齒輪機構(gòu)在運行過程中不產(chǎn)生運動干涉的條件為：

一般情況下，使用壽命較長的溫室，頂部覆蓋材料是5 mm的鋼化玻璃，四周采用的是（5+6+5）mm的中空玻璃，隔墻使用5 mm的鋼化玻璃。鋼化玻璃的透光率要在85%以上，才能符合溫室玻璃質(zhì)量要求。溫室的玻璃都是用專門的鋁合金材料固定在一起，鋁合金和玻璃之間的密封膠條則是采用的專業(yè)抗老化、密封性極好的橡膠條。

r3min≥r1max+2ha

(12)

聯(lián)立方程(7)～式(10)計算太陽輪節(jié)曲線數(shù)據(jù)，再通過方程式(11)求出內(nèi)齒圈節(jié)曲線數(shù)據(jù)，代入方程式(12)中進行校驗，得到節(jié)曲線的數(shù)值解，將節(jié)曲線的數(shù)值導(dǎo)入UG NX中，采用三次樣條曲線進行擬合，得到的太陽輪、內(nèi)齒圈節(jié)曲線如圖5所示。

圖5 太陽輪、內(nèi)齒圈節(jié)曲線Fig.5 Pitch curve of a sun wheel and its annulargear

3.1.2插齒刀齒廓的確定

漸開線齒形是非圓齒輪最常見的齒形，但是漸開線齒廓在齒根處采用過渡圓角，受載時彎曲應(yīng)力較大，為了提高非圓齒輪的嚙合傳動性能，近年來出現(xiàn)了很多新型齒廓形式。正弦曲線的上半部分為凸曲線，下半部分為凹曲線，且具有一定程度的可分性，符合齒條輪廓的基本要求[15]，如圖6(a)所示。以正弦曲線作為齒廓的齒條刀具生成的齒輪具有較高的彎曲強度，本研究中嘗試采用正弦曲線齒廓的插齒刀形成非圓齒輪的實體模型，由于內(nèi)齒圈無法采用齒條型刀具進行加工，因此將正弦曲線環(huán)形折彎后變成圓柱型插齒刀具，如圖6(b)所示。

圖6 插齒刀齒廓Fig.6 Profile of a gear shaper

在坐標系S3-O3x3y3中繪制正弦線，其方程為

y3=hsin(bx3)

(12)

式中:h為正弦線的振幅，也即插齒刀的齒頂(根)高，mm，取值為2.5；b為常數(shù)，取值為1。

將橫軸x3繞成一個圓，形成插齒刀節(jié)圓，則插齒刀的一個齒距是一個完整的正弦線周期，在坐標系S1-O1x1y1下，插齒刀的齒廓方程為：

(13)

式中：m0為插齒刀的模數(shù)，mm，取值為2；z0為插齒刀的齒數(shù)，取值為10；t為變量，變化范圍為0～1。

3.1.3包絡(luò)過程的實現(xiàn)

在建模模塊中，將太陽輪的節(jié)曲線偏移一個齒頂高的距離形成齒頂曲線并進行拉伸，形成太陽輪齒坯實體；對于插齒刀齒廓圖形同樣進行拉伸操作，形成插齒刀實體。

在裝配模塊中，調(diào)入太陽輪齒坯實體與插齒刀實體，選擇合理的切削起始位置，將兩者進行裝配，特別需要注意的是插齒刀節(jié)圓需要與太陽輪節(jié)曲線相切。此外，還需要在裝配模塊中用草圖方式創(chuàng)建一個輔助連桿，便于在范成過程中控制插齒刀的運動。

在運動仿真模塊中，將裝配好的模型按照定義運動體—建立運動副—創(chuàng)設(shè)約束—添加追蹤—計算求解的步驟進行。建立運動副與創(chuàng)設(shè)約束是其中的關(guān)鍵步驟，不僅需要在輔助連桿上施加旋轉(zhuǎn)副，而且需要在插齒刀節(jié)圓與太陽輪節(jié)曲線設(shè)置線在線上副，在插齒刀節(jié)圓圓心與輔助連桿之間設(shè)置點在線上副。在計算過程中，系統(tǒng)追蹤每一個計算步得到的插齒刀位置，并進行備份，形成了內(nèi)齒圈齒廓的包絡(luò)圖形。綜合考慮齒廓精度與計算機的運算能力，設(shè)置計算步為300，內(nèi)齒圈的范成仿真計算結(jié)果如圖7所示。

圖7 太陽輪的包絡(luò)圖Fig.7 Envelope diagram of sun wheel

內(nèi)齒圈的范成過程與太陽輪相同，仿真計算結(jié)果如圖8所示。

圖8 內(nèi)齒圈的包絡(luò)圖Fig.8 Envelope diagram of annulargear

3.2 齒廓曲線的光順

依據(jù)計算機圖形學(xué)中的圖像平滑原理，進行齒廓曲線的光順。利用提升體命令生成的內(nèi)齒圈及太陽輪實體模型上存在范成過程仿真形成的切削痕跡，在UG NX軟件平臺上，無法直接對齒廓曲面進行優(yōu)化，因此將太陽輪、內(nèi)齒圈進行正投影，得到齒廓曲線，通過對齒廓曲線的優(yōu)化來達到的目的，正投影效果如圖9所示。

圖9 正投影效果Fig.9 Positive projection effect

采用光順曲線串的命令來處理齒廓曲線，光順曲線串是光順樣條+連結(jié)曲線+曲率圓角的組合體命令，通過對角度閾值、距離閾值的控制，使NURBS曲線二階連續(xù)。對齒廓曲線光順后，得到優(yōu)化后的齒廓曲線，如圖10所示，與光順之前的齒廓曲線進行對比，可以明顯看出，范成后形成的齒廓曲線上存在局部曲率的驟增或驟降現(xiàn)象，表面形貌上有明顯的接茬，而優(yōu)化后的齒廓曲線避免了曲率的急劇過渡和突然變化，將優(yōu)化后的齒廓曲線拉伸后得到的曲面比較光滑，表面質(zhì)量得到顯著改善。

圖10 齒廓光順效果Fig.10 Smoothing effect of gear tooth profile

4 仿真驗證

行星輪的齒廓與插齒刀相同，只是齒全高存在變化，將插齒刀的齒頂去除一部分即可實現(xiàn)行星輪的三維模型創(chuàng)建。將內(nèi)齒圈、太陽輪、行星輪進行裝配，形成非圓齒輪行星輪系。

在UG NX軟件平臺中設(shè)置行星輪與太陽輪之間、行星輪與內(nèi)齒圈之間的運動關(guān)系為3D接觸，令內(nèi)齒圈靜止不動，太陽輪的角速度為120(°)/s，模擬非圓齒輪行星輪系的運行過程。行星輪與太陽輪、內(nèi)齒圈組成密閉腔容積每變化一個周期，太陽輪的轉(zhuǎn)動角為：

(14)

在當前的結(jié)構(gòu)條件和仿真條件下，太陽輪的轉(zhuǎn)動角為150°，密閉腔容積的變化周期為1.25 s。以行星輪1、2為觀察對象，如圖11所示，可以明顯看出行星輪1、2與太陽輪、內(nèi)齒圈組成封閉區(qū)域面積不斷發(fā)生變化，對封閉區(qū)域面積進行測量，測量結(jié)果如圖12所示，0 s時封閉區(qū)域面積為320.65 mm2，在運行過程中封閉區(qū)域面積從大變小，再從小到大，到達頂峰后又開始回落，1.25 s時封閉區(qū)域面積又回到了0 s時的初始狀態(tài)，以此循環(huán)往復(fù)，這種現(xiàn)象與非圓齒輪液壓馬達的工作過程是相同的。

圖11 非圓齒輪行星輪系運行過程Fig.11 Operating process of planetary gear train with non-circular gears

圖12 封閉區(qū)域面積Fig.12 Area of enclosed area

太陽輪旋轉(zhuǎn)1周，封閉區(qū)域面積的變化次數(shù)為：

(15)

為了分析整周期條件下的行星輪運動規(guī)律，令太陽輪旋轉(zhuǎn)2.5周，即設(shè)置仿真時間為7.5 s，在仿真運行過程中，行星輪與太陽輪及內(nèi)齒圈的輪齒逐一嚙合，沒有干涉現(xiàn)象的發(fā)生，輸出角速度曲線進行分析，如圖13所示，行星輪的角速度呈現(xiàn)出明顯的周期性變化，根據(jù)基本運動關(guān)系，行星輪角速度ω2與太陽輪角速度ω1之間存在關(guān)系式：

圖13 行星輪與太陽輪的角速度Fig.13 Angular velocity of planetary and solar wheels

(16)

式中，角度α1、α′的幾何意義在圖4中標出。

將行星輪的角速度曲線與式(16)進行對比，其變化趨勢與理論分析是一致的，但是行星輪角速度曲線存在一定程度的波動，造成這種現(xiàn)象的原因主要有2個，一是輪齒嚙合的動態(tài)激勵，二是非圓齒輪的變速運動特性形成的振動脈沖，存在角速度的波動屬于齒輪傳動過程中的正?，F(xiàn)象。

5 結(jié)論

1) 以非圓齒輪的范成加工過程為理論依據(jù)，利用UG NX軟件平臺的運動仿真功能實現(xiàn)太陽輪、內(nèi)齒圈的插齒包絡(luò)圖形繪制，在此基礎(chǔ)上根據(jù)磨削加工原理，采用計算機圖形學(xué)中的圖像平滑方法光順曲線串可以消除插齒切削痕跡，提高齒廓質(zhì)量。

2) 4-6型非圓行星齒輪機構(gòu)在太陽輪齒數(shù)為44、行星輪齒數(shù)為10、內(nèi)齒圈齒數(shù)為66、齒輪模數(shù)為2 mm的結(jié)構(gòu)條件下，令太陽輪的角速度為120(°)/s進行仿真計算，計算結(jié)果表明2個行星輪與太陽輪、內(nèi)齒圈之間的封閉區(qū)域面積在0 s時為320.65 mm2，在運行過程中封閉區(qū)域面積從大變小，再從小到大，1.25 s時又回到了初始狀態(tài)，以此循環(huán)往復(fù)，且行星輪角速度呈現(xiàn)出明顯的周期性變化，與非圓齒輪液壓馬達的運行情況相符。

3) 使用運動仿真與光順曲線串的功能生成齒廓的過程直觀、結(jié)果準確，更換節(jié)曲線數(shù)據(jù)及插齒刀齒廓方程后，即可生成不同規(guī)格、不同類型的非圓齒輪行星輪系，可快速實現(xiàn)系列化、變異化設(shè)計，為非圓齒輪液壓馬達的設(shè)計提供一種新的思路與實施途徑。