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    非圓行星齒輪液壓馬達三維參數(shù)化建模方法

    2023-03-02 02:17:16諾,劉瓊,李琦,李
    兵器裝備工程學(xué)報 2023年2期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)齒圈光順齒廓

    史 諾,劉 瓊,李 琦,李 寬

    (1.西安航空學(xué)院 機械工程學(xué)院,西安 710077;2.西安航空學(xué)院 計算機學(xué)院,西安 710077)

    1 引言

    液壓馬達是一種將流體壓力能轉(zhuǎn)化為旋轉(zhuǎn)機械能的動力設(shè)備,廣泛應(yīng)用于兵器裝備領(lǐng)域[1-2]。相對于柱塞式、葉片式、擺缸式等類型的液壓馬達,非圓行星齒輪液壓馬達在體積、質(zhì)量、抗油液污染等方面具有顯著優(yōu)勢,其核心是一個無系桿、變中心距的非圓行星齒輪機構(gòu)[3]。非圓行星齒輪機構(gòu)的特殊結(jié)構(gòu)在設(shè)計過程中受到諸多約束條件的限制,齒廓的生成是設(shè)計難點之一[4]。

    目前關(guān)于非圓齒輪齒廓設(shè)計的方法主要有2種,數(shù)值計算方法和范成仿真方法。數(shù)值計算方法是以共軛嚙合原理或運動關(guān)系為基礎(chǔ)計算齒廓坐標的方法,鄭方焱等[5]利用節(jié)曲線的法向量,提出了一種非圓齒輪齒廓的通用算法;劉永平等[6]計算了橢圓齒輪齒廓法線長度從而得出齒廓點坐標數(shù)據(jù);牛子孺等[7]構(gòu)建變比齒廓數(shù)字求解模型,將數(shù)據(jù)點云擬合后獲得變比齒條的齒廓;Li Botao等[8]提出了一種基于Jarvis-March的非圓齒輪齒廓數(shù)值計算方法。范成仿真法是從非圓齒輪的加工原理出發(fā),模擬刀具與齒輪毛坯之間的范成運動,再通過布爾運算求得非圓齒輪齒廓實體的方法,俞高紅等[9]針對共軛凹凸型非圓齒輪,在Pro/E軟件中以主動輪做刀具、從動輪做毛坯生成了從動輪齒廓;丁國龍等[10]在SolidWorks中模擬了齒條刀具對齒扇毛坯的加工過程,實現(xiàn)了非圓齒扇的齒廓設(shè)計;Hu Jian等[11]在CATIA中開發(fā)宏程序,進行了切削過程的仿真,獲得變速比齒輪副的齒廓。

    數(shù)值計算方法的精度高,但是設(shè)計算法的難度較大,在工程實際中不易推廣;范成仿真法需要對三維軟件進行二次開發(fā),程序編制復(fù)雜,且會對齒坯形成切除痕跡,導(dǎo)致齒廓的精確度不理想,但是范成仿真法生成齒廓的過程直觀簡捷,若能直接采用合理的方法避免程序編制,同時對齒廓曲線進行光順,就能夠突破范成仿真法的局限性。本研究在分析非圓齒輪范成加工的基礎(chǔ)上,考慮磨削加工提高輪齒精度的原理,綜合應(yīng)用計算機圖形學(xué)中包絡(luò)圖形繪制以及圖像平滑技術(shù)生成齒廓,旨在能夠高效精準地生成非圓齒輪行星輪系,為非圓齒輪液壓馬達的研究提供技術(shù)支撐。

    2 非圓齒輪制造過程分析

    2.1 范成加工分析

    范成法加工齒輪的基本原理是保持刀具和齒輪毛坯之間按無側(cè)隙嚙合的運動關(guān)系來進行切齒的[12-13],插齒切削是常見的范成加工方法,針對插齒切削的過程進行分析。

    非圓齒輪的插齒切削過程是由切削主運動、徑向進給運動、分齒展成運動合成得到的,如圖1(a)所示,插齒刀在非圓齒輪毛坯的軸線方向上做直線往復(fù)運動,輔助讓刀運動,形成切削主運動;在切削主運動過程中,為了達到全齒深度,在徑向方向,插齒刀需做進給運動;非圓齒輪毛坯每自轉(zhuǎn)一個角度,則插齒刀必須回轉(zhuǎn)相應(yīng)的角度,產(chǎn)生分齒展成運動。非圓齒輪的齒廓就是由插齒刀多次切削后所形成的,如圖1(b)所示。插齒加工過程中可以簡化為插齒刀節(jié)圓與非圓齒輪節(jié)曲線進行純滾動,在純滾動過程中,插齒刀在非圓齒輪毛坯上插制出待加工的齒廓形狀,這個過程與計算機圖形學(xué)中的包絡(luò)極為相似。

    圖1 非圓齒輪插齒加工示意圖Fig.1 Schematic diagram of non-circular pinion machining

    根據(jù)齊次坐標變換方法分析包絡(luò)過程。非圓齒輪液壓馬達中的行星齒輪機構(gòu),是由太陽輪、內(nèi)齒圈和行星輪構(gòu)成,其中太陽輪、內(nèi)齒圈為非圓齒輪。如圖2(a)所示,以太陽輪毛坯中心為原點建立空間固定坐標系S-Oxy,以插齒刀中心為原點建立坐標系Sd-Odxdyd、Sp-Opxpyp,其中Sp-Opxpyp與插齒刀固連,在插齒刀自轉(zhuǎn)的過程中,Sp-Opxpyp隨之旋轉(zhuǎn),Sd-Odxdyd是隨動坐標系,其xd軸、yd軸一直與S-Oxy的x軸、y軸平行。插齒刀沿太陽輪節(jié)曲線的逆時針方向滾動,在初始位置1處,Sd-Odxdyd、Sp-Opxpyp完全重合,當插齒刀由初始位置1滾動至位置2時,Sp-Opxpyp相對于Sd-Odxdyd轉(zhuǎn)過了φ角。插齒刀齒廓是由建立在Sp-Opxpyp下的方程決定的,將Sp-Opxpyp下的坐標旋轉(zhuǎn)φ角可得到Sd-Odxdyd下的坐標,表示為

    (1)

    將Sd-Odxdyd下的坐標平移可得到S-Oxy下的坐標,假設(shè)O1點在S-Oxy中的坐標為(xd,yd),表示為

    (2)

    則插齒刀齒廓在Sp-Opxpyp下的坐標(xp,yp)經(jīng)過2次變換矩陣可轉(zhuǎn)換為S-Oxy下的坐標(x,y),表示為

    (3)

    每前進一個步進角φ,計算一次插齒刀齒廓在S-Oxy下的坐標,將每一個計算步的圖形疊加在一起形成非圓齒輪齒廓的包絡(luò)圖形,步進角φ越小,則包絡(luò)的精度越高。

    根據(jù)式(3)可知,獲得包絡(luò)圖需要明晰Od點在S-Oxy中的坐標(xd,yd)以及插齒刀齒廓在Sp-Opxpyp下的坐標 (xp,yp)。動點Od形成了插齒刀中心軌跡,插齒刀中心軌跡是太陽輪節(jié)曲線的法向等距線,獲得太陽輪的節(jié)曲線就可得到(xd,yd),對于插齒刀齒廓坐標(xp,yp)而言,構(gòu)建齒廓方程即可獲得。對于內(nèi)齒圈而言,包絡(luò)圖形的獲取途徑與太陽輪相同,如圖2(b)所示。

    圖2 非圓齒輪齒廓包絡(luò)線形成原理Fig.2 Forming principle of tooth profile envelope of non-circular gear

    2.2 磨削加工分析

    插齒加工完成后,為了提高齒輪精度和齒面粗糙度,可以對齒形進行精加工,利用砂輪磨削輪齒是一種代表性的精加工方法。非圓齒輪的磨削可以采用多軸聯(lián)動的方式進行,如圖3所示,砂輪繞著自身的軸線高速旋轉(zhuǎn),并沿著齒寬方向往復(fù)移動,形成磨削的主運動;非圓齒輪在水平面上的兩個方向平移,保持齒廓與砂輪的相切,完成展成運動;磨削完一個齒槽后,非圓齒輪旋轉(zhuǎn)一定的角度,將砂輪切換到下一個齒槽中,實現(xiàn)分度運動。非圓齒輪的磨削過程復(fù)雜,若采用齊次坐標變換方法模擬磨削過程來優(yōu)化齒廓的方法效率較低,可以更換思路,從磨削原理出發(fā)來探索齒廓優(yōu)化的方法。

    圖3 非圓齒輪磨削示意圖Fig.3 Schematic diagram of grinding non-circular gear

    磨削是砂輪磨粒對齒面擠壓、刻劃、切削、摩擦拋光的綜合作用,從垂直于軸線的平面上來看,磨削的本質(zhì)是將范成加工在齒廓上形成的大量微線段進行了平滑處理。在計算機圖形學(xué)中,非均勻有理B樣條(NURBS)是曲線造型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),其表達式為:

    (4)

    式中:Bi,k(u)為k次B樣條基函數(shù);Wi為權(quán)重系數(shù);V1為控制頂點。

    從包絡(luò)圖形中提取的非圓齒輪齒廓存在多段微小的NURBS曲線,造成了齒廓曲率的不連續(xù),在給定誤差的條件下,通過導(dǎo)入或創(chuàng)建的型值點來插值曲線,把分段曲線連接成光順相切的曲線,從而提高齒廓精度,改善傳動質(zhì)量。

    3 三維數(shù)字化建模過程

    3.1 包絡(luò)圖形的繪制

    3.1.1節(jié)曲線的數(shù)值計算

    太陽輪節(jié)曲線邊數(shù)是n1,內(nèi)齒圈的節(jié)曲線邊數(shù)是n3,一般采用的組合有2-3型、2-4型、3-4型、3-5型、4-5型、4-6型、5-6型、5-7型等[14],以4-6型為例進行計算,即太陽輪節(jié)曲線的邊數(shù)是4、內(nèi)齒圈的節(jié)曲線邊數(shù)是6。太陽輪齒數(shù)z1、行星輪齒數(shù)z2、內(nèi)齒圈齒數(shù)z3之間的關(guān)系為:

    (5)

    10≤z2<0.5(z3-z1)

    (6)

    計算得到的非圓行星齒輪機構(gòu)基本參數(shù)如表1所示。

    表1 非圓行星齒輪機構(gòu)基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of non-circular planetary gear mechanism

    非圓行星輪系的基本運動關(guān)系如圖4所示,r1、r2、r3分別是太陽輪節(jié)曲線、行星輪節(jié)圓、內(nèi)齒圈節(jié)曲線對應(yīng)的向徑,θ1、θ3分別是太陽輪、內(nèi)齒圈所對應(yīng)的極角,ω1、ω2、ω3分別是太陽輪、行星輪、內(nèi)齒圈所對應(yīng)的瞬時角速度,e、f分別是行星輪節(jié)圓與太陽輪節(jié)曲線、內(nèi)齒圈節(jié)曲線的切點,μ1是m點處太陽輪節(jié)曲線切向的正方向與向徑r1的夾角,μ2是m點處內(nèi)齒圈節(jié)曲線切向的正方向與向徑r3的夾角。在非圓行星輪系當中,行星輪與太陽輪嚙合時的節(jié)圓,和行星輪與內(nèi)齒圈嚙合時的節(jié)圓可以是不同的,若如圖4所示的2個節(jié)圓是同一個圓時,μ1、μ2相等。

    圖4 基本運動關(guān)系Fig.4 Basic motion relationship

    太陽輪的節(jié)曲線是高階橢圓齒輪,其節(jié)曲線方程為:

    (7)

    式中:k為偏心率;θ1為極角;A為長軸半徑。太陽輪與內(nèi)齒圈的節(jié)曲線封閉條件為:

    (8)

    由微分幾何可知:

    (9)

    太陽輪與內(nèi)齒圈的輪齒均布條件為:

    (10)

    根據(jù)非圓行星輪系的基本運動關(guān)系,內(nèi)齒圈的節(jié)曲線方程為:

    (11)

    非圓行星齒輪機構(gòu)在運行過程中不產(chǎn)生運動干涉的條件為:

    一般情況下,使用壽命較長的溫室,頂部覆蓋材料是5 mm的鋼化玻璃,四周采用的是(5+6+5)mm的中空玻璃,隔墻使用5 mm的鋼化玻璃。鋼化玻璃的透光率要在85%以上,才能符合溫室玻璃質(zhì)量要求。溫室的玻璃都是用專門的鋁合金材料固定在一起,鋁合金和玻璃之間的密封膠條則是采用的專業(yè)抗老化、密封性極好的橡膠條。

    r3min≥r1max+2ha

    (12)

    聯(lián)立方程(7)~式(10)計算太陽輪節(jié)曲線數(shù)據(jù),再通過方程式(11)求出內(nèi)齒圈節(jié)曲線數(shù)據(jù),代入方程式(12)中進行校驗,得到節(jié)曲線的數(shù)值解,將節(jié)曲線的數(shù)值導(dǎo)入UG NX中,采用三次樣條曲線進行擬合,得到的太陽輪、內(nèi)齒圈節(jié)曲線如圖5所示。

    圖5 太陽輪、內(nèi)齒圈節(jié)曲線Fig.5 Pitch curve of a sun wheel and its annulargear

    3.1.2插齒刀齒廓的確定

    漸開線齒形是非圓齒輪最常見的齒形,但是漸開線齒廓在齒根處采用過渡圓角,受載時彎曲應(yīng)力較大,為了提高非圓齒輪的嚙合傳動性能,近年來出現(xiàn)了很多新型齒廓形式。正弦曲線的上半部分為凸曲線,下半部分為凹曲線,且具有一定程度的可分性,符合齒條輪廓的基本要求[15],如圖6(a)所示。以正弦曲線作為齒廓的齒條刀具生成的齒輪具有較高的彎曲強度,本研究中嘗試采用正弦曲線齒廓的插齒刀形成非圓齒輪的實體模型,由于內(nèi)齒圈無法采用齒條型刀具進行加工,因此將正弦曲線環(huán)形折彎后變成圓柱型插齒刀具,如圖6(b)所示。

    圖6 插齒刀齒廓Fig.6 Profile of a gear shaper

    在坐標系S3-O3x3y3中繪制正弦線,其方程為

    y3=hsin(bx3)

    (12)

    式中:h為正弦線的振幅,也即插齒刀的齒頂(根)高,mm,取值為2.5;b為常數(shù),取值為1。

    將橫軸x3繞成一個圓,形成插齒刀節(jié)圓,則插齒刀的一個齒距是一個完整的正弦線周期,在坐標系S1-O1x1y1下,插齒刀的齒廓方程為:

    (13)

    式中:m0為插齒刀的模數(shù),mm,取值為2;z0為插齒刀的齒數(shù),取值為10;t為變量,變化范圍為0~1。

    3.1.3包絡(luò)過程的實現(xiàn)

    在建模模塊中,將太陽輪的節(jié)曲線偏移一個齒頂高的距離形成齒頂曲線并進行拉伸,形成太陽輪齒坯實體;對于插齒刀齒廓圖形同樣進行拉伸操作,形成插齒刀實體。

    在裝配模塊中,調(diào)入太陽輪齒坯實體與插齒刀實體,選擇合理的切削起始位置,將兩者進行裝配,特別需要注意的是插齒刀節(jié)圓需要與太陽輪節(jié)曲線相切。此外,還需要在裝配模塊中用草圖方式創(chuàng)建一個輔助連桿,便于在范成過程中控制插齒刀的運動。

    在運動仿真模塊中,將裝配好的模型按照定義運動體—建立運動副—創(chuàng)設(shè)約束—添加追蹤—計算求解的步驟進行。建立運動副與創(chuàng)設(shè)約束是其中的關(guān)鍵步驟,不僅需要在輔助連桿上施加旋轉(zhuǎn)副,而且需要在插齒刀節(jié)圓與太陽輪節(jié)曲線設(shè)置線在線上副,在插齒刀節(jié)圓圓心與輔助連桿之間設(shè)置點在線上副。在計算過程中,系統(tǒng)追蹤每一個計算步得到的插齒刀位置,并進行備份,形成了內(nèi)齒圈齒廓的包絡(luò)圖形。綜合考慮齒廓精度與計算機的運算能力,設(shè)置計算步為300,內(nèi)齒圈的范成仿真計算結(jié)果如圖7所示。

    圖7 太陽輪的包絡(luò)圖Fig.7 Envelope diagram of sun wheel

    內(nèi)齒圈的范成過程與太陽輪相同,仿真計算結(jié)果如圖8所示。

    圖8 內(nèi)齒圈的包絡(luò)圖Fig.8 Envelope diagram of annulargear

    3.2 齒廓曲線的光順

    依據(jù)計算機圖形學(xué)中的圖像平滑原理,進行齒廓曲線的光順。利用提升體命令生成的內(nèi)齒圈及太陽輪實體模型上存在范成過程仿真形成的切削痕跡,在UG NX軟件平臺上,無法直接對齒廓曲面進行優(yōu)化,因此將太陽輪、內(nèi)齒圈進行正投影,得到齒廓曲線,通過對齒廓曲線的優(yōu)化來達到的目的,正投影效果如圖9所示。

    圖9 正投影效果Fig.9 Positive projection effect

    采用光順曲線串的命令來處理齒廓曲線,光順曲線串是光順樣條+連結(jié)曲線+曲率圓角的組合體命令,通過對角度閾值、距離閾值的控制,使NURBS曲線二階連續(xù)。對齒廓曲線光順后,得到優(yōu)化后的齒廓曲線,如圖10所示,與光順之前的齒廓曲線進行對比,可以明顯看出,范成后形成的齒廓曲線上存在局部曲率的驟增或驟降現(xiàn)象,表面形貌上有明顯的接茬,而優(yōu)化后的齒廓曲線避免了曲率的急劇過渡和突然變化,將優(yōu)化后的齒廓曲線拉伸后得到的曲面比較光滑,表面質(zhì)量得到顯著改善。

    圖10 齒廓光順效果Fig.10 Smoothing effect of gear tooth profile

    4 仿真驗證

    行星輪的齒廓與插齒刀相同,只是齒全高存在變化,將插齒刀的齒頂去除一部分即可實現(xiàn)行星輪的三維模型創(chuàng)建。將內(nèi)齒圈、太陽輪、行星輪進行裝配,形成非圓齒輪行星輪系。

    在UG NX軟件平臺中設(shè)置行星輪與太陽輪之間、行星輪與內(nèi)齒圈之間的運動關(guān)系為3D接觸,令內(nèi)齒圈靜止不動,太陽輪的角速度為120(°)/s,模擬非圓齒輪行星輪系的運行過程。行星輪與太陽輪、內(nèi)齒圈組成密閉腔容積每變化一個周期,太陽輪的轉(zhuǎn)動角為:

    (14)

    在當前的結(jié)構(gòu)條件和仿真條件下,太陽輪的轉(zhuǎn)動角為150°,密閉腔容積的變化周期為1.25 s。以行星輪1、2為觀察對象,如圖11所示,可以明顯看出行星輪1、2與太陽輪、內(nèi)齒圈組成封閉區(qū)域面積不斷發(fā)生變化,對封閉區(qū)域面積進行測量,測量結(jié)果如圖12所示,0 s時封閉區(qū)域面積為320.65 mm2,在運行過程中封閉區(qū)域面積從大變小,再從小到大,到達頂峰后又開始回落,1.25 s時封閉區(qū)域面積又回到了0 s時的初始狀態(tài),以此循環(huán)往復(fù),這種現(xiàn)象與非圓齒輪液壓馬達的工作過程是相同的。

    圖11 非圓齒輪行星輪系運行過程Fig.11 Operating process of planetary gear train with non-circular gears

    圖12 封閉區(qū)域面積Fig.12 Area of enclosed area

    太陽輪旋轉(zhuǎn)1周,封閉區(qū)域面積的變化次數(shù)為:

    (15)

    為了分析整周期條件下的行星輪運動規(guī)律,令太陽輪旋轉(zhuǎn)2.5周,即設(shè)置仿真時間為7.5 s,在仿真運行過程中,行星輪與太陽輪及內(nèi)齒圈的輪齒逐一嚙合,沒有干涉現(xiàn)象的發(fā)生,輸出角速度曲線進行分析,如圖13所示,行星輪的角速度呈現(xiàn)出明顯的周期性變化,根據(jù)基本運動關(guān)系,行星輪角速度ω2與太陽輪角速度ω1之間存在關(guān)系式:

    圖13 行星輪與太陽輪的角速度Fig.13 Angular velocity of planetary and solar wheels

    (16)

    式中,角度α1、α′的幾何意義在圖4中標出。

    將行星輪的角速度曲線與式(16)進行對比,其變化趨勢與理論分析是一致的,但是行星輪角速度曲線存在一定程度的波動,造成這種現(xiàn)象的原因主要有2個,一是輪齒嚙合的動態(tài)激勵,二是非圓齒輪的變速運動特性形成的振動脈沖,存在角速度的波動屬于齒輪傳動過程中的正?,F(xiàn)象。

    5 結(jié)論

    1) 以非圓齒輪的范成加工過程為理論依據(jù),利用UG NX軟件平臺的運動仿真功能實現(xiàn)太陽輪、內(nèi)齒圈的插齒包絡(luò)圖形繪制,在此基礎(chǔ)上根據(jù)磨削加工原理,采用計算機圖形學(xué)中的圖像平滑方法光順曲線串可以消除插齒切削痕跡,提高齒廓質(zhì)量。

    2) 4-6型非圓行星齒輪機構(gòu)在太陽輪齒數(shù)為44、行星輪齒數(shù)為10、內(nèi)齒圈齒數(shù)為66、齒輪模數(shù)為2 mm的結(jié)構(gòu)條件下,令太陽輪的角速度為120(°)/s進行仿真計算,計算結(jié)果表明2個行星輪與太陽輪、內(nèi)齒圈之間的封閉區(qū)域面積在0 s時為320.65 mm2,在運行過程中封閉區(qū)域面積從大變小,再從小到大,1.25 s時又回到了初始狀態(tài),以此循環(huán)往復(fù),且行星輪角速度呈現(xiàn)出明顯的周期性變化,與非圓齒輪液壓馬達的運行情況相符。

    3) 使用運動仿真與光順曲線串的功能生成齒廓的過程直觀、結(jié)果準確,更換節(jié)曲線數(shù)據(jù)及插齒刀齒廓方程后,即可生成不同規(guī)格、不同類型的非圓齒輪行星輪系,可快速實現(xiàn)系列化、變異化設(shè)計,為非圓齒輪液壓馬達的設(shè)計提供一種新的思路與實施途徑。

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