基于數(shù)據(jù)包絡(luò)分析的混合多屬性第二分值拍賣機(jī)制

安慶賢, 鮑 茜, 熊貝貝

(1.中南大學(xué) 商學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410083; 2.湖南大學(xué) 工商管理學(xué)院,湖南 長(zhǎng)沙 410082)

0 引言

逆向拍賣作為一種主要拍賣形式廣泛應(yīng)用在采購(gòu)決策中，可以在信息不對(duì)稱情況下揭露投標(biāo)人的私人信息[1]。多屬性拍賣作為拍賣的重要組成部分，除價(jià)格因素外還考慮了一些非價(jià)格因素，比如在工程項(xiàng)目招標(biāo)過程中，拍賣人不僅考慮價(jià)格，還考慮每個(gè)投標(biāo)人針對(duì)完成時(shí)間、交付質(zhì)量、投入人力數(shù)量等因素的投標(biāo)。多屬性拍賣足以反映現(xiàn)實(shí)生活中拍賣交易的復(fù)雜性，有利于突出投標(biāo)人的非價(jià)格優(yōu)勢(shì)[2]。為了在拍賣中綜合考慮物品的多維特性，以往學(xué)者提出了分值拍賣來解決這個(gè)問題。數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(data envelopment analysis, DEA)是一種有效的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)型的評(píng)價(jià)工具，用于評(píng)估一組同質(zhì)決策單元(decisionmakingunit, DMU)的表現(xiàn)[3]。近年來，該方法已經(jīng)得到廣泛的開發(fā)并被應(yīng)用于多輸入多輸出復(fù)雜系統(tǒng)的性能評(píng)估[4,5]。從某種程度上來說，DEA十分適合應(yīng)用于拍賣機(jī)制的設(shè)計(jì)中。首先，在不考慮共謀的情況下，參與拍賣的投標(biāo)人在某種程度上是獨(dú)立和同質(zhì)的，每個(gè)投標(biāo)人都可以視為一個(gè)DMU。其次，多屬性拍賣往往考慮的不只是價(jià)格和質(zhì)量?jī)煞N屬性，很多情形下會(huì)涉及到多個(gè)輸入輸出。第三，DEA對(duì)DMU進(jìn)行效率測(cè)度時(shí)無需對(duì)投入產(chǎn)出進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這種無量綱測(cè)度使得比較投標(biāo)更容易[6]。最后，DEA可在不事先假定生產(chǎn)邊界形式的情況下測(cè)量單個(gè)DMU的相對(duì)效率[7]，非常適合評(píng)估投標(biāo)人的事前相對(duì)效率?；诖?，本文結(jié)合DEA方法設(shè)計(jì)了混合多屬性第二分值拍賣機(jī)制。

為了克服傳統(tǒng)DEA模型對(duì)DMU區(qū)分能力不足的問題，以往學(xué)者提出了基于規(guī)模報(bào)酬不變(constant returns to scale, CRS)的超效率DEA模型，從參考集中排除了被評(píng)估的DMU，這種想法非常適合設(shè)計(jì)有效的拍賣機(jī)制。Lee等[8]指出在CRS情況下的超效率DEA模型不會(huì)出現(xiàn)無可行解的問題。在實(shí)際拍賣中，投標(biāo)人的數(shù)量通常足夠大，并且拍賣通常向一定范圍內(nèi)具有相似生產(chǎn)規(guī)模的公司開放。此外，利用DEA選擇最佳供應(yīng)商時(shí)，最好是在參考集中排除被評(píng)估的DMU，因?yàn)槿绻辉u(píng)估的DMU可以影響有效的生產(chǎn)前沿面，那么他將在某種程度上缺乏提高自身表現(xiàn)的動(dòng)力[9]。因此，本文采用CRS超效率模型來進(jìn)行多屬性拍賣機(jī)制的設(shè)計(jì)。Bogetoft等[9]首次將DEA應(yīng)用于拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)，結(jié)合DEA設(shè)計(jì)了一種新的第二分值拍賣機(jī)制。以往將DEA與拍賣相結(jié)合的研究較少，而Bogetoft等[9]提出的拍賣機(jī)制僅考慮價(jià)格和質(zhì)量屬性，應(yīng)用的DEA模型中只有一個(gè)輸入。實(shí)際上，在將DEA運(yùn)用于拍賣機(jī)制時(shí)，很難將單個(gè)輸入擴(kuò)展為多個(gè)輸入，并且推導(dǎo)的定理和性質(zhì)也難以直接泛化。這是因?yàn)榕馁u人和投標(biāo)人往往有不同的偏好，對(duì)每種投入賦予的偏好權(quán)重不盡相同。本文針對(duì)輸入幾乎沒有先驗(yàn)結(jié)構(gòu)且投標(biāo)人數(shù)量足夠大的情況，提出了一種新的拍賣機(jī)制，在先前有關(guān)多屬性拍賣研究的基礎(chǔ)上將單個(gè)投入擴(kuò)展為多個(gè)投入。為了更好地處理拍賣中涉及到的多投入多產(chǎn)出的問題，本文結(jié)合多目標(biāo)規(guī)劃和逆DEA來確定可以最大化拍賣雙方效用的帕累托最優(yōu)輸入，證明了該機(jī)制具有的優(yōu)良性質(zhì)，并結(jié)合應(yīng)用案例指明了該機(jī)制的運(yùn)行程序及方法。

1 問題描述與模型介紹

1.1 問題描述

圖1 拍賣流程

1.2 DEA模型

如前所述，本文采用CRS超效率DEA模型。對(duì)于被評(píng)價(jià)的DMUk，投入導(dǎo)向的CRS超效率模型如下所示，超效率分值被定義為θk*。

minθk

(1)

λj≥0,j≠k

2 拍賣機(jī)制設(shè)計(jì)

2.1 拍賣機(jī)制

拍賣人根據(jù)模型(1)對(duì)每個(gè)投標(biāo)人的投標(biāo)進(jìn)行打分，超效率分值代表投標(biāo)人的相對(duì)表現(xiàn)。如果一個(gè)投標(biāo)人可以用更少的投入生產(chǎn)更多的產(chǎn)出，那么他將獲得更高的超效率分值，這與多屬性拍賣中評(píng)分規(guī)則的設(shè)計(jì)相符。將投標(biāo)人k的投標(biāo)得分記為Sk，即Sk=S(xk,yk)=θk*，根據(jù)每個(gè)投標(biāo)的得分Sk，可以對(duì)所有投標(biāo)人的投標(biāo)進(jìn)行排序。

超效率分值可以被視為在排除自身的情況下，求解加權(quán)產(chǎn)出與加權(quán)投入的比值，那么可以將超效率分值看作性價(jià)比，即針對(duì)每個(gè)投標(biāo)，求得的超效率分值反映了該投標(biāo)的性價(jià)比。假設(shè)拍賣人的目標(biāo)是最大化性價(jià)比，而投標(biāo)人的目標(biāo)是最大化性價(jià)比的倒數(shù)或者最小化性價(jià)比。實(shí)際上，這種假設(shè)是合理的，因?yàn)楫?dāng)拍賣人選擇最佳競(jìng)標(biāo)者時(shí)，能夠用最少投入生產(chǎn)最多產(chǎn)出的投標(biāo)人更受拍賣人青睞，而投標(biāo)人往往希望拍賣人能設(shè)定更高的成本補(bǔ)償，也就是希望拍賣人能夠?yàn)橹袠?biāo)項(xiàng)目投入更多的錢、預(yù)留更長(zhǎng)的時(shí)間干更少的活。由于投標(biāo)的分值反映了投標(biāo)的相對(duì)表現(xiàn)，因此不失一般性地，可以認(rèn)為拍賣人的期望效用是S，而投標(biāo)人的期望效用是1/S。

基于第二分值拍賣機(jī)制的設(shè)計(jì)思路，在獲勝投標(biāo)人(中標(biāo)人)的產(chǎn)出保持不變的情況下，超效率分值需要從S(1)降低到S(2)。記拍賣人為中標(biāo)人設(shè)定的目標(biāo)超效率分值為αk，即αk=S(2)。

考慮以下線性多目標(biāo)規(guī)劃問題:

min{l1,l2,…,lm}

(2)

λj≥0,j≠k,li≥0

minα

在應(yīng)用AUGMECON之前，需要計(jì)算每個(gè)目標(biāo)函數(shù)的范圍。為了獲得只包含帕累托最優(yōu)解的收益表，Mavrotas[11]提出需要對(duì)每個(gè)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行字典式優(yōu)化。第3部分將詳細(xì)介紹字典式優(yōu)化的過程。在構(gòu)建收益表之后，目標(biāo)函數(shù)的范圍被劃分為幾個(gè)具有相同間隔的區(qū)間，使用每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)分別作為ei的值，應(yīng)用于AUGMECON。

對(duì)于模型(2)，如果優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)l1，那么需將其他目標(biāo)函數(shù)作為約束條件。新問題變?yōu)?

s.t.-l2-s2=e2

-l3-s3=e3

(4)

…

-lm-sm=em

λj≥0,j≠k,li≥0,si≥0

其中eps是一個(gè)足夠小的正數(shù)(通常位于10-3～10-6的區(qū)間內(nèi))，si是非負(fù)剩余變量。ei來自于收益表，ri是相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)的范圍(請(qǐng)參見第3部分中有關(guān)如何準(zhǔn)確獲取ei和ri值的示例)。Mavrotas[11]進(jìn)一步證明了模型(4)僅產(chǎn)生帕累托有效解，這個(gè)有用的命題使拍賣人可以輕松地選擇自己偏好的有效預(yù)期投入，使得本文提出的混合多屬性第二分值拍賣更有實(shí)際意義。

2.2 拍賣流程

第二步，拍賣人對(duì)所有投標(biāo)進(jìn)行排名，并運(yùn)用模型(1)計(jì)算每個(gè)投標(biāo)的超效率分值Sj=S(xj,yj),j∈N。

第三步，得分(超效率分值)最高的投標(biāo)獲勝，即當(dāng)Sk=S(1)時(shí)，選擇投標(biāo)人k作為獲勝投標(biāo)人(中標(biāo)人)。

在混合多屬性拍賣中，投標(biāo)人提交多屬性投標(biāo)，然后拍賣人通過求解模型(1)為所有投標(biāo)計(jì)算反映其相對(duì)生產(chǎn)超效率的得分，并選擇具有最高超效率分值的投標(biāo)人作為中標(biāo)人，這意味著中標(biāo)人能夠以相對(duì)較少的投入生產(chǎn)相對(duì)較多的產(chǎn)出，選擇最高的超效率分值意味著拍賣人選擇了最高的性價(jià)比。最后，令αk=S(2)，并根據(jù)模型(4)計(jì)算的li的值確定中標(biāo)人的預(yù)期投入，即預(yù)期投入將是DEA第二分值結(jié)果(1+li)xk。

2.3 新拍賣機(jī)制的性質(zhì)

性質(zhì)1混合多屬性第二分值拍賣機(jī)制滿足激勵(lì)相容。

性質(zhì)2混合多屬性第二分值拍賣機(jī)制滿足個(gè)人理性。

性質(zhì)3混合多屬性第二分值拍賣機(jī)制優(yōu)于傳統(tǒng)第二分值拍賣機(jī)制，在吸引投標(biāo)人的前提下能夠最大化拍賣人的利益。

3 應(yīng)用實(shí)例

本章采用一個(gè)應(yīng)用實(shí)例來說明上述拍賣機(jī)制的運(yùn)行方式，該實(shí)例基于意大利巴里理工大學(xué)某設(shè)施翻新工程招標(biāo)數(shù)據(jù)集，該數(shù)據(jù)集曾被應(yīng)用于[12,13]中。

第二步，運(yùn)用使用模型(1)計(jì)算每個(gè)投標(biāo)的超效率分值sj=s(xj,yj),j∈N，并進(jìn)行排名。表1展示了計(jì)算得到的每個(gè)投標(biāo)的超效率分值。

表1 應(yīng)用實(shí)例：投標(biāo)、超效率分值和排名

第三步，得分最高的投標(biāo)人獲勝。根據(jù)表1，由于S23是最高的超效率分值，因此該工程項(xiàng)目被分配給第23號(hào)投標(biāo)人。

第四步，為了計(jì)算拍賣人給投標(biāo)人設(shè)定的預(yù)期投入，將第23號(hào)投標(biāo)人(中標(biāo)人)的超效率分值表示為S(1)=1.5954，第10號(hào)投標(biāo)人的超效率分值(排名第二)表示為S(2)=1.1041。那么中標(biāo)人的預(yù)期超效率分值為α(1)=S(2)=1.1041，可以根據(jù)模型(2)計(jì)算中標(biāo)人的預(yù)期投入。

正如第2.1節(jié)所述，可以使用Mavrotas[11]提出的AUGMECON方法來求解模型(2)的帕累托最優(yōu)解，即根據(jù)模型(4)可以計(jì)算得到多目標(biāo)規(guī)劃問題(2)的帕累托最優(yōu)解。在應(yīng)用AUGMECON方法前，需要通過字典式優(yōu)化來計(jì)算每個(gè)目標(biāo)函數(shù)的范圍。假設(shè)對(duì)于拍賣人來說價(jià)格比完成時(shí)間有更高的優(yōu)先級(jí)，即最小化中標(biāo)人的預(yù)期價(jià)格更為重要，那么對(duì)本實(shí)例中兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)的字典式優(yōu)化是首先優(yōu)化第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)(-l1)(優(yōu)先級(jí)更高)，然后在第一個(gè)目標(biāo)函數(shù)(-l1)取最優(yōu)值的約束下，優(yōu)化第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)(-l2)。通過字典式優(yōu)化可以得到如下收益表。

表2 字典式優(yōu)化計(jì)算得出的收益表

4 結(jié)論

本文基于多屬性商品采購(gòu)的客觀實(shí)際情況，利用DEA方法中的超效率模型、逆DEA模型以及改進(jìn)的多目標(biāo)規(guī)劃求解方法，設(shè)計(jì)了一種混合多屬性第二分值逆向拍賣機(jī)制。本研究的主要?jiǎng)?chuàng)新性體現(xiàn)在：(1)在以往研究的基礎(chǔ)上，新的拍賣機(jī)制考慮了包含多個(gè)投入和多個(gè)產(chǎn)出的投標(biāo)，納入了除價(jià)格因素外的其他投入因素，考慮了拍賣人和投標(biāo)人之間的偏好差異，可以極大地?cái)U(kuò)展每個(gè)投標(biāo)人的投標(biāo)空間，充分發(fā)揮自身的競(jìng)標(biāo)優(yōu)勢(shì)；(2)證明了該機(jī)制具有個(gè)人理性、激勵(lì)相容性質(zhì)，每個(gè)投標(biāo)人投標(biāo)其真實(shí)投入，符合有效拍賣機(jī)制的要求；(3)我們發(fā)現(xiàn)該機(jī)制可有效確保拍賣人能夠最大化采購(gòu)商品的性價(jià)比，并從帕累托最優(yōu)解決方案中選擇其最偏好的預(yù)期資源投入，使得該機(jī)制具有一定的應(yīng)用價(jià)值。