數(shù)學推廣：模式、方法及教育價值

吉智深

(南通師范高等?？茖W校， 江蘇 南通 226500)

在《小學數(shù)學基礎理論》這門課程的考試中，筆者出了這樣一道題：你能夠推廣“連續(xù)兩個自然數(shù)的乘積能夠被2整除”這個結論嗎？這道題就是想考考師范生對數(shù)學推廣的認識與掌握，本以為比較簡單的題目，但答題情況很不理想，許多學生都空在那里，沒有任何想法。考試結束后，問學生做不出的原因，不少學生說不知道什么是推廣。推廣可是數(shù)學研究中極重要的手段之一，數(shù)學專業(yè)的師范生還有一些人不知道什么是推廣、更不知道如何推廣，有點說不過去。由此可以看出把學會數(shù)學推廣納入數(shù)學教師專業(yè)知識是非常必要的，對廣大小學數(shù)學老師的專業(yè)知識也是有益的補充，只有教師理解了數(shù)學推廣，學會了數(shù)學推廣，才能有意識引導學生去探究、去思考、去創(chuàng)新，才能在培養(yǎng)創(chuàng)新人才的道路上向前再踏實地邁一步。

一、數(shù)學推廣的模式

“數(shù)學推廣是指在一定范圍內或一定層次上對數(shù)學概念、定理、法則進行拓展，使之在更大范圍或更高層次上成立，此外，也指對條件、結論進行結構分析以后，進行適當變化，使得到的新命題為真?！盵1]數(shù)學家們一致認為“數(shù)學推廣本身就是數(shù)學研究的重要方法”。比如，米山國藏就曾指出：“每當我發(fā)現(xiàn)一個新定理，就立即集中力量從各方面考查這定理能不能將它一般化、能不能推廣，從而一步一步進行研究工作？”[2]既然推廣在數(shù)學研究中的地位如此之高，那數(shù)學推廣的模式是什么？這是我們必須首先了解的問題。

模式1：空間高維化

數(shù)學習慣上把直線叫作一維空間，平面叫作二維空間，立體幾何中所在的“空間”叫作三維空間。除此之外，“維數(shù)”還泛指未知數(shù)與變量的個數(shù)、方程與不等式的次數(shù)、行列式與數(shù)表的階數(shù)等。數(shù)學家喜歡將數(shù)學問題從低維推廣到高維，如平面幾何的勾股定理能否推廣到立體幾何？一元一次方程和一元二次方程都有公式解，那么推廣到一元三次方程、一元四次方程、……都有公式解嗎？大數(shù)學家費馬通過推廣畢達哥拉斯方程：x2+y2=z2，提出了舉世聞名的費馬猜想，即“xn+yn=zn是否有整數(shù)解”。前面的試題“‘推廣連續(xù)兩個自然數(shù)的乘積能夠被2整除’這個結論”也屬于這方面的推廣，從未知數(shù)的兩個推廣到三個，四個，……。這方面的例子比較多，也是最容易被我們忽視的一點。

模式2：范圍擴大化

數(shù)學的概念、定義與定理等隨著數(shù)學研究的范圍不斷擴大，如何把原有的這些數(shù)學知識與方法推廣到更大的范圍內適用呢？這是數(shù)學推廣常用的一種模式，一些數(shù)學結論在大的范圍是否適用？這方面小學數(shù)學最典型的例子是：加法的交換律與結合律推廣到乘法是否成立？加法與乘法的運算律在自然數(shù)范圍內研究的，但這些運算律從自然數(shù)推廣到分數(shù)、小數(shù)范圍內是否仍然是成立的呢？看到sin(α+β)，能否也可以利用乘法分配律推廣得到sin(α+β)=sinα+sinβ?高中數(shù)學把0°～360°角推廣到任意角，隨著角的范圍擴大與研究的需要，有必要將銳角三角函數(shù)推廣到任意角的三角函數(shù)，如何推廣則將是擺在學生面前的一個好問題。

模式3：常數(shù)字母化

常數(shù)字母化就是把對于幾個特殊常數(shù)(情況)成立的數(shù)學公式、規(guī)律推廣到對于所有數(shù)字(情況)都成立的一種模式。如乘法分配律，根據(jù)蘇教版教材情境，得到解決問題的兩種方法：(6+4)×24=240(根)與6×24+4×24=240(根)，從而有(6+4)×24=6×24+4×24，教材引導學生再寫出幾個這樣的等式，最后用字母表示該規(guī)律得到：(a+b)×c=a×c+b×c。

高中數(shù)學也經(jīng)常有這樣從數(shù)字字母化的推廣，如，一個口袋內裝有大小不同的6個白球和1個紅球，請問：

(1)從口袋內取出4個球，共有多少種取法?

(2)從口袋內取出4個球，使其中含有1紅球，有多少種取法?

(3)從口袋內取出4個球，使其中不含紅球，有多少種取法?

模式4：狀態(tài)一般化

圖1 圖2

圖3

模式5：思想遷移化

前面四種推廣模式基本上都是數(shù)學命題、規(guī)律、定理和公式等在數(shù)學學科內深入推廣，事實上，數(shù)學思想方法的推廣更為重要，如果推廣的思路被證明是正確的，那將會產(chǎn)生新的解法思路與數(shù)學理論。數(shù)學思想方法的一個源頭就是歐幾里得《幾何原本》，它從大量現(xiàn)實中提煉出了23個定義、5個公理和5個公設的真理，由這些真理出發(fā)演繹出約500個定理。幾千年以后，算術上也有了類似的理論，那就是皮亞諾算術公理，只不過這個自然數(shù)的公理體系中只有5個公理。另外，第5個公理不得不提，我們稱其為 “歸納公理”，又稱為“遞歸公理”，用此公理就可以證明有關對于任意自然數(shù)均成立的命題，這種方法被人們稱為數(shù)學歸納法，后來數(shù)學歸納法有了進一步推廣與變形，出現(xiàn)了第二數(shù)學歸納法、倒推數(shù)學歸納法，等等。數(shù)學思想方法的另一個源頭就是《九章算術》，它主要通過“觀察—分析—歸納—概括”的過程，總結出抽象的結論，對抽象理論輔以一定數(shù)量的實際問題來加深理解，這種思想方法就是推廣的一般過程，另外推廣與應用是緊密聯(lián)系的，應用就體現(xiàn)了抽象理論的推廣價值。

二、數(shù)學推廣的方法

前面介紹的數(shù)學推廣的5種模式，我們仔細分析與思考后不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學推廣的主要思想方法是：歸納法與類比法，除了這兩種方法以外還有探索性演繹與信息交合法。

(一)歸納推理法

模式1與模式3所體現(xiàn)的思想方法就是歸納法，當然這里主要用不完全歸納法，即通過對部分對象的研究，歸納出共性特征，最后提出推廣的猜想命題。其思路是“舉例—觀察—歸納—猜想”，當然，這種推廣的命題僅僅是猜想，它是正確或錯誤，還要經(jīng)過舉反例或嚴格證明來斷定。用歸納法進行數(shù)學推廣關鍵要幫助學生樹立歸納的意識，要讓學生理解把數(shù)學概念、命題與思想等進行推廣的目的與意義。

如何把直角三角形的邊之間滿足的勾股定理推廣到一般三角形？

如圖4，直角三角形ABC的直角C變小時，邊c也變小，直角C變大時，邊c也變大，可以得出邊c的長度與三角形邊a、b以及它們的夾角C，而且是與夾角C的余弦函數(shù)有關，可以猜測：c2=a2+b2±( )cosC，當C是鈍角時，cosC是負的，而邊c變大，所以括號前面應該是“-”，而括號里面應該有ab這一項，也就是c2=a2+b2-(ab)cosC，我們再用一個特例檢驗，當a=b時，三角形ABC是等邊三角形，a=b=c，所以前面的猜想是不正確的，ab的前面還應該有一個系數(shù)2，最后得出猜想：c2=a2+b2-2abcosC。

圖4

類似還有從柱體與錐體的體積計算公式推廣，得到臺體體積的計算公式，用歸納法推廣數(shù)學命題與公式時要學會歸納方法，鼓勵學生敢想，敢猜，發(fā)展學生的直覺思維，并且在推廣的過程中可以通過特例不斷修正自己的猜想。

(二)類比推理法

模式2、模式4和模式5主要體現(xiàn)的思想方法就是類比法，德國天文學家開普勒非常重視類比的科學作用，他說：“我珍視類比勝于任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然的所有奧秘。”類比推理就是根據(jù)對象或事物A、B間存在著的相同或相似屬性，聯(lián)想到另類事物B也可能是具有某種屬性的思維方法。我們一般把A稱類比源，B稱為靶對象。如果我們沒有認識到類比源和靶對象的某種(形式上、結構上與內容上)相似性，類比推理無法繼續(xù)進行。

(三)邏輯演繹法

歸納推理法與類比推理法都是合情推理的，得出的命題都是猜想，需要用數(shù)學的方法給予證明，在推廣數(shù)學命題時，為了命題推廣的正確性，必要時還需要尋求邏輯推理支持與幫助，這方面最典型的例子就是對數(shù)的除法的重新認識。

用邏輯推理法推廣的命題正確性得到了保證，但要注意學生的接受能力，就像上面例子中的基本事實何時呈現(xiàn)才合理，才能被學生廣泛接受；另外，還要考慮到推廣的命題與其他命題之間是否產(chǎn)生認識上的矛盾，如何處理這些矛盾，是教師必須正視的問題。

(四)要素交合法

“主要是對要推廣的命題進行結構分解，按序找出若干要素，將每個要素的性質、狀態(tài)、層次、特征等用直線表示成信息標軸；然后將各標軸上信息交叉進行交合，得到不同預選方案?！盵4]從而推廣出一些命題，當然有些命題很顯然不正確，刪去，保留可能正確的命題進行探討與研究。

如大家熟悉的等式性質：等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù)，所得結果仍然是等式。我們把這個命題進行分解，找出三個要素——等式、加上或減去、數(shù)，并且尋找與之相似的另外三個要素，即：等式—不等式；加上或減去—乘以或除以—乘方與開方；正數(shù)—負數(shù)—字母。

我們可以通過要素交合法，得到一系列推廣：

(1)等式兩邊同時乘以或除以同一個數(shù)(正數(shù))，所得結果仍是等式。

(2)不等式兩邊同時乘以或除以同一個數(shù)(正數(shù))，所得結果仍是不等式(不等號方向不變)。

(3)不等式兩邊同時乘以或除以同一個數(shù)(負數(shù))，所得結果仍是不等式(不等號方向不變)。

(4)等式兩邊同時加上或減去同一個字母，所得結果仍是等式。

(5)不等式兩邊同時加上或減去同一個字母，所得結果仍是不等式(不等號方向不變)。

(6)等式兩邊同時乘以或除以同一個字母，所得結果仍是等式。

(7)不等式兩邊同時乘以或除以同一個字母，所得結果仍是不等式(不等號方向不變)。

(8)等式兩邊同時乘方與開方，所得結果仍是等式。

(9)不等式兩邊同時乘方與開方，所得結果仍是不等式(不等號方向不變)。

對于分數(shù)的基本性質“分數(shù)的分子和分母同時乘以或者除以相同的數(shù)(除外)，分數(shù)的大小不變”。有興趣的老師和同學不妨用“要素交合法”把該性質進行推廣。

通過要素交合法推廣得到的命題，要做好認真的篩選，哪些是顯然不成立的命題，哪些是值得進一步驗證與證明的命題，再在其中挑選出探討價值比較高的問題繼續(xù)研究。但在用該方法把命題推廣時，要注意的是發(fā)散式思維很容易出錯。

最后我們必須強調一點：推廣的萬能方法是沒有的，唯一的辦法是自己要敢想、敢做，不怕錯；計算、推理，去實踐。

三、數(shù)學推廣的教育價值

數(shù)學推廣不僅是一種重要的數(shù)學研究手段，也是一種重要的數(shù)學學習活動，具有豐富的教育價值，我們要注重挖掘與弘揚它的教育價值，讓數(shù)學推廣成為發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要途徑。

(一)培養(yǎng)問題意識，拓寬學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的渠道

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》(下文簡稱《課標2022》)把“四能”(發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力)作為數(shù)學課程的總目標之一，“四能”中發(fā)現(xiàn)問題與提出問題能力尤為重要，這是因為問題是思維的起點和動力，發(fā)現(xiàn)問題并提出問題往往比解決問題更具創(chuàng)造的成分。廣大數(shù)學教育工作者在教學實踐過程中總結出一些富有成效的方法，培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，如在數(shù)學情境中、在反思性數(shù)學教學中、在類比與比較中培養(yǎng)學生提出問題的能力。數(shù)學推廣培養(yǎng)了學生從“小范圍”到“大范圍”、從“低層次”到“高層次”的問題意識，數(shù)學推廣模式為學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題拓寬了的渠道。中學數(shù)學特別是高中數(shù)學，非常強調數(shù)學問題與解法的推廣，小學階段的數(shù)學老師要理解“數(shù)學推廣”是拓寬發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的重要渠道，知道如何通過具體內容的教學培養(yǎng)學生的數(shù)學推廣意識與能力。學生到了中學以后自然就會延續(xù)這種意識，能夠發(fā)現(xiàn)并提出更多、更有價值的數(shù)學問題。數(shù)學推廣過程中強調問題意識以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的培養(yǎng)，希望它們不僅僅在學生學習數(shù)學時發(fā)揮作用，也能遷移到其他學科的學習和工作中。

(二)發(fā)展直覺思維，落實學生創(chuàng)新意識、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)

(三)體驗研究歷程，養(yǎng)成學生獨立思考、理性思考的習慣

數(shù)學推廣的過程本身就是數(shù)學研究的過程。首先，要思考能不能推廣，不能想當然，需要理性思考。如有人利用分數(shù)的基本性質推導出分數(shù)除以分數(shù)的算法，即除以分數(shù)等于乘以它的倒數(shù)，具體過程如下：

(四)完善數(shù)學認知，促進學生基本原則、基本思想的理解

總之，數(shù)學推廣不僅是數(shù)學自身發(fā)展的需要，也是落實數(shù)學學科核心素養(yǎng)的有效路徑，教師要就數(shù)學推廣操作層面的具體策略展開深入研究，熟悉數(shù)學推廣的模式，了解數(shù)學推廣背后的思想方法，在課堂教學中有意識引導學生開展數(shù)學推廣活動，豐富了數(shù)學教與學方式，加深對數(shù)學本質理解的同時，注重弘揚數(shù)學推廣的教育價值，為國家建設培養(yǎng)出一大批高質量的創(chuàng)新型人才?！?/p>